Теорема Перрона – Фробениуса - Perron–Frobenius theorem

В линейная алгебра, то Теорема Перрона – Фробениуса, доказано Оскар Перрон (1907 ) и Георг Фробениус (1912 ), утверждает, что вещественная квадратная матрица с положительными записями имеет уникальный наибольший реальный собственное значение и что соответствующие собственный вектор можно выбрать, чтобы иметь строго положительные компоненты, а также утверждает аналогичное утверждение для определенных классов неотрицательные матрицы. Эта теорема имеет важные приложения в теории вероятностей (эргодичность из Цепи Маркова ); к теории динамические системы (подсдвиги конечного типа ); к экономике (Теорема Окисио,^[1] Условие Хокинса – Саймона^[2]); к демографии (Модель распределения населения Лесли по возрасту );^[3] в социальные сети (Процесс обучения DeGroot ), к Поисковые системы в Интернете^[4] и даже в рейтинг футбольных команд.^[5] Первым, кто обсудит порядок игроков в турнирах с использованием собственных векторов Перрона – Фробениуса, является Эдмунд Ландау.^[6]^[7]

Заявление

Позволять положительный и неотрицательный соответственно описать матрицы исключительно с положительный действительные числа как элементы и матрицы с исключительно неотрицательными действительными числами как элементы. В собственные значения настоящего квадратная матрица А находятся сложные числа которые составляют спектр матрицы. В экспоненциальный рост матричных степеней А^k в качестве k → ∞ контролируется собственным значением А с самым большим абсолютная величина (модуль ). Теорема Перрона – Фробениуса описывает свойства главного собственного значения и соответствующих собственных векторов, когда А является неотрицательной действительной квадратной матрицей. Ранние результаты были связаны с Оскар Перрон (1907 ) и касались положительных матриц. Потом, Георг Фробениус (1912 ) нашли свое расширение на некоторые классы неотрицательных матриц.

Положительные матрицы

Позволять ${ displaystyle A = (a_ {ij})}$ быть ${ Displaystyle п раз п}$ положительная матрица: ${ displaystyle a_ {ij}> 0}$ за ${ Displaystyle 1 Leq я, J Leq п}$ . Тогда верны следующие утверждения.

Есть положительное действительное число р, называется Корень перрона или Собственное значение Перрона – Фробениуса (также называемый ведущее собственное значение или же доминирующее собственное значение), такое что р является собственным значением А и любое другое собственное значение λ (возможно сложный ) в абсолютная величина строго меньше, чем р , |λ| < р. Таким образом спектральный радиус ${ Displaystyle rho (А)}$ равно р. Если матричные коэффициенты являются алгебраическими, это означает, что собственное значение является Число Перрона.
Собственное значение Перрона – Фробениуса простое: р это простой корень характеристический многочлен из А. Следовательно, собственное подпространство связано с р одномерно. (То же верно и для левого собственного подпространства, т.е. А^Т, транспонирование А.)
Существует собственный вектор v = (v₁,...,v_п) из А с собственным значением р так что все компоненты v положительные: А v = r v, v_я > 0 для 1 ≤ я ≤ п. (Соответственно существует положительный левый собственный вектор ш : ш^Т А = r w^Т, ш_я > 0.) Он известен в литературе во многих вариациях как Вектор Перрона, Собственный вектор Перрона, Собственный вектор Перрона-Фробениуса, ведущий собственный вектор, или же доминантный собственный вектор.
Нет никаких других положительных (тем более неотрицательных) собственных векторов, кроме положительных кратных v (соответственно, левые собственные векторы, кроме ш), т.е. все остальные собственные векторы должны иметь хотя бы одну отрицательную или не действительную составляющую.
${ displaystyle lim _ {k rightarrow infty} A ^ {k} / r ^ {k} = vw ^ {T}}$ , где левый и правый собственные векторы для А нормализованы так, чтобы ш^Тv = 1. Кроме того, матрица v w^Т это проекция на собственное подпространство соответствующийр. Эта проекция называется Проекция Перрона.
Collatz –Формула Виландта: для всех неотрицательных ненулевых векторов Икс, позволять ж(Икс) быть минимальным значением [Топор]_я / Икс_я взял на себя все эти я такой, что Икс_я ≠ 0. Тогда ж - вещественная функция, максимум по всем неотрицательным ненулевым векторам Икс - собственное значение Перрона – Фробениуса.
Формула «Мин-макс» Коллатца – Виландта принимает форму, аналогичную приведенной выше: для всех строго положительных векторов Икс, позволять грамм(Икс) быть максимальным значением [Топор]_я / Икс_я взят на себя я. потом грамм - вещественная функция, минимум по всем строго положительным векторам Икс - собственное значение Перрона – Фробениуса.
Биркофф –Варга формула: Позволять Икс и у - строго положительные векторы. потом ${ displaystyle r = sup _ {x> 0} inf _ {y> 0} { frac {y ^ { top} Ax} {y ^ { top} x}} = inf _ {x> 0} sup _ {y> 0} { frac {y ^ { top} Ax} {y ^ { top} x}} = inf _ {x> 0} sup _ {y> 0} sum _ {i, j = 1} ^ {n} x_ {i} A_ {ij} y_ {j} / sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} x_ {i}.}$ ^[8]
Донскер –Варадхан –Фридланд формула: Позволять п - вектор вероятности и Икс строго положительный вектор. потом ${ displaystyle r = sup _ {p} inf _ {x> 0} sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} [Ax] _ {i} / x_ {i}.}$ ^[9]^[10]
Фидлер формула: ${ Displaystyle г = sup _ {z> 0} inf _ {x> 0, y> 0, x circ y = z} { frac {y ^ { top} Ax} {y ^ { top} x}} = sup _ {z> 0} inf _ {x> 0, y> 0, x circ y = z} sum _ {i, j = 1} ^ { n} x_ {i} A_ {ij} y_ {j} / sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} x_ {i}.}$ ^[11]
Собственное значение Перрона – Фробениуса удовлетворяет неравенствам

{ displaystyle min _ {i} sum _ {j} a_ {ij} leq r leq max _ {i} sum _ {j} a_ {ij}.}

Все эти свойства распространяются не только на строго положительные матрицы, но и на примитивные матрицы (Смотри ниже). Факты 1-7 можно найти у Мейера.^[12] Глава 8 пп. 8.2.11–15 стр. 667 и упражнения 8.2.5,7,9 стр. 668–669.

Левый и правый собственные векторы ш и v иногда нормируются так, что сумма их компонентов равна 1; в этом случае их иногда называют стохастические собственные векторы. Часто они нормализуются так, чтобы правильный собственный вектор v суммы к одному, а ${ Displaystyle ш ^ {Т} v = 1}$ .

Неотрицательные матрицы

Есть расширение для матриц с неотрицательными элементами. Так как любая неотрицательная матрица может быть получена как предел положительных матриц, получается существование собственного вектора с неотрицательными компонентами; соответствующее собственное значение будет неотрицательным и больше, чем или равнопо модулю ко всем остальным собственным значениям.^[13]^[14] Однако для примера ${ displaystyle A = left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {smallmatrix}} right)}$ максимальное собственное значение р = 1 имеет то же абсолютное значение, что и другое собственное значение −1; в то время как для ${ displaystyle A = left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {smallmatrix}} right)}$ , максимальное собственное значение равно р = 0, который не является простым корнем характеристического многочлена, и соответствующий собственный вектор (1, 0) не является строго положительным.

Однако Фробениус обнаружил специальный подкласс неотрицательных матриц - несводимый матрицы - для которых возможно нетривиальное обобщение. Для такой матрицы, хотя собственные значения, достигающие максимального абсолютного значения, могут не быть уникальными, их структура находится под контролем: они имеют вид ${ displaystyle omega r}$ , куда р - действительное строго положительное собственное значение, а ${ displaystyle omega}$ колеблется над комплексом часth корни 1 для некоторого положительного целого числа час называется период матрицы. Собственный вектор, соответствующий р имеет строго положительные компоненты (в отличие от общего случая неотрицательных матриц, где компоненты только неотрицательны). Также все такие собственные значения являются простыми корнями характеристического многочлена. Другие свойства описаны ниже.

Классификация матриц

Позволять А - квадратная матрица (не обязательно положительная или даже действительная). А является несводимый если выполняется любое из следующих эквивалентных свойств.

Определение 1: А не имеет нетривиального инварианта координировать подпространства, где нетривиальное координатное подпространство означает линейное подпространство охватывал любые правильное подмножество стандартных базисных векторов ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ . Более точно, для любого линейного подпространства, натянутого на стандартные базисные векторы е_я₁, ...,е_{я_k}, 0 < k < п свой образ под действием А не содержится в том же подпространстве.

Эквивалентно групповое представительство из ${ Displaystyle ( mathbb {R}, +)}$ на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ данный ${ Displaystyle т mapsto exp (tA)}$ не имеет нетривиальных инвариантных координатных подпространств. (Для сравнения, это было бы неприводимое представление если бы вообще не было нетривиальных инвариантных подпространств, не только с учетом координатных подпространств.)

Определение 2: А не может быть сопряжен в блочную верхнетреугольную форму матрица перестановок п:

{ displaystyle PAP ^ {- 1} neq { begin {pmatrix} E&F 0 & G end {pmatrix}},}

куда E и грамм являются нетривиальными (т.е. размером больше нуля) квадратными матрицами.

Если А неотрицательно другое определение:

Определение 3: Можно связать с матрицей А определенный ориентированный граф грамм_А. Это точно п вершины, где п размер А, и есть ребро из вершины я к вершине j именно когда А_ij > 0. Тогда матрица А неприводимо тогда и только тогда, когда связанный с ним граф грамм_А является сильно связанный.

Матрица сводимый если это не является несводимым.

Матрица А является примитивный если он неотрицательный и его м-я степень положительна для некоторого натурального числа м (т.е. все записи А^м положительные).

Позволять А быть неотрицательным. Исправить индекс я и определить период индекса я быть наибольший общий делитель всех натуральных чисел м такой, что (А^м)_ii > 0. Когда А неприводима, период всех индексов одинаков и называется время А. Фактически, когда А неприводима, период можно определить как наибольший общий делитель длин замкнутых направленных путей в грамм_А (см. Кухни^[15] стр.16). Период также называют индексом импримитивности (Мейер^[12] стр.674) или порядок цикличности. Если период равен 1, А является апериодический. Можно доказать, что примитивные матрицы - это то же самое, что и неприводимые апериодические неотрицательные матрицы.

Все утверждения теоремы Перрона – Фробениуса для положительных матриц остаются верными для примитивных матриц. Те же утверждения справедливы и для неотрицательной неприводимой матрицы, за исключением того, что она может иметь несколько собственных значений, абсолютное значение которых равно ее спектральному радиусу, поэтому утверждения необходимо соответствующим образом изменить. Фактически количество таких собственных значений равно периоду.

Результаты для неотрицательных матриц были впервые получены Фробениусом в 1912 году.

Теорема Перрона – Фробениуса для неприводимых неотрицательных матриц

Позволять А быть неприводимым неотрицательным п × п матрица с периодом час и спектральный радиус ρ(А) = р. Тогда верны следующие утверждения.

Номер р положительное действительное число и собственное значение матрицы А, называется Собственное значение Перрона – Фробениуса.
Собственное значение Перрона – Фробениуса р это просто. И правое, и левое собственные подпространства, связанные с р одномерные.
А имеет правильный собственный вектор v с собственным значением р все компоненты которого положительны.
Так же, А имеет левый собственный вектор ш с собственным значением р все компоненты которого положительны.
Единственные собственные векторы, все компоненты которых положительны, связаны с собственным значением р.
Матрица А точно час (куда час это период) комплексные собственные значения с модулем р. Каждый из них является простым корнем характеристического многочлена и является произведением р с часth корень единства.
Позволять ω = 2π /час. Тогда матрица А является похожий к е^iωА, следовательно, спектр А инвариантна относительно умножения на е^iω (соответствует повороту комплексной плоскости на угол ω).
Если час > 1, то существует матрица перестановок п такой, что

{ displaystyle PAP ^ {- 1} = { begin {pmatrix} 0 & A_ {1} & 0 & 0 & ldots & 0 0 & 0 & A_ {2} & 0 & ldots & 0 vdots & vdots & vdots & vdots && vdots 0 & 0 & 0 & 0 & ldots & A_ {h-1} A_ {h} & ​​0 & 0 & 0 & ldots & 0 end {pmatrix}},}

где блоки по главной диагонали представляют собой нулевые квадратные матрицы.

9. Collatz –Формула Виландта: для всех неотрицательных ненулевых векторов Икс позволять ж(Икс) быть минимальным значением [Топор]_я / Икс_я взял на себя все эти я такой, что Икс_я ≠ 0. Тогда ж - вещественная функция, максимум - собственное значение Перрона – Фробениуса.

10. Собственное значение Перрона – Фробениуса удовлетворяет неравенствам

{ displaystyle min _ {i} sum _ {j} a_ {ij} leq r leq max _ {i} sum _ {j} a_ {ij}.}

Пример ${ displaystyle A = left ({ begin {smallmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 end {smallmatrix}} right)}$ показывает, что (квадратные) нулевые матрицы по диагонали могут быть разного размера, блоки А_j не обязательно быть квадратным, и час не нужно делитьп.

Другие свойства

Позволять А - неприводимая неотрицательная матрица, то:

(Я +А)^п−1 положительная матрица. (Мейер^[12] п.8.3.5 п. 672 ).
Теорема Виландта.^{[требуется разъяснение ]} Если |B|<А, тогда ρ(B)≤ρ(А). Если выполняется равенство (т.е. если μ = ρ (A) e^iφ является собственным значением для B), тогда B = е^iφ ПАПА⁻¹ для некоторой диагональной унитарной матрицы D (т.е. диагональные элементы D равно е^я_л, недиагональные равны нулю).^[16]
Если какая-то сила А^q приводимо, то оно вполне приводимо, т.е.для некоторой перестановочной матрицы п, правда, что: ${ displaystyle PA ^ {q} P ^ {- 1} = { begin {pmatrix} A_ {1} & 0 & 0 & dots & 0 0 & A_ {2} & 0 & dots & 0 vdots & vdots & vdots && vdots 0 & 0 & 0 & dots & A_ {d} end {pmatrix}}}$ , куда А_я неприводимые матрицы, имеющие одинаковое максимальное собственное значение. Количество этих матриц d является наибольшим общим делителем q и час, куда час период А.^[17]
Если c(Икс) = х^п + c_k₁ Икс^н-к₁ + c_k₂ Икс^н-к₂ + ... + c_{k_s} Икс^н-к_s - характеристический многочлен А в котором перечислены только ненулевые члены, то период А равен наибольшему общему делителю k₁, k₂, ..., к_s.^[18]
Cesàro средние: ${ displaystyle lim _ {k rightarrow infty} 1 / k sum _ {i = 0, ..., k} A ^ {i} / r ^ {i} = (vw ^ {T}), }$ где левый и правый собственные векторы для А нормализованы так, чтобы ш^Тv = 1. Кроме того, матрица v w^Т это спектральная проекция соответствующий р, проекция Перрона.^[19]
Позволять р - собственное значение Перрона – Фробениуса, то сопряженная матрица для (р-А) положительный.^[20]
Если А имеет хотя бы один ненулевой диагональный элемент, то А примитивен.^[21]
Если 0 ≤ А < B, тогда р_А ≤ р_Б. Более того, если B неприводимо, то неравенство строгое: р_А <г_B.

Матрица А примитивен, если он неотрицателен и А^м положительно для некоторых м, и поэтому А^k положительно для всех к ≥ м. Чтобы проверить примитивность, нужно оценить, насколько велика минимальная такая м может быть, в зависимости от размера А:^[22]

Если А неотрицательная примитивная матрица размера п, тогда А^{п² − 2п + 2} положительный. Более того, это наилучший результат, поскольку для матрицы M ниже сила M^k не для всех k < п² − 2п + 2, поскольку (M^{п² − 2п+1})₁₁ = 0.

{ displaystyle M = left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & vdots && vdots & 0 & 0 & 0 & vdots && vdots 0 & 0 & cdots & 1 1 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 end {smallmatrix}} right)}

Приложения

О неотрицательных матрицах написано множество книг, и теория Перрона – Фробениуса неизменно является центральной особенностью. Следующие ниже примеры лишь поверхностно касаются его обширной области применения.

Неотрицательные матрицы

Теорема Перрона – Фробениуса не применяется непосредственно к неотрицательным матрицам. Тем не менее любая приводимая квадратная матрица А может быть записан в виде верхнетреугольного блока (известного как нормальная форма приводимой матрицы)^[23]

PAP⁻¹ =

{ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} B_ {1} & * & * & cdots & * 0 & B_ {2} & * & cdots & * vdots & vdots & vdots && vdots 0 & 0 & 0 & cdots & * 0 & 0 & 0 & cdots & B_ {h} end {smallmatrix}} right)}

куда п матрица перестановок и каждая B_я - квадратная матрица, которая либо неприводима, либо равна нулю. Сейчас если А неотрицательна, то каждый блок PAP⁻¹, причем спектр А просто объединение спектровB_я.

Обратимость А также можно изучить. Обратное PAP⁻¹ (если он существует) должен иметь диагональные блоки вида B_я⁻¹ так что если естьB_я не обратимо, то и PAP⁻¹ или же А.Напротив, пусть D - блочно-диагональная матрица, соответствующая PAP⁻¹, другими словами PAP⁻¹ с обнуленными мастерисками. Если каждый B_я обратимо, то также D и D⁻¹(PAP⁻¹) равно тождеству плюс нильпотентная матрица. Но такая матрица всегда обратима (если N^k = 0 обратное 1 - N is1 + N + N² + ... + N^k−1) так PAP⁻¹ и А оба обратимы.

Поэтому многие спектральные свойства А можно вывести, применяя теорему к неприводимому B_я. Например, корень Перрона - это максимум ρ (B_я). Хотя все еще будут собственные векторы с неотрицательными компонентами, вполне возможно, что ни один из них не будет положительным.

Стохастические матрицы

Ряд (столбец) стохастическая матрица представляет собой квадратную матрицу, каждая из строк (столбцов) которой состоит из неотрицательных действительных чисел, сумма которых равна единице. Теорема не может быть применена непосредственно к таким матрицам, потому что они не обязательно должны быть неприводимыми.

Если А является стохастическим по строкам, то вектор-столбец с каждым элементом 1 является собственным вектором, соответствующим собственному значению 1, которое также является ρ (А) по замечанию выше. Это может быть не единственное собственное значение на единичной окружности: и соответствующее собственное подпространство может быть многомерным. Если А является стохастическим по строкам и неприводимым, то проекция Перрона также является стохастической по строкам и все его строки равны.

Алгебраическая теория графов

Теорема особенно полезна в алгебраическая теория графов. "Основной график" неотрицательного п-квадратная матрица - это граф с номерами вершин 1, ..., п и дуга ij если и только если А_ij 0. Если основной граф такой матрицы сильно связен, то матрица неприводима, и поэтому теорема применима. В частности, матрица смежности из сильно связный граф неприводимо.^[24]^[25]

Конечные цепи Маркова

Теорема имеет естественную интерпретацию в теории конечных Цепи Маркова (где это теоретико-матричный эквивалент сходимости неприводимой конечной цепи Маркова к ее стационарному распределению, сформулированный в терминах матрицы переходов цепи; см., например, статью о поддвиг конечного типа ).

Компактные операторы

В более общем плане его можно распространить на неотрицательный компактные операторы, которые во многом напоминают конечномерные матрицы. Их обычно изучают в физике под названием операторы трансфера, а иногда Операторы Рюэля – Перрона – Фробениуса. (после Дэвид Рюэлль ). В этом случае старшее собственное значение соответствует термодинамическое равновесие из динамическая система, а меньшие собственные значения - модам распада системы, которая не находится в равновесии. Таким образом, теория предлагает способ открытия стрела времени в том, что иначе казалось бы обратимыми, детерминированными динамическими процессами, если рассматривать их с точки зрения точечная топология.^[26]

Методы доказательства

Общей нитью многих доказательств является Теорема Брауэра о неподвижной точке. Другой популярный метод - это Wielandt (1950). Он использовал Collatz - Формула Виландта, описанная выше, расширяет и уточняет работу Фробениуса.^[27] Другое доказательство основано на спектральная теория^[28] из какой части заимствованы аргументы.

Корень Перрона - строго максимальное собственное значение для положительных (и примитивных) матриц

Если А является положительной (или, в более общем смысле, примитивной) матрицей, то существует действительное положительное собственное значение р (Собственное значение Перрона – Фробениуса или корень Перрона), который строго больше по модулю, чем все другие собственные значения, поэтому р это спектральный радиус из А.

Это утверждение не выполняется для общих неотрицательных неприводимых матриц, которые имеют час собственные значения с тем же абсолютным собственным значением, что и р, куда час это период А.

Доказательство для положительных матриц

Позволять А - положительная матрица, предположим, что ее спектральный радиус ρ (А) = 1 (иначе рассмотрим A / ρ (А)). Следовательно, существует собственное значение λ на единичной окружности, а все остальные собственные значения меньше или равны 1 по модулю. Предположим, что на единичную окружность также попадает другое собственное значение λ ≠ 1. Тогда существует натуральное число м такой, что А^м - положительная матрица, а действительная часть λ^м отрицательный. Пусть ε - половина наименьшего диагонального элемента А^м и установить Т = А^м − εI что является еще одной положительной матрицей. Более того, если Топор = λx тогда А^мИкс = λ^мИкс таким образом λ^м − ε является собственным значением Т. Из-за выбора м эта точка лежит вне единичного диска, следовательно ρ(Т)> 1. С другой стороны, все записи в Т положительны и меньше или равны А^м так что Формула Гельфанда ρ(Т) ≤ ρ(А^м) ≤ ρ(А)^м = 1. Это противоречие означает, что λ = 1 и других собственных значений на единичной окружности быть не может.

Абсолютно те же аргументы можно применить и к случаю примитивных матриц; нам просто нужно упомянуть следующую простую лемму, поясняющую свойства примитивных матриц.

Лемма

Учитывая неотрицательный А, предположим, что существует м, так что А^м положительно, то А^м+1, А^м+2, А^м+3, ... все положительные.

А^м+1 = AA^м, поэтому он может иметь нулевой элемент, только если некоторая строка А полностью равен нулю, но в этом случае та же строка А^м будет ноль.

Применяя те же аргументы, что и выше для примитивных матриц, докажите основное утверждение.

Степенной метод и положительная собственная пара

Для положительной (или, в более общем смысле, неприводимой неотрицательной) матрицы А доминирующий собственный вектор является действительным и строго положительным (для неотрицательных А соответственно неотрицательный.)

Это можно установить с помощью силовой метод, который утверждает, что для достаточно общей (в следующем смысле) матрицы А последовательность векторов б_k+1 = Ab_k / | Ab_k | сходится к собственный вектор с максимальным собственное значение. (Начальный вектор б₀ можно выбрать произвольно, за исключением некоторого набора нулевой меры). Начиная с неотрицательного вектора б₀ производит последовательность неотрицательных векторов б_k. Следовательно, предельный вектор также неотрицателен. По степенному методу этот предельный вектор является доминирующим собственным вектором для А, доказывая утверждение. Соответствующее собственное значение неотрицательно.

Доказательство требует двух дополнительных аргументов. Во-первых, степенной метод сходится для матриц, которые не имеют нескольких собственных значений, имеющих ту же абсолютную величину, что и максимальное. Аргумент предыдущего раздела гарантирует это.

Во-вторых, обеспечить строгую положительность всех компонент собственного вектора для случая неприводимых матриц. Это следует из следующего, представляющего самостоятельный интерес, факта:

Лемма: дана положительная (или, в более общем смысле, неприводимая неотрицательная) матрица А и v как любой неотрицательный собственный вектор для А, то оно обязательно строго положительно, и соответствующее собственное значение также строго положительно.

Доказательство. Одно из определений неприводимости неотрицательных матриц состоит в том, что для всех индексов я, j Существует м, такое что (А^м)_ij строго положительный. Учитывая неотрицательный собственный вектор v, и что хотя бы один из его компонентов говорит j-го строго положительно, соответствующее собственное значение строго положительно, действительно, если п такой, что (А^п)_ii > 0, следовательно: р^пv_я =А^пv_я ≥(А^п)_iiv_я> 0. Следовательно р строго положительный. Собственный вектор - строгая положительность. Тогда учитывая м, такое что (А^м)_ij > 0, следовательно: р^мv_j =(А^мv)_j ≥(А^м)_ijv_я > 0, поэтомуv_j строго положительно, т.е. собственный вектор строго положителен.

Кратность один

В этом разделе доказывается, что собственное значение Перрона – Фробениуса является простым корнем характеристического полинома матрицы. Следовательно, собственное подпространство, связанное с собственным значением Перрона – Фробениуса р одномерно. Аргументы здесь близки к аргументам Мейера.^[12]

Учитывая строго положительный собственный вектор v соответствующий р и еще один собственный вектор ш с тем же собственным значением. (Векторы v и ш могут быть выбраны как настоящие, потому что А и р оба реальны, поэтому пустое пространство A-r имеет базис, состоящий из действительных векторов.) Предполагая, что хотя бы одна из компонент ш положительно (иначе умножить ш на −1). Учитывая максимально возможные α такой, что и = v- α w неотрицательна, то одна из составляющих ты равен нулю, иначе α не максимум. Вектор ты - собственный вектор. Оно неотрицательно, поэтому по лемме, описанной в предыдущий раздел неотрицательность подразумевает строгую положительность для любого собственного вектора. С другой стороны, как указано выше, по крайней мере, один компонент ты равно нулю. Из противоречия следует, что ш не существует.

Случай: нет жордановых клеток, соответствующих собственному значению Перрона – Фробениуса. р и все остальные собственные значения, которые имеют такое же абсолютное значение.

Если есть жорданова клетка, то бесконечная норма (A / r)^k_∞ стремится к бесконечности для k → ∞ , но это противоречит существованию положительного собственного вектора.

Данный р = 1 или A / r. Сдача v - строго положительный собственный вектор Перрона – Фробениуса, поэтому Av = v, тогда:

${ Displaystyle | v | _ { infty} = | A ^ {k} v | _ { infty} geq | A ^ {k} | _ { infty} min _ {я } (v_ {i}), ~~ Rightarrow ~~ | A ^ {k} | _ { infty} leq | v | / min _ {i} (v_ {i})}$ Так А^k_∞ ограничен для всех k. Это дает еще одно доказательство того, что не существует собственных значений, имеющих большее абсолютное значение, чем значение Перрона – Фробениуса. Это также противоречит существованию клетки Жордана для любого собственного значения, имеющего абсолютное значение, равное 1 (в частности, для ячейки Перрона – Фробениуса), поскольку существование клетки Жордана означает, что А^k_∞ неограничен. Для матрицы два на два:

{ displaystyle J ^ {k} = { begin {pmatrix} lambda & 1 0 & lambda end {pmatrix}} ^ {k} = { begin {pmatrix} lambda ^ {k} & k lambda ^ {k-1} 0 & lambda ^ {k} end {pmatrix}},}

следовательно J^k_∞ = |k + λ| (для |λ| = 1), поэтому он стремится к бесконечности при k делает так. С J^k = C⁻¹ А^kC, тогда А^k ≥ J^k/ (C⁻¹ C ), поэтому она также стремится к бесконечности. Полученное противоречие означает, что для соответствующих собственных значений нет жордановых клеток.

Объединение двух приведенных выше утверждений показывает, что собственное значение Перрона – Фробениуса р является простым корнем характеристического многочлена. В случае непримитивных матриц существуют другие собственные значения, которые имеют то же абсолютное значение, что и р. То же самое верно и для них, но требует дополнительной работы.

Никаких других неотрицательных собственных векторов

Учитывая положительную (или, в более общем смысле, неприводимую неотрицательную матрицу) Асобственный вектор Перрона – Фробениуса является единственным (с точностью до умножения на константу) неотрицательным собственным вектором для А.

Другие собственные векторы должны содержать отрицательные или комплексные компоненты, поскольку собственные векторы для разных собственных значений в некотором смысле ортогональны, но два положительных собственных вектора не могут быть ортогональными, поэтому они должны соответствовать одному и тому же собственному значению, но собственное подпространство для Перрона – Фробениуса одномерно.

Предполагая, что существует собственная пара (λ, у) за А, такой что вектор у положительно, и с учетом (р, Икс), куда Икс - левый собственный вектор Перрона – Фробениуса для А (т.е. собственный вектор для А^Т), тогдаrx^Ту = (Икс^Т А) у = Икс^Т (Ау) = λx^Ту, также Икс^Т у > 0, поэтому имеем: р = λ. Поскольку собственное подпространство для собственного значения Перрона – Фробениуса р - одномерный неотрицательный собственный вектор у делится на единицу Перрона – Фробениуса.^[29]

Формула Коллатца – Виландта

Учитывая положительную (или, в более общем смысле, неприводимую неотрицательную матрицу) А, определяется функция ж на множестве всех неотрицательных ненулевых векторов Икс такой, что f (x) минимальное значение [Топор]_я / Икс_я взял на себя все эти я такой, что Икс_я ≠ 0. Тогда ж - вещественная функция, у которой максимум - собственное значение Перрона – Фробениуса р.

Для доказательства обозначим максимум из ж по значению р. Доказательство требует показать R = r. Вставка собственного вектора Перрона-Фробениуса v в ж, мы получаем f (v) = r и заключить г ≤ R. Для обратного неравенства рассмотрим произвольный неотрицательный вектор Икс и разреши ξ = f (x). Определение ж дает 0 ≤ ξx ≤ Ax (покомпонентно). Теперь мы используем положительный правый собственный вектор ш за А для собственного значения Перрона-Фробениуса р, тогда ξ w^Т х = ш^Т ξx ≤ w^Т (Ax) = (w^Т А) x = r w^Т Икс . Следовательно f (x) = ξ ≤ r, что означает R ≤ r.^[30]

Проекция Перрона как предел: А^k/р^k

Позволять А положительная (или, в более общем смысле, примитивная) матрица, и пусть р - его собственное значение Перрона – Фробениуса.

Есть предел А^k/р^k за k → ∞, обозначим его п.
п это оператор проекции: п² = п, который курсирует с А: AP = PA.
Образ п одномерна и натянута на собственный вектор Перрона – Фробениуса v (соответственно для п^Т- собственным вектором Перрона – Фробениуса ш за А^Т).
п = vw^Т, куда v, w нормализованы так, что ш^Т v = 1.
Следовательно п положительный оператор.

Следовательно п это спектральная проекция для собственного значения Перрона – Фробениуса р, и называется проекцией Перрона. Сказанное выше утверждение неверно для общих неотрицательных неприводимых матриц.

Фактически приведенные выше формулы (кроме п.5) действительны для любой матрицы. M такое, что существует собственное значение р который строго превосходит другие собственные значения по модулю и является простым корнем характеристики многочлен. (Эти требования выполняются для примитивных матриц, как указано выше).

При условии M диагонализуема, M сопряжена диагональной матрице с собственными значениями р₁, ... , р_п на диагонали (обозначим р₁ = р). Матрица M^k/р^k будет сопряженным (1, (р₂/р)^k, ... , (р_п/р)^k), которая стремится к (1,0,0, ..., 0), при k → ∞, значит предел существует. Тот же метод работает для общих M (не предполагая, что M диагонализуема).

Свойства проекции и коммутативности являются элементарными следствиями определения: ММ^k/р^k = M^k/р^k M ; п² = lim M^2k/р^2k = п. Третий факт тоже элементарен: M(Пу) = M Lim M^k/р^k ты = lim rM^k+1/р^k+1ты, поэтому взятие предела дает М (Пу) = р(Пу), поэтому изображение п лежит в р-eigenspace для M, которая по предположениям одномерная.

Обозначается v, р-собственный вектор для M (к ш за M^Т). Столбцы п кратны v, потому что изображение п охватывает это. Соответственно, ряды ш. Так п принимает форму (а v ж^Т), для некоторых а. Следовательно, его след равен (а ш^Т v). След проектора равен размеру его изображения. Ранее было доказано, что она не более чем одномерная. Из определения видно, что п действует идентично на р-собственный вектор для M. Так что это одномерно. Итак, выбирая (ш^Тv) = 1, следует п = vw^Т.

Неравенства для собственного значения Перрона – Фробениуса.

Для любой неотрицательной матрицы А его собственное значение Перрона – Фробениуса р удовлетворяет неравенству:

{ displaystyle r ; leq ; max _ {i} sum _ {j} A_ {ij}.}

Это не относится к неотрицательным матрицам: для любой матрицы А с собственным значением ${ displaystyle scriptstyle lambda}$ правда, что ${ displaystyle scriptstyle | lambda | ; leq ; max _ {i} sum _ {j} | A_ {ij} |}$ . Это непосредственное следствиеТеорема Гершгорина о круге. Однако другое доказательство более прямое:

Любой матричная индуцированная норма удовлетворяет неравенству ${ displaystyle scriptstyle | A | geq | lambda |}$ для любого собственного значения ${ displaystyle scriptstyle lambda}$ потому что, если ${ displaystyle scriptstyle x}$ - соответствующий собственный вектор, ${ displaystyle scriptstyle | A | geq | Ax | / | x | = | lambda x | / | x | = | lambda |}$ . В бесконечная норма матрицы - это максимум строковых сумм: ${ displaystyle scriptstyle left | A right | _ { infty} = max limits _ {1 leq i leq m} sum _ {j = 1} ^ {n} | A_ {ij } |.}$ Следовательно, искомое неравенство в точности ${ Displaystyle scriptstyle | A | _ { infty} geq | lambda |}$ применяется к неотрицательной матрице А.

Еще одно неравенство:

{ displaystyle min _ {i} sum _ {j} A_ {ij} ; leq ; r.}

Этот факт характерен для неотрицательных матриц; для общих матриц ничего подобного нет. При условии А положительно (а не только неотрицательно), то существует положительный собственный вектор ш такой, что Аву = rw и самый маленький компонент ш (сказать ш_я) равно 1. Тогда р = (Аву)_я ≥ сумма чисел в строке я из А. Таким образом, минимальная сумма строк дает нижнюю границу для р и это наблюдение можно распространить на все неотрицательные матрицы по непрерывности.

Другой способ аргументировать это - через Collatz -Формула Виландта. Один берет вектор Икс = (1, 1, ..., 1) и сразу получаем неравенство.

Дальнейшие доказательства

Проекция Перрона

Доказательство проводится с использованием спектральное разложение. Уловка здесь состоит в том, чтобы отделить корень Перрона от других собственных значений. Спектральная проекция, связанная с корнем Перрона, называется проекцией Перрона, и она обладает следующим свойством:

Проекция Перрона неприводимой неотрицательной квадратной матрицы является положительной матрицей.

Выводы Перрона, а также (1) - (5) теоремы являются следствиями этого результата. Ключевым моментом является то, что положительная проекция всегда имеет первый ранг. Это означает, что если А является неприводимой неотрицательной квадратной матрицей, то алгебраическая и геометрическая кратности ее корня Перрона равны. Также если п проекция Перрона, то AP = PA = ρ (А)п так что каждый столбец п является положительным правым собственным вектором А и каждая строка является положительным левым собственным вектором. Более того, если Топор = λИкс тогда PAx = λPx = ρ (А)Px что значит Px = 0, если λ ≠ ρ (А). Таким образом, единственными положительными собственными векторами являются те, которые связаны с ρ (А). Если А - примитивная матрица с ρ (А) = 1, то его можно разложить как п ⊕ (1 − п)А так что А^п = п + (1 − п)А^п. В качестве п увеличивает второй из этих членов, убывает до нуля, оставляя п как предел А^п в качестве п → ∞.

Степенной метод - удобный способ вычислить проекцию Перрона примитивной матрицы. Если v и ш положительные векторы строк и столбцов, которые он генерирует, тогда проекция Перрона просто wv/vw. Спектральные проекции не заблокированы аккуратно, как в форме Джордана. Здесь они наложены друг на друга, и каждый, как правило, имеет сложные элементы, распространяющиеся на все четыре угла квадратной матрицы. Тем не менее, они сохраняют взаимную ортогональность, что облегчает разложение.

Периферийная проекция

Анализ, когда А является неприводимым, а неотрицательный во многом аналогичен. Проекция Перрона по-прежнему положительная, но теперь могут быть другие собственные значения модуля ρ (А), которые сводят на нет использование степенного метода и препятствуют использованию степеней (1 -п)А убывает, как в примитивном случае, если ρ (А) = 1. Итак, рассмотрим периферическая проекция, которая является спектральной проекцией А соответствующий всем собственным значениям, имеющим модуль ρ(А). Затем можно показать, что периферийная проекция неприводимой неотрицательной квадратной матрицы является неотрицательной матрицей с положительной диагональю.

Цикличность

Предположим дополнительно, что ρ (А) = 1 и А имеет час собственные значения на единичной окружности. Если п периферийная проекция, то матрица р = AP = PA неотрицательно и неприводимо, р^час = п, а циклическая группа п, р, р², ...., р^час−1 представляет собой гармоники А. Спектральная проекция А при собственном значении λ на единичной окружности задается формулой ${ displaystyle scriptstyle h ^ {- 1} sum _ {1} ^ {h} lambda ^ {- k} R ^ {k}}$ . Все эти проекции (включая проекцию Перрона) имеют одинаковую положительную диагональ, более того, если выбрать любую из них, а затем взять модуль каждой записи, неизменно получится проекция Перрона. Некоторая работа осла все еще необходима, чтобы установить циклические свойства (6) - (8), но, по сути, это просто вопрос поворота ручки. Спектральное разложение А дан кем-то А = р ⊕ (1 − п)А так что разница между А^п и р^п является А^п − р^п = (1 − п)А^п представляющие переходные процессы А^п которые в конечном итоге распадаются до нуля. п может быть вычислен как предел А^нэ в качестве п → ∞.

Контрпримеры

Матрицы L = ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 end {smallmatrix}} right)}$ , п = ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 ! ! ! - 1 & 1 & 1 end {smallmatrix}} right)}$ , Т = ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 end {smallmatrix}} right)}$ , M = ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 & 0 end {smallmatrix}} right)}$ приведите простые примеры того, что может пойти не так, если не будут соблюдены необходимые условия. Легко видеть, что перроновые и периферические проекции L оба равны п, таким образом, когда исходная матрица приводима, проекции могут потерять неотрицательность, и нет возможности выразить их как пределы ее возможностей. Матрица Т является примером примитивной матрицы с нулевой диагональю. Если диагональ неприводимой неотрицательной квадратной матрицы не равна нулю, тогда матрица должна быть примитивной, но этот пример демонстрирует, что обратное неверно. M это пример матрицы с несколькими отсутствующими спектральными зубцами. Если ω = e^{iπ / 3} тогда ω⁶ = 1 и собственные значения M являются {1, ω², ω³, ω⁴} так что ω и ω⁵ оба отсутствуют.^{[нужна цитата ]}

Терминология

Проблема, вызывающая путаницу, - это отсутствие стандартизации определений. Например, некоторые авторы используют термины строго положительный и положительный означать> 0 и ≥ 0 соответственно. В этой статье положительный означает> 0 и неотрицательный означает ≥ 0. Еще одна проблемная область касается разложимость и сводимость: несводимый это перегруженный термин. Во избежание сомнений ненулевую неотрицательную квадратную матрицу А такой, что 1 +А примитивно иногда называют связаны. Тогда неприводимые неотрицательные квадратные матрицы и связные матрицы являются синонимами.^[31]

Неотрицательный собственный вектор часто нормируют так, чтобы сумма его компонентов была равна единице; в этом случае собственным вектором является вектор распределение вероятностей и иногда его называют стохастический собственный вектор.

Собственное значение Перрона – Фробениуса и доминирующее собственное значение альтернативные имена корня Перрона. Спектральные проекции также известны как спектральные проекторы и призрачные идемпотенты. Период иногда называют периодом индекс импримитивности или порядок цикличности.

Смотрите также

Примечания

^ Боулз, Сэмюэл (1981-06-01). «Технические изменения и норма прибыли: простое доказательство теоремы Окисио». Кембриджский журнал экономики. 5 (2): 183–186. Дои:10.1093 / oxfordjournals.cje.a035479. ISSN 0309-166X.
^ Мейер 2000, стр.8.3.6 п. 681 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Мейер 2000, стр.8.3.7 п. 683 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Лэнгвилл и Мейер 2006, п.15,2 п. 167 Лэнгвилл, Эми Н.; Langville, Amy N .; Мейер, Карл Д. (23 июля 2006 г.). PageRank Google и за его пределами: наука о рейтинге в поисковых системах. ISBN 978-0691122021. Архивировано 10 июля 2014 года.. Получено 2016-10-31.CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (связь)
^ Кинер 1993, п.п. 80
^ Ландау, Эдмунд (1895), "Zur relativen Wertbemessung der Turnierresultaten", Deutsches Wochenschach, XI: 366–369
^ Ландау, Эдмунд (1915), "Über Preisverteilung bei Spielturnieren", Zeitschrift für Mathematik und Physik, 63: 192–202
^ Биркгоф, Гарретт и Варга, Ричард С., 1958. Критичность реактора и неотрицательные матрицы. Журнал Общества промышленной и прикладной математики, 6 (4), стр. 354-377.
^ Донскер, М.Д., Варадхан, С.С., 1975. О вариационной формуле для главного собственного значения для операторов с принципом максимума. Proceedings of the National Academy of Sciences, 72 (3), pp.780-783.
^ Фридланд С., 1981. Выпуклые спектральные функции. Линейная и полилинейная алгебра, 9 (4), с. 299-316.
^ Мирослав Фидлер; Чарльз Р. Джонсон; Томас Л. Маркхэм; Майкл Нойман (1985). «Неравенство следов для M-матриц и симметризуемость вещественной матрицы положительной диагональной матрицей». Линейная алгебра и ее приложения. 71: 81–94. Дои:10.1016 / 0024-3795 (85) 90237-X.
^ ^а ^б ^c ^d Мейер 2000, стр.глава 8 страница 665 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Мейер 2000, стр.глава 8.3 страница 670. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Гантмахер 2000, п.глава XIII.3 теорема 3 стр.66
^ Кухни, Брюс (1998), Символическая динамика: односторонние, двусторонние и счетные государственные марковские сдвиги., Спрингер, ISBN 9783540627388
^ Мейер 2000, стр.п.8.3.11 п. 675 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Гантмахер 2000, п. Раздел XIII.5 Теорема 9
^ Мейер 2000, стр.стр. 679 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Мейер 2000, стр.пример 8.3.2 п. 677 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Гантмахер 2000, п.раздел XIII.2.2 стр. 62
^ Мейер 2000, стр.пример 8.3.3 п. 678 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Мейер 2000, стр.глава 8, пример 8.3.4 стр. 679 и упражнение 8.3.9 с. 685 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Варга 2002, п. 2.43 (стр. 51)
^ Бруальди, Ричард А.; Райзер, Герберт Дж. (1992). Комбинаторная матричная теория. Кембридж: Cambridge UP. ISBN 978-0-521-32265-2.
^ Бруальди, Ричард А.; Цветкович, Драгош (2009). Комбинаторный подход к теории матриц и ее приложениям. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8223-4.
^ Макки, Майкл С. (1992). Стрела времени: истоки термодинамического поведения. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97702-7.
^ Гантмахер 2000, п.раздел XIII.2.2 стр. 54
^ Смит, Роджер (2006), "Теоретико-спектральное доказательство Перрона – Фробениуса" (PDF), Математические труды Королевской ирландской академии, 102 (1): 29–35, Дои:10.3318 / PRIA.2002.102.1.29
^ Мейер 2000, стр.Глава 8, пункт 8.2.10, стр. 666 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Мейер 2000, стр.глава 8 страница 666 «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 7 марта 2010 г.. Получено 2010-03-07.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Обзор результатов о неприводимости см. В Ольга Таусская-Тодд и Ричард А. Бруальди.

Теорема Перрона – Фробениуса - Perron–Frobenius theorem

Содержание

Заявление

Положительные матрицы

Неотрицательные матрицы

Классификация матриц

Теорема Перрона – Фробениуса для неприводимых неотрицательных матриц

Другие свойства

Приложения

Неотрицательные матрицы

Стохастические матрицы

Алгебраическая теория графов

Конечные цепи Маркова

Компактные операторы

Методы доказательства

Корень Перрона - строго максимальное собственное значение для положительных (и примитивных) матриц

Доказательство для положительных матриц

Лемма

Степенной метод и положительная собственная пара

Кратность один

Никаких других неотрицательных собственных векторов

Формула Коллатца – Виландта

Проекция Перрона как предел: А^k/р^k

Неравенства для собственного значения Перрона – Фробениуса.

Дальнейшие доказательства

Проекция Перрона

Периферийная проекция

Цикличность

Контрпримеры

Терминология

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Оригинальные статьи

дальнейшее чтение

Теорема Перрона – Фробениуса - Perron–Frobenius theorem

Заявление

Положительные матрицы

Неотрицательные матрицы

Классификация матриц

Теорема Перрона – Фробениуса для неприводимых неотрицательных матриц

Другие свойства

Приложения

Неотрицательные матрицы

Стохастические матрицы

Алгебраическая теория графов

Конечные цепи Маркова

Компактные операторы

Методы доказательства

Корень Перрона - строго максимальное собственное значение для положительных (и примитивных) матриц

Доказательство для положительных матриц

Лемма

Степенной метод и положительная собственная пара

Кратность один

Никаких других неотрицательных собственных векторов

Формула Коллатца – Виландта

Проекция Перрона как предел: Аk/рk

Неравенства для собственного значения Перрона – Фробениуса.

Дальнейшие доказательства

Проекция Перрона

Периферийная проекция

Цикличность

Контрпримеры

Терминология

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Оригинальные статьи

дальнейшее чтение

Проекция Перрона как предел: А^k/р^k