Кодаира измерение - Kodaira dimension

В алгебраическая геометрия, то Кодаира измерение κ(Икс) измеряет размер каноническая модель из проективное разнообразие Икс.

Игорь Шафаревич ввел важный числовой инвариант поверхностей с обозначением κ на семинаре Шафаревич 1965 г.. Сигеру Иитака (1970 ) расширил его и определил измерение Кодаира для многомерных разновидностей (под названием каноническое измерение), а позже назвал его в честь Кунихико Кодайра в Иитака (1971).

Плюриген

В канонический пакет из гладкий алгебраическое многообразие Икс измерения п над полем линейный пакет из п-формы,

{ Displaystyle , ! K_ {X} = bigwedge ^ {n} Omega _ {X} ^ {1},}

какой пth внешняя сила из котангенсный пучок из Икс.Для целого числа d, то dтензорная степень K_Икс снова является линейным пучком. d ≥ 0, векторное пространство глобальных сечений ЧАС⁰(Икс,K_Икс^d) обладает замечательным свойством: бирациональный инвариант гладких проективных многообразий Икс. То есть это векторное пространство канонически отождествляется с соответствующим пространством для любого гладкого проективного многообразия, которое изоморфно Икс вне подмножеств меньшей размерности.

За d ≥ 0,dth Plurigenus из Икс определяется как размерность векторного пространства глобальных сечений K_Икс^d:

{ displaystyle P_ {d} = h ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d}) = dim H ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d}).}

Плюрироды - важные бирациональные инварианты алгебраического многообразия. В частности, самый простой способ доказать, что многообразие не рационально (т. Е. Не бирационально по отношению к проективному пространству), - это показать, что некоторое плюригенус п_d с d > 0 не равно нулю. Если пространство секций K_Икс^d отлична от нуля, то существует естественное рациональное отображение из Икс в проективное пространство

{ displaystyle mathbf {P} (H ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d})) = mathbf {P} ^ {P_ {d} -1},}

называется d-каноническая карта. В каноническое кольцо р(K_Икс) разнообразия Икс это градуированное кольцо

{ displaystyle R (K_ {X}): = bigoplus _ {d geq 0} H ^ {0} (X, K_ {X} ^ {d}).}

Также см геометрический род и арифметический род.

В Кодаира измерение из Икс определяется как ${ displaystyle - infty}$ если плюриген п_d равны нулю для всех d > 0; в противном случае это минимум κ такой, что п_d/ д^κ ограничено. Измерение Кодаира п-мерное разнообразие либо ${ displaystyle - infty}$ или целое число в диапазоне от 0 до п.

Интерпретации измерения Кодаира

Следующие целые числа равны, если они неотрицательны. Хорошая ссылка Лазарсфельд (2004), Теорема 2.1.33.

Если каноническое кольцо конечно порождено, что верно в характеристика нулю и в общем предполагали: размерность Строительство проекта ${ displaystyle operatorname {Proj} R (K_ {X})}$ (эта разновидность называется каноническая модель из Икс; это зависит только от класса бирациональной эквивалентности Икс).
Размер изображения d-каноническое отображение для всех положительных кратных d некоторого положительного целого числа ${ displaystyle d_ {0}}$ .
В степень трансцендентности поля дробей р, минус один, т.е. ${ displaystyle t-1}$ , куда т это количество алгебраически независимый генераторы можно найти.
Скорость роста плюриродов: то есть наименьшее число κ такой, что ${ Displaystyle P_ {d} / d ^ { kappa}}$ ограничено. В Обозначение Big O, это минимальный κ такой, что ${ Displaystyle P_ {d} = O (d ^ { kappa})}$ .

Если одно из этих чисел не определено или отрицательно, тогда все они есть. В этом случае измерение Кодаира считается отрицательным или ${ displaystyle - infty}$ . Некоторые исторические ссылки определяют его как -1, но тогда формула ${ Displaystyle каппа (Икс раз Y) = каппа (Х) + каппа (Y)}$ не всегда выполняется, и утверждение Гипотеза Иитаки усложняется. Например, измерение Кодаира ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1} times X}$ является ${ displaystyle - infty}$ для всех сортовИкс.

Заявление

Размерность Кодаира дает полезное грубое разделение всех алгебраических многообразий на несколько классов.

Разновидности с низкой размерностью Кодаира можно считать особыми, тогда как разновидности максимальной размерности Кодаира называют общий тип.

Геометрически существует очень грубое соответствие между измерением Кодаира и кривизной: отрицательное измерение Кодаира соответствует положительной кривизне, нулевое измерение Кодаира соответствует плоскостности, а максимальное измерение Кодаира (общий тип) соответствует отрицательной кривизне.

Особенность многообразий низкой размерности Кодаиры аналогична специальности римановых многообразий положительной кривизны (а общий тип соответствует общности неположительной кривизны); видеть классические теоремы, особенно на Защемленная секционная кривизна и Положительная кривизна.

Эти утверждения уточняются ниже.

Размер 1

Гладкие проективные кривые дискретно классифицируются по род, который может быть любым натуральное число грамм = 0, 1, ....

Здесь «дискретно классифицированный» означает, что для данного рода существует неприводимый пространство модулей кривых этого рода.

Размерность Кодаира кривой Икс является:

κ = ${ displaystyle - infty}$ : род 0 ( проективная линия п¹): K_Икс неэффективен, п_d = 0 для всех d> 0.
κ = 0: род 1 (эллиптические кривые ): K_Икс это тривиальная связка, п_d = 1 для всех d ≥ 0.
κ = 1: род грамм ≥ 2: K_Икс является обильный, п_d = (2d − 1)(грамм - 1) для всехd ≥ 2.

Сравните с Теорема униформизации для поверхностей (реальных поверхностей, поскольку комплексная кривая имеет действительную размерность 2): размерность Кодаира ${ displaystyle - infty}$ соответствует положительной кривизне, размерность Кодаира 0 соответствует плоскостности, размерность Кодаира 1 соответствует отрицательной кривизне. Отметим, что большинство алгебраических кривых относятся к общему типу: в пространстве модулей кривых две компоненты связности соответствуют кривым не общего типа, а все остальные компоненты соответствуют кривым общего типа. Далее, пространство кривых рода 0 является точкой, пространство кривых рода 1 имеет (комплексную) размерность 1, а пространство кривых рода грамм ≥ 2 имеет размерность 3грамм − 3.

таблица классификации алгебраических кривых
Кодаира измерение 　κ(C)
Кодаира измерение 　κ(C)	род из C : грамм(C)	структура
${ displaystyle 1}$	${ displaystyle geq 2}$	кривая общий тип
${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	эллиптическая кривая
${ displaystyle - infty}$	${ displaystyle 0}$	в проективная линия ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$

Размер 2

В Классификация Энриквеса-Кодаира классифицирует алгебраические поверхности: сначала по размерности Кодаира, а затем более подробно в рамках данного измерения Кодаира. Приведу несколько простых примеров: продукт п¹ × Икс имеет измерение Кодаира ${ displaystyle - infty}$ для любой кривой Икс; произведение двух кривых рода 1 (абелева поверхность) имеет размерность Кодаиры 0; произведение кривой рода 1 на кривую рода не менее 2 (эллиптическая поверхность) имеет размерность Кодаиры 1; а произведение двух кривых рода не меньше 2 имеет размерность Кодаиры 2 и, следовательно, имеет общий тип.

таблица классификации алгебраических поверхностей
Кодаира измерение 　κ(C)
Кодаира измерение 　κ(C)	геометрический род п_грамм	неправильность q	структура
${ displaystyle 2}$			поверхность общего типа
${ displaystyle 1}$			эллиптическая поверхность
${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 2}$	абелева поверхность
	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	гиперэллиптическая поверхность
	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 0}$	K3 поверхность
	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	Поверхность Энриквеса
${ displaystyle - infty}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle geq 1}$	линейчатая поверхность
${ displaystyle - infty}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	рациональная поверхность

Для поверхности Икс общего типа изображение d-каноническое отображение бирационально Икс еслиd ≥ 5.

Любое измерение

Рациональные разновидности (многообразия, бирациональные проективному пространству) имеют размерность Кодаира ${ displaystyle - infty}$ . Абелевы разновидности (компактный комплексные торы проективные) имеют нулевую размерность Кодаиры. В более общем смысле, Многообразия Калаби – Яу. (в измерении 1, эллиптические кривые; в измерении 2, абелевы поверхности, K3 поверхности, и факторы этих многообразий по конечным группам) имеют размерность Кодаиры нуль (соответствующую допусканию плоской метрики Риччи).

Любое многообразие нулевой характеристики, покрываемое рациональные кривые (непостоянные карты из п¹), названный uniruled многообразие, имеет размерность Кодаиры −∞. Напротив, основные гипотезы теория минимальных моделей (в частности, гипотеза изобилия) означала бы, что каждое многообразие размерности Кодаиры −∞ однолинейно. Это обратное известно для разновидностей размерности не более 3.

Сиу (2002) доказал инвариантность плюриродов относительно деформаций для всех гладких комплексных проективных многообразий. В частности, размерность Кодаира не меняется при непрерывном изменении сложной структуры многообразия.

классификационная таблица трехмерных алгебраических многообразий
Кодаира измерение 　κ(C)
Кодаира измерение 　κ(C)	геометрический род 　п_грамм	неправильность q	Примеры
${ displaystyle 3}$			в три раза больше общий тип
${ displaystyle 2}$			расслоение над поверхностью с общим волокном и эллиптическая кривая
${ displaystyle 1}$			расслоение над кривой с общим слоем поверхность с κ = 0
${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 3}$	абелева разновидность
	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 2}$	пучок волокон над абелевой поверхностью, слои которой являются эллиптическими кривыми
	${ displaystyle 0}$ или же ${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	пучок волокон над эллиптической кривой, слоями которой являются поверхности с κ = 0
	${ displaystyle 0}$ или же ${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 0}$	Калаби-Яу 3-кратный
${ displaystyle - infty}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle geq 1}$	uniruled 3-кратный
${ displaystyle - infty}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	рациональный 3-кратный, Фано 3-кратные и другие

А расслоение нормальных проективных многообразий Икс → Y означает сюръективный морфизм со связными слоями.

Для 3-кратного Икс общего типа изображение d-каноническое отображение бирационально Икс если d ≥ 61.^[1]

Общий вид

Разнообразие общий тип Икс является одним из максимальных измерений Кодаира (размерность Кодаира равна его размерности):

{ Displaystyle каппа (Х) = тусклый X.}

Эквивалентными условиями являются то, что линейный пучок ${ displaystyle K_ {X}}$ является большой, или что d-каноническое отображение в общем случае инъективно (т. е. бирациональное отображение своего образа) для d достаточно большой.

Например, сорт с обильный каноническое расслоение общего типа.

В некотором смысле большинство алгебраических многообразий имеют общий тип. Например, гладкий гиперповерхность степени d в п-мерное проективное пространство общего типа тогда и только тогда, когда ${ displaystyle d> n + 1}$ . В этом смысле большинство гладких гиперповерхностей в проективном пространстве имеют общий тип.

Многообразия общего типа кажутся слишком сложными для явной классификации даже для поверхностей. Тем не менее, есть некоторые сильные положительные результаты о сортах общего типа. Например, Энрико Бомбьери показал в 1973 году, что d-каноническое отображение любой комплексной поверхности общего типа бирационально для любого ${ displaystyle d geq 5}$ . В более общем смысле, Кристофер Хакон и Джеймс МакКернан, Сигехару Такаяма и Хадзиме Цуджи показали в 2006 году, что для каждого положительного целого числа п, есть постоянная ${ Displaystyle с (п)}$ так что d-каноническая карта любого комплекса п-мерное многообразие общего типа бирационально, когда ${ Displaystyle д geq с (п)}$ .

Группа бирациональных автоморфизмов многообразия общего типа конечна.

Применение к классификации

Позволять Икс - многообразие неотрицательной размерности Кодаиры над полем нулевой характеристики, и пусть B быть канонической моделью Икс, B = Проект р(Икс, K_Икс); размер B равна размерности Кодаира Икс. Есть естественная рациональная карта Икс – → B; любой морфизм, полученный из него взрыв Икс и B называется Расслоение Иитаки. В минимальная модель и предположения об изобилии означают, что общий слой расслоения Иитака может быть устроен как Калаби-Яу многообразие, которое, в частности, имеет нулевую размерность Кодаира. Более того, есть эффективный Q-дивизор Δ на B (не уникальна) такая, что пара (B, Δ) есть klt, K_B + Δ обильно, и каноническое кольцо X совпадает с каноническим кольцом (B, Δ) в степенях, кратных некоторым d > 0.^[2] В этом смысле, Икс раскладывается в семейство многообразий размерности Кодаиры нуль над базой (B, Δ) общего вида. (Обратите внимание, что разнообразие B сам по себе не обязательно должен быть общего типа. Например, существуют поверхности размерности Кодаиры 1, для которых расслоение Иитаки является эллиптическим расслоением над п¹.)

Учитывая упомянутые гипотезы, классификация алгебраических многообразий в значительной степени сведется к случаям размерности Кодаира. ${ displaystyle - infty}$ , 0 и общего вида. Для измерения Кодаира ${ displaystyle - infty}$ и 0, есть несколько подходов к классификации. Минимальная модель и гипотезы изобилия означают, что каждое разнообразие размерности Кодаира ${ displaystyle - infty}$ является uniruled, и известно, что всякое однонаправленное многообразие нулевой характеристики бирационально Волоконное пространство Фано. Из гипотез о минимальной модели и изобилии следует, что каждое многообразие размерности 0 Кодаира бирационально многообразию Калаби-Яу с терминальные особенности.

Гипотеза Иитаки утверждает, что размерность Кодаира расслоения является, по крайней мере, суммой размерности Кодаира базы и размерности Кодаиры общего слоя; видеть Мори (1987) для опроса. Гипотеза Иитаки помогла вдохновить на разработку теория минимальных моделей в 1970-1980-х гг. Сейчас это известно во многих случаях, и в целом будет следовать из минимальной модели и предположений о численности.

Связь с многообразиями Мойшезона

Накамура и Уэно доказали следующую формулу аддитивности для комплексных многообразий (Уэно (1975) ). Хотя базовое пространство не обязательно должно быть алгебраическим, предположение, что все слои изоморфны, является очень специальным. Даже при таком предположении формула может не работать, если волокно не Мойшезон.

Пусть π: V → W - аналитическое расслоение компактных комплексных многообразий, что означает, что π локально является произведением (и поэтому все слои изоморфны как комплексные многообразия). Предположим, что слой F является Многообразие Мойшезона. потом

{ Displaystyle каппа (V) = каппа (F) + каппа (W).}

Примечания

^ Дж. А. Чен, М. Чен, Явная бирациональная геометрия трехмерных и четырехмерных многообразий общего типа III, теорема 1.4.
^ О. Фуджино, С. Мори, J. Diff. Геом. 56 (2000), 167-188. Теоремы 5.2 и 5.4.