Герба - Википедия - Gerbe

В математика, а герб (/dʒɜːrб/; Французский:[ʒɛʁb]) является конструкцией в гомологическая алгебра и топология. Гербы были представлены Жан Жиро (Жиро 1971 ) следующие идеи Александр Гротендик как инструмент для некоммутативных когомология степени 2. Их можно рассматривать как аналог пучки волокон где волокно классифицирующий стек группы. Гербы предоставляют удобный, хотя и весьма абстрактный, язык для работы со многими типами деформация вопросы особенно в современных алгебраическая геометрия. Кроме того, в последнее время в особых случаях герберы использовались в дифференциальная топология и дифференциальная геометрия дать альтернативные описания некоторым классы когомологий и дополнительные конструкции, прикрепленные к ним.

«Герб» - французское (и устаревшее английское) слово, буквально означающее пшеница пучок.

Определения

Гербы на топологическом пространстве

Герб на топологическое пространство ${ displaystyle S}$ ^[1]^{стр. 318} это куча ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ из группоиды над ${ displaystyle S}$ который локально непустой (каждая точка ${ displaystyle p in S}$ имеет открытый район ${ displaystyle U_ {p}}$ над которым категория раздела ${ Displaystyle { mathcal {X}} (U_ {p})}$ герба не пуста) и переходный (для любых двух объектов ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ из ${ Displaystyle { mathcal {X}} (U)}$ для любого открытого набора ${ displaystyle U}$ , есть открытое покрытие ${ Displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} } _ {я in I}}$ из ${ displaystyle U}$ так что ограничения ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ для каждого ${ displaystyle U_ {i}}$ связаны хотя бы одним морфизмом).

Канонический пример - герб ${ displaystyle BG}$ из основные связки с фиксированной структурная группа ${ displaystyle H}$ : категория раздела над открытым набором ${ displaystyle U}$ это категория главного ${ displaystyle H}$ -бандлы на ${ displaystyle U}$ с изоморфизмом как морфизмом (таким образом, категория является группоидом). По мере того, как основные связки склеиваются (удовлетворяют условию спуска), эти группоиды образуют стопку. Тривиальный пучок ${ displaystyle X times H to X}$ показывает, что условие локальной непустоты выполняется, и, наконец, поскольку главные расслоения локально тривиальны, они становятся изоморфными при ограничении на достаточно малые открытые множества; таким образом, условие транзитивности также выполняется.

Гербы на сайте

Наиболее общее определение гербов определяется на сайте. Учитывая сайт ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ а ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ -герб ${ displaystyle G}$ ^[2]^[3]^стр.129 категория, расслоенная на группоиды ${ displaystyle G to { mathcal {C}}}$ такой, что

Есть уточнение^[4] ${ displaystyle { mathcal {C}} '}$ из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ так что для каждого объекта ${ displaystyle S in { text {Ob}} ({ mathcal {C}} ')}$ связанная расслоенная категория ${ displaystyle G_ {S}}$ не пусто
Для каждого ${ displaystyle S in { text {Ob}} ({ mathcal {C}})}$ любые два объекта в расслоенной категории ${ displaystyle G_ {S}}$ локально изоморфны

Обратите внимание, что для сайта ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ с последним объектом ${ displaystyle e}$ , категория, расслоенная на группоиды ${ displaystyle G to { mathcal {C}}}$ это ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ -gerbe допускает локальную секцию, то есть удовлетворяет первой аксиоме, если ${ displaystyle { text {Ob}} (G_ {e}) neq varnothing}$ .

Мотивация для гербов на сайте

Одним из основных мотивов рассмотрения гербов на сайте является рассмотрение следующего наивного вопроса: если группа когомологий Чеха ${ Displaystyle Н ^ {1} ({ mathcal {U}}, G)}$ для подходящего покрытия ${ Displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} } _ {я in I}}$ пространства ${ displaystyle X}$ дает классы изоморфизма главных ${ displaystyle G}$ -бутует ${ displaystyle X}$ , что делает функтор повторных когомологий ${ displaystyle H ^ {1} (-, H ^ {1} (-, G))}$ представлять? То есть мы склеиваем группы ${ displaystyle H ^ {1} (U_ {i}, G)}$ через какой-то один коцикл. Гербы - технический ответ на этот вопрос: они дают геометрические представления элементов в высшей группе когомологий. ${ Displaystyle Н ^ {2} ({ mathcal {U}}, G)}$ . Ожидается, что эта интуиция сохранится в течение высшие зародыши.

Когомологическая классификация

Одной из основных теорем, касающихся гербов, является их когомологическая классификация, если они имеют группы автоморфизмов, заданные фиксированным пучком абелевых групп. ${ displaystyle { underline {L}}}$ ,^[5]^[2] назвал группу. Для гербера ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ на сайте ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ , объект ${ displaystyle U in { text {Ob}} ({ mathcal {C}})}$ , и объект ${ displaystyle x in { text {Ob}} ({ mathcal {X}} (U))}$ , группа автоморфизмов герба определяется как группа автоморфизмов ${ displaystyle L = { underline { text {Aut}}} _ {{ mathcal {X}} (U)} (x)}$ . Обратите внимание, что это правильно, если группа автоморфизмов всегда одна и та же. Учитывая покрытие ${ displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} to X } _ {i in I}}$ , есть связанный класс

${ displaystyle c ({ underline {L}}) in H ^ {3} (X, { underline {L}})}$

представляющий класс изоморфизма герба ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ окруженный ${ displaystyle L}$ Например, в топологии многие примеры ростков можно построить, рассматривая ростки, окаймленные группой ${ Displaystyle U (1)}$ . Как классифицирующее пространство ${ Displaystyle В (U (1)) = К ( mathbb {Z}, 2)}$ это второй Эйленберг-Маклейн пространство для целых чисел, расслоение герб, окаймленное ${ Displaystyle U (1)}$ на топологическом пространстве ${ displaystyle X}$ строится из гомотопического класса отображений в

${ Displaystyle [X, B ^ {2} (U (1))] = [X, K ( mathbb {Z}, 3)]}$

что в точности является третьей группой особых гомологий ${ Displaystyle Н ^ {3} (Х, mathbb {Z})}$ . Было найдено^[6] что все гербы, представляющие классы когомологий кручения в ${ Displaystyle Н ^ {3} (Х, mathbb {Z})}$ представлены пучком конечномерных алгебр ${ displaystyle { text {End}} (V)}$ для фиксированного комплексного векторного пространства ${ displaystyle V}$ . Кроме того, классы без кручения представлены в виде бесконечномерных главных расслоений ${ displaystyle PU ({ mathcal {H}})}$ проективной группы унитарных операторов на фиксированной бесконечномерной отделяемый Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ . Обратите внимание, что это хорошо определено, потому что все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны пространству суммируемых с квадратом последовательностей ${ displaystyle ell ^ {2}}$ Теоретико-гомотопическая интерпретация гербов происходит из рассмотрения квадрат гомотопического волокна

${ displaystyle { begin {matrix} { mathcal {X}} & to & * downarrow && downarrow S & xrightarrow {f} & B ^ {2} U (1) end {matrix} }}$

аналогично тому, как линейный пучок получается из квадрата гомотопического волокна

${ displaystyle { begin {matrix} L & to & * downarrow && downarrow S & xrightarrow {f} & BU (1) end {matrix}}}$

куда ${ Displaystyle БУ (1) simeq К ( mathbb {Z}, 2)}$ , давая ${ Displaystyle Н ^ {2} (S, mathbb {Z})}$ как группу классов изоморфизма линейных расслоений на ${ displaystyle S}$ .

Примеры

Алгебраическая геометрия

Позволять ${ displaystyle M}$ быть разнообразие над алгебраически замкнутое поле ${ displaystyle k}$ , ${ displaystyle G}$ ан алгебраическая группа, Например ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ . Напомним, что грамм-торсор над ${ displaystyle M}$ является алгебраическое пространство ${ displaystyle P}$ с действием ${ displaystyle G}$ и карта ${ displaystyle pi: P to M}$ , так что локально на ${ displaystyle M}$ (в этальная топология или же топология fppf ) ${ displaystyle pi}$ это прямой продукт ${ displaystyle pi | _ {U}: G times U to U}$ . А грамм-герб M можно определить аналогичным образом. Это Стек Артина ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ с картой ${ Displaystyle pi двоеточие { mathcal {M}} to M}$ , так что локально на M (в этальной топологии или топологии fppf) ${ displaystyle pi}$ это прямой продукт ${ displaystyle pi | _ {U} двоеточие mathrm {B} G times U to U}$ .^[7] Здесь ${ displaystyle BG}$ обозначает классифицирующий стек из ${ displaystyle G}$ , т.е. частное ${ displaystyle [* / G]}$ точки тривиальным ${ displaystyle G}$ -действие. В этом случае нет необходимости навязывать совместимость со структурой группы, поскольку она покрывается определением стека. Лежащий в основе топологические пространства из ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ и ${ displaystyle M}$ такие же, но в ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ каждая точка снабжена группой стабилизаторов, изоморфной ${ displaystyle G}$ .

Из двухчленных комплексов когерентных пучков

Каждый двухчленный комплекс когерентных пучков

${ displaystyle { mathcal {E}} ^ { bullet} = [{ mathcal {E}} ^ {- 1} xrightarrow {d} { mathcal {E}} ^ {0}]}$

по схеме ${ displaystyle X in { text {Sch}}}$ имеет связанный с ним канонический пучок группоидов, где на открытом подмножестве ${ Displaystyle U substeq X}$ есть двухчленный комплекс ${ Displaystyle X (U)}$ -модули

${ Displaystyle { mathcal {E}} ^ {- 1} (U) xrightarrow {d} { mathcal {E}} ^ {0} (U)}$

давая группоид. Он имеет объекты, заданные элементами ${ Displaystyle х in { mathcal {E}} ^ {0} (U)}$ и морфизм ${ displaystyle x to x '}$ дается элементом ${ displaystyle y in { mathcal {E}} ^ {- 1} (U)}$ такой, что

${ displaystyle dy + x = x '}$

Чтобы эта стопка была гербом, мы должны иметь пучок когомологий ${ Displaystyle { mathcal {H}} ^ {0} ({ mathcal {E}})}$ чтобы всегда был раздел. Эта гипотеза подразумевает, что в построенной выше категории всегда есть объекты.

Стек модулей стабильных расслоений на кривой

Рассмотрим гладкую проективный изгиб ${ displaystyle C}$ над ${ displaystyle k}$ рода ${ displaystyle g> 1}$ . Позволять ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {r, d} ^ {s}}$ быть стек модулей из стабильные векторные расслоения на ${ displaystyle C}$ ранга ${ displaystyle r}$ и степень ${ displaystyle d}$ . Оно имеет грубое пространство модулей ${ displaystyle M_ {r, d} ^ {s}}$ , который является квазипроективное многообразие. Эти две задачи с модулями параметризуют одни и те же объекты, но стековая версия запоминает автоморфизмы векторных расслоений. Для любого стабильного векторного расслоения ${ displaystyle E}$ группа автоморфизмов ${ displaystyle Aut (E)}$ состоит только из скалярных умножений, поэтому каждая точка в стеке модулей имеет стабилизатор, изоморфный ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ . Оказывается, карта ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {r, d} ^ {s} to M_ {r, d} ^ {s}}$ действительно ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ -герб в указанном выше смысле.^[8] Это тривиальный герб тогда и только тогда, когда ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle d}$ находятся совмещать.

Корневые стеки

Другой класс зародышей можно найти, построив корневые стеки. Неофициально ${ displaystyle r}$ -й корневой стек линейного пакета ${ displaystyle L to S}$ через схема это пространство, представляющее ${ displaystyle r}$ -й корень из ${ displaystyle L}$ и обозначается

${ displaystyle { sqrt [{r}] {L / S}}}$ ^[9]^стр.52.

В ${ displaystyle r}$ -й корневой стек ${ displaystyle L}$ имеет собственность

${ displaystyle bigotimes ^ {r} { sqrt [{r}] {L / S}} cong L}$

как герберы. Он построен как стек

${ displaystyle { sqrt [{r}] {L / S}} :( Sch / S) ^ {op} to Grpd}$

отправка ${ displaystyle S}$ -схема ${ displaystyle T to S}$ в категорию, объекты которой объединяют в себя

${ displaystyle left {(M to T, alpha _ {M}): alpha _ {M}: M ^ { otimes r} xrightarrow { sim} L times _ {S} T верно}}$

а морфизмы - коммутативные диаграммы, согласованные с изоморфизмами ${ displaystyle alpha _ {M}}$ . Герб окаймлен алгебраическая группа корней единства ${ displaystyle mu _ {r}}$ , где на обложке ${ displaystyle T to S}$ он действует на точку ${ Displaystyle (M to T, alpha _ {M})}$ путем циклической перестановки факторов ${ displaystyle M}$ в ${ displaystyle M ^ { otimes r}}$ . Геометрически эти стопки формируются как волокнистый продукт стопок.

${ displaystyle { begin {matrix} X times _ {B mathbb {G} _ {m}} B mathbb {G} _ {m} & to & B mathbb {G} _ {m} downarrow && downarrow X & to & B mathbb {G} _ {m} end {matrix}}}$

где вертикальная карта ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m} to B mathbb {G} _ {m}}$ исходит из Последовательность Куммера

${ displaystyle 1 xrightarrow {} mu _ {r} xrightarrow {} mathbb {G} _ {m} xrightarrow {( cdot) ^ {r}} mathbb {G} _ {m} xrightarrow {} 1}$

Это потому что ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m}}$ - пространство модулей линейных расслоений, поэтому линейное расслоение ${ displaystyle L to S}$ соответствует объекту категории ${ Displaystyle B mathbb {G} _ {m} (S)}$ (рассматривается как точка пространства модулей).

Корневые стеки с секциями

Есть еще одна связанная конструкция корневых стеков с секциями. Учитывая приведенные выше данные, пусть ${ displaystyle s: S to L}$ быть разделом. Тогда ${ displaystyle r}$ -й корневой стек пары ${ Displaystyle (от L к S, s)}$ определяется как слабый 2-функтор^[9]^[10]

${ displaystyle { sqrt [{r}] {(L, s) / S}} :( Sch / S) ^ {op} to Grpd}$

отправка ${ displaystyle S}$ -схема ${ displaystyle T to S}$ в категорию, объекты которой объединяют в себя

${ displaystyle left {(M to T, alpha _ {M}, t): { begin {align} & alpha _ {M}: M ^ { otimes r} xrightarrow { sim} L times _ {S} T & t in Gamma (T, M) & alpha _ {M} (t ^ { otimes r}) = s end {выровнено}} right } }$

и морфизмы задаются аналогично. Эти стеки могут быть построены очень явно и хорошо понятны для аффинных схем. Фактически они образуют аффинные модели для корневых стеков с секциями^[10]^{стр. 4}. Учитывая аффинную схему ${ Displaystyle S = { текст {Spec}} (А)}$ , все линейные расслоения тривиальны, поэтому ${ Displaystyle L cong { mathcal {O}} _ {S}}$ и любой раздел ${ displaystyle s}$ эквивалентно взятию элемента ${ displaystyle s in A}$ . Тогда стек дается частным стека

${ displaystyle { sqrt [{r}] {(L, s) / S}} = [{ text {Spec}} (B) / mu _ {r}]}$ ^[10]^стр.9

с

${ displaystyle B = { frac {A [x]} {x ^ {r} -s}}}$

Если ${ displaystyle s = 0}$ то это дает бесконечно малое расширение ${ displaystyle [{ text {Spec}} (A) / mu _ {r}]}$ .

Примеры в алгебраической геометрии

Эти и более общие виды гербов возникают в нескольких контекстах как геометрические пространства и как формальные бухгалтерские инструменты:

Адзумая алгебры
Деформации бесконечно малых утолщений
Скрученные формы проективных многообразий
Функторы волокна за мотивы

Дифференциальная геометрия

${ Displaystyle Н ^ {3} (Х, mathbb {Z})}$ и ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ {*}}$ -гербы: Жан-Люк Брылински подход

История

Гербы впервые появились в контексте алгебраическая геометрия. Впоследствии они были развиты в более традиционных геометрических рамках Брылинским (Брылинский 1993 ). Можно думать о гербах как о естественной ступеньке в иерархии математических объектов, обеспечивающих геометрические реализации интегральных когомология классы.

Более специализированное понятие герб было введено Мюррей и позвонил пучок гербер. По сути, они гладкий версия абелевых гербов, принадлежащих больше к иерархии, начиная с основные связки чем связки. Пучковые герберы использовались в калибровочная теория а также теория струн. Текущая работа других разрабатывает теорию неабелевы пучки гербер.

Смотрите также

внешняя ссылка