Герба - Википедия - Gerbe

В математика, а герб (/ɜːrб/; Французский:[ʒɛʁb]) является конструкцией в гомологическая алгебра и топология. Гербы были представлены Жан Жиро (Жиро 1971 ) следующие идеи Александр Гротендик как инструмент для некоммутативных когомология степени 2. Их можно рассматривать как аналог пучки волокон где волокно классифицирующий стек группы. Гербы предоставляют удобный, хотя и весьма абстрактный, язык для работы со многими типами деформация вопросы особенно в современных алгебраическая геометрия. Кроме того, в последнее время в особых случаях герберы использовались в дифференциальная топология и дифференциальная геометрия дать альтернативные описания некоторым классы когомологий и дополнительные конструкции, прикрепленные к ним.

«Герб» - французское (и устаревшее английское) слово, буквально означающее пшеница пучок.

Определения

Гербы на топологическом пространстве

Герб на топологическое пространство [1]стр. 318 это куча из группоиды над который локально непустой (каждая точка имеет открытый район над которым категория раздела герба не пуста) и переходный (для любых двух объектов и из для любого открытого набора , есть открытое покрытие из так что ограничения и для каждого связаны хотя бы одним морфизмом).

Канонический пример - герб из основные связки с фиксированной структурная группа : категория раздела над открытым набором это категория главного -бандлы на с изоморфизмом как морфизмом (таким образом, категория является группоидом). По мере того, как основные связки склеиваются (удовлетворяют условию спуска), эти группоиды образуют стопку. Тривиальный пучок показывает, что условие локальной непустоты выполняется, и, наконец, поскольку главные расслоения локально тривиальны, они становятся изоморфными при ограничении на достаточно малые открытые множества; таким образом, условие транзитивности также выполняется.

Гербы на сайте

Наиболее общее определение гербов определяется на сайте. Учитывая сайт а -герб [2][3]стр.129 категория, расслоенная на группоиды такой, что

  1. Есть уточнение[4] из так что для каждого объекта связанная расслоенная категория не пусто
  2. Для каждого любые два объекта в расслоенной категории локально изоморфны

Обратите внимание, что для сайта с последним объектом , категория, расслоенная на группоиды это -gerbe допускает локальную секцию, то есть удовлетворяет первой аксиоме, если .

Мотивация для гербов на сайте

Одним из основных мотивов рассмотрения гербов на сайте является рассмотрение следующего наивного вопроса: если группа когомологий Чеха для подходящего покрытия пространства дает классы изоморфизма главных -бутует , что делает функтор повторных когомологий представлять? То есть мы склеиваем группы через какой-то один коцикл. Гербы - технический ответ на этот вопрос: они дают геометрические представления элементов в высшей группе когомологий. . Ожидается, что эта интуиция сохранится в течение высшие зародыши.

Когомологическая классификация

Одной из основных теорем, касающихся гербов, является их когомологическая классификация, если они имеют группы автоморфизмов, заданные фиксированным пучком абелевых групп. ,[5][2] назвал группу. Для гербера на сайте , объект , и объект , группа автоморфизмов герба определяется как группа автоморфизмов . Обратите внимание, что это правильно, если группа автоморфизмов всегда одна и та же. Учитывая покрытие , есть связанный класс

представляющий класс изоморфизма герба окруженный Например, в топологии многие примеры ростков можно построить, рассматривая ростки, окаймленные группой . Как классифицирующее пространство это второй Эйленберг-Маклейн пространство для целых чисел, расслоение герб, окаймленное на топологическом пространстве строится из гомотопического класса отображений в

что в точности является третьей группой особых гомологий . Было найдено[6] что все гербы, представляющие классы когомологий кручения в представлены пучком конечномерных алгебр для фиксированного комплексного векторного пространства . Кроме того, классы без кручения представлены в виде бесконечномерных главных расслоений проективной группы унитарных операторов на фиксированной бесконечномерной отделяемый Гильбертово пространство . Обратите внимание, что это хорошо определено, потому что все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны пространству суммируемых с квадратом последовательностей Теоретико-гомотопическая интерпретация гербов происходит из рассмотрения квадрат гомотопического волокна

аналогично тому, как линейный пучок получается из квадрата гомотопического волокна

куда , давая как группу классов изоморфизма линейных расслоений на .

Примеры

Алгебраическая геометрия

Позволять быть разнообразие над алгебраически замкнутое поле , ан алгебраическая группа, Например . Напомним, что грамм-торсор над является алгебраическое пространство с действием и карта , так что локально на этальная топология или же топология fppf ) это прямой продукт . А грамм-герб M можно определить аналогичным образом. Это Стек Артина с картой , так что локально на M (в этальной топологии или топологии fppf) это прямой продукт .[7] Здесь обозначает классифицирующий стек из , т.е. частное точки тривиальным -действие. В этом случае нет необходимости навязывать совместимость со структурой группы, поскольку она покрывается определением стека. Лежащий в основе топологические пространства из и такие же, но в каждая точка снабжена группой стабилизаторов, изоморфной .

Из двухчленных комплексов когерентных пучков

Каждый двухчленный комплекс когерентных пучков

по схеме имеет связанный с ним канонический пучок группоидов, где на открытом подмножестве есть двухчленный комплекс -модули

давая группоид. Он имеет объекты, заданные элементами и морфизм дается элементом такой, что

Чтобы эта стопка была гербом, мы должны иметь пучок когомологий чтобы всегда был раздел. Эта гипотеза подразумевает, что в построенной выше категории всегда есть объекты.

Стек модулей стабильных расслоений на кривой

Рассмотрим гладкую проективный изгиб над рода . Позволять быть стек модулей из стабильные векторные расслоения на ранга и степень . Оно имеет грубое пространство модулей , который является квазипроективное многообразие. Эти две задачи с модулями параметризуют одни и те же объекты, но стековая версия запоминает автоморфизмы векторных расслоений. Для любого стабильного векторного расслоения группа автоморфизмов состоит только из скалярных умножений, поэтому каждая точка в стеке модулей имеет стабилизатор, изоморфный . Оказывается, карта действительно -герб в указанном выше смысле.[8] Это тривиальный герб тогда и только тогда, когда и находятся совмещать.

Корневые стеки

Другой класс зародышей можно найти, построив корневые стеки. Неофициально -й корневой стек линейного пакета через схема это пространство, представляющее -й корень из и обозначается

[9]стр.52.

В -й корневой стек имеет собственность

как герберы. Он построен как стек

отправка -схема в категорию, объекты которой объединяют в себя

а морфизмы - коммутативные диаграммы, согласованные с изоморфизмами . Герб окаймлен алгебраическая группа корней единства , где на обложке он действует на точку путем циклической перестановки факторов в . Геометрически эти стопки формируются как волокнистый продукт стопок.

где вертикальная карта исходит из Последовательность Куммера

Это потому что - пространство модулей линейных расслоений, поэтому линейное расслоение соответствует объекту категории (рассматривается как точка пространства модулей).

Корневые стеки с секциями

Есть еще одна связанная конструкция корневых стеков с секциями. Учитывая приведенные выше данные, пусть быть разделом. Тогда -й корневой стек пары определяется как слабый 2-функтор[9][10]

отправка -схема в категорию, объекты которой объединяют в себя

и морфизмы задаются аналогично. Эти стеки могут быть построены очень явно и хорошо понятны для аффинных схем. Фактически они образуют аффинные модели для корневых стеков с секциями[10]стр. 4. Учитывая аффинную схему , все линейные расслоения тривиальны, поэтому и любой раздел эквивалентно взятию элемента . Тогда стек дается частным стека

[10]стр.9

с

Если то это дает бесконечно малое расширение .

Примеры в алгебраической геометрии

Эти и более общие виды гербов возникают в нескольких контекстах как геометрические пространства и как формальные бухгалтерские инструменты:

Дифференциальная геометрия

  • и -гербы: Жан-Люк Брылински подход

История

Гербы впервые появились в контексте алгебраическая геометрия. Впоследствии они были развиты в более традиционных геометрических рамках Брылинским (Брылинский 1993 ). Можно думать о гербах как о естественной ступеньке в иерархии математических объектов, обеспечивающих геометрические реализации интегральных когомология классы.

Более специализированное понятие герб было введено Мюррей и позвонил пучок гербер. По сути, они гладкий версия абелевых гербов, принадлежащих больше к иерархии, начиная с основные связки чем связки. Пучковые герберы использовались в калибровочная теория а также теория струн. Текущая работа других разрабатывает теорию неабелевы пучки гербер.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Основная теория расслоений и инварианты K-когомологий. Хусемёллер, Дейл. Берлин: Springer. 2008 г. ISBN  978-3-540-74956-1. OCLC  233973513.CS1 maint: другие (связь)
  2. ^ а б «Раздел 8.11 (06NY): Gerbes - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-10-27.
  3. ^ Жиро, Ж. (Жан) (1971). Cohomologie non abélienne. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-05307-7. OCLC  186709.
  4. ^ «Раздел 7.8 (00VS): Семейства морфизмов с фиксированной целью - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-10-27.
  5. ^ «Раздел 21.11 (0CJZ): Вторая когомология и герберы - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-10-27.
  6. ^ Каруби, Макс (12 декабря 2010 г.). «Скрученные пучки и скрученная K-теория». arXiv:1012.2512 [math.KT ].
  7. ^ Эдидин, Дан; Хассет, Брендан; Крещ, Андрей; Вистоли, Анджело (2001). «Группы Брауэра и фактор-стеки». Американский журнал математики. 123 (4): 761–777. arXiv:математика / 9905049. Дои:10.1353 / айм.2001.0024. S2CID  16541492.
  8. ^ Хоффман, Норберт (2010). «Стеки модулей векторных расслоений на кривых и доказательство рациональности Кинга – Шофилда». Когомологический и геометрический подходы к проблемам рациональности: 133–148. arXiv:математика / 0511660. Дои:10.1007/978-0-8176-4934-0_5. ISBN  978-0-8176-4933-3. S2CID  5467668.
  9. ^ а б Абрамович, Дан; Грабер, Том; Вистоли, Анджело (13 апреля 2008 г.). "Теория Громова-Виттена стеков Делиня-Мамфорда". arXiv:математика / 0603151.
  10. ^ а б c Кэдман, Чарльз (2007). «Использование стеков для наложения условий касания на кривые» (PDF). Амер. J. Math. 129 (2): 405–427. arXiv:математика / 0312349. Дои:10.1353 / айм.2007.0007. S2CID  10323243.

внешняя ссылка

Вводные статьи

Гербы в топологии

Витая K-теория

Приложения в теории струн