Якобианский идеал - Jacobian ideal

В математика в Якобианский идеал или же идеальный градиент это идеальный генерируется Якобиан функции или функция росток.Позволять ${ Displaystyle { mathcal {O}} (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ обозначить звенеть из гладкие функции в ${ displaystyle n}$ переменные и ${ displaystyle f}$ функция в кольце. Якобианский идеал ${ displaystyle f}$ является

{ displaystyle J_ {f}: = left langle { frac { partial f} { partial x_ {1}}}, ldots, { frac { partial f} { partial x_ {n}} } right rangle.}

Отношение к теории деформации

В теории деформаций деформации гиперповерхности, заданные полиномом ${ displaystyle f}$ классифицируется по кольцу

${ displaystyle { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f) + J_ {f}}}}$

Это показано с помощью Карта Кодаира – Спенсер.

Отношение к теории Ходжа

В теории Ходжа есть объекты, называемые реальными Структуры Ходжа которые являются данными реального векторного пространства ${ displaystyle H _ { mathbb {R}}}$ и усиление фильтрации ${ displaystyle F ^ { bullet}}$ из ${ Displaystyle H _ { mathbb {C}} = H _ { mathbb {R}} otimes _ { mathbb {R}} mathbb {C}}$ удовлетворяющий списку структур совместимости. Для гладкого проективного многообразия ${ displaystyle X}$ существует каноническая структура Ходжа.

Утверждение для гиперповерхностей степени d

В частном случае ${ displaystyle X}$ определяется однородной степенью ${ displaystyle d}$ многочлен ${ displaystyle f in Gamma ( mathbb {P} ^ {n + 1}, { mathcal {O}} (d))}$ эту структуру Ходжа можно полностью понять из якобиева идеала. Для его оцененных частей это показано на карте^[1]

${ displaystyle mathbb {C} [Z_ {0}, ldots, Z_ {n}] ^ {(d (n-1 + p) - (n + 2))} to { frac {F ^ { p} H ^ {n} (X, mathbb {C})} {F ^ {p + 1} H ^ {n} (X, mathbb {C})}}}$

который сюръективен на примитивных когомологиях, обозначаемый ${ displaystyle { text {Prim}} ^ {p, n-p} (X)}$ и имеет ядро ${ displaystyle J_ {f}}$ . Обратите внимание, что примитивные классы когомологий - это классы ${ displaystyle X}$ которые не происходят из ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {п + 1}}$ , который является просто классом Лефшеца ${ displaystyle [L] ^ {n} = c_ {1} ({ mathcal {O}} (1)) ^ {d}}$ .

Эскиз доказательства

Приведение к карте остатков

За ${ Displaystyle X подмножество mathbb {P} ^ {n + 1}}$ есть связанная короткая точная последовательность комплексов

${ displaystyle 0 to Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ { bullet} to Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ { bullet} ( log X) xrightarrow {res} Omega _ {X} ^ { bullet} [- 1] to 0}$

где средний комплекс - это комплекс связок логарифмических форм а правая карта - это Карта остатков. С этим связана длинная точная последовательность в когомологиях. От Теорема Лефшеца о гиперплоскости есть только одна интересная группа когомологий ${ displaystyle X}$ , который ${ displaystyle H ^ {n} (X; mathbb {C}) = mathbb {H} ^ {n} (X; Omega _ {X} ^ { bullet})}$ . Из длинной точной последовательности этой короткой точной последовательности получается индуцированная карта остатков

${ displaystyle mathbb {H} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1}, Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ { bullet}) в mathbb {H} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1}, Omega _ {X} ^ { bullet} [- 1])}$

где правая часть равна ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n} ( mathbb {P} ^ {n + 1}, Omega _ {X} ^ { bullet})}$ , который изоморфен ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n} (X; Omega _ {X} ^ { bullet})}$ . Также существует изоморфизм

${ displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X) cong mathbb {H} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n +1}; Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} ^ { bullet})}$

Через эти изоморфизмы возникает индуцированное отображение вычетов

${ displaystyle res: H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X) to H ^ {n} (X; mathbb {C})}$

которое инъективно и сюръективно на примитивных когомологиях. Также существует разложение Ходжа

${ displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X) cong bigoplus _ {p + q = n + 1} H ^ {q} ( Omega _ { mathbb {P}} ^ {p} ( log X))}$

и ${ displaystyle H ^ {q} ( Omega _ { mathbb {P}} ^ {p} ( log X)) cong { text {Prim}} ^ {p-1, q} (X)}$ .

Вычисление группы когомологий де Рама

Оказывается, группа когомологий ${ displaystyle H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X)}$ гораздо более податливый и имеет явное описание в терминах многочленов. В ${ displaystyle F ^ {p}}$ часть натянута на мероморфные формы, имеющие полюса порядка ${ Displaystyle Leq п-р + 1}$ который срывается на ${ displaystyle F ^ {p}}$ часть ${ displaystyle { text {Prim}} ^ {n} (X)}$ . Это происходит из-за изоморфизма редукции

${ displaystyle F ^ {p + 1} H_ {dR} ^ {n + 1} ( mathbb {P} ^ {n + 1} -X; mathbb {C}) cong { frac { Gamma ( Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} (n-p + 1))} {d Gamma ( Omega _ { mathbb {P} ^ {n + 1}} (np)) }}}$

Используя канонический ${ Displaystyle (п + 1)}$ -форма

${ displaystyle Omega = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} Z_ {j} dZ_ {0} wedge cdots wedge { hat {dZ_ {j}}} клин cdots клин dZ_ {n + 1}}$

на ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {п + 1}}$ где ${ displaystyle { hat {dZ_ {j}}}}$ обозначает удаление из индекса, эти мероморфные дифференциальные формы выглядят как

${ displaystyle { frac {A} {е ^ {n-p + 1}}} Omega}$

куда

${ displaystyle { begin {align} { text {deg}} (A) & = (n-p + 1) cdot { text {deg}} (f) - { text {deg}} ( Омега) & = (n-p + 1) cdot d- (n + 2) & = d (n-p + 1) - (n + 2) end {выровнено}}}$

Наконец, оказывается, что ядро^[1] ^{Лемма 8.11.} имеет все полиномы вида ${ displaystyle A '+ fB}$ куда ${ displaystyle A ' in J_ {f}}$ . Обратите внимание на тождество Эйлера