Гиперфункция - Hyperfunction

В математика, гиперфункции являются обобщениями функций, как «прыжок» с одного голоморфная функция другому на границе, и неформально может рассматриваться как распределения бесконечного порядка. Гиперфункции были введены Микио Сато в 1958 на японском языке, (1959, 1960 на английском языке), основываясь на более ранней работе Лоран Шварц, Гротендик и другие.

Формулировка

Гиперфункцию на действительной прямой можно представить как «различие» между одной голоморфной функцией, определенной на верхней полуплоскости, и другой на нижней полуплоскости. То есть гиперфункция задается парой (ж, грамм), куда ж - голоморфная функция в верхней полуплоскости и грамм - голоморфная функция в нижней полуплоскости.

Неформально гиперфункция - вот в чем разница ${ displaystyle f-g}$ будет на самой реальной линии. На это различие не влияет добавление одной и той же голоморфной функции к обоим ж и грамм, поэтому, если h - голоморфная функция в целом комплексная плоскость, гиперфункции (ж, грамм) и (ж + час, грамм + час) определены как эквивалентные.

Определение в одном измерении

Мотивацию можно конкретно реализовать, используя идеи из когомологии пучков. Позволять ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ быть пучок из голоморфные функции на ${ displaystyle mathbb {C}.}$ Определите гиперфункции на реальная линия как первый локальные когомологии группа:

{ displaystyle { mathcal {B}} ( mathbb {R}) = H _ { mathbb {R}} ^ {1} ( mathbb {C}, { mathcal {O}}).}

Конкретно пусть ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {+}}$ и ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {-}}$ быть верхняя полуплоскость и нижняя полуплоскость соответственно. потом ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {+} чашка mathbb {C} ^ {-} = mathbb {C} setminus mathbb {R}}$ так

{ displaystyle H _ { mathbb {R}} ^ {1} ( mathbb {C}, { mathcal {O}}) = left [H ^ {0} ( mathbb {C} ^ {+}, { mathcal {O}}) oplus H ^ {0} ( mathbb {C} ^ {-}, { mathcal {O}}) right] / H ^ {0} ( mathbb {C}, { mathcal {O}}).}

Поскольку группа нулевых когомологий любого пучка - это просто глобальные сечения этого пучка, мы видим, что гиперфункция - это пара голоморфных функций, каждая из которых находится на верхней и нижней комплексной полуплоскости по модулю целых голоморфных функций.

В более общем плане можно определить ${ Displaystyle { mathcal {B}} (U)}$ для любого открытого набора ${ Displaystyle U substeq mathbb {R}}$ как частное ${ displaystyle H ^ {0} ({ tilde {U}} setminus U, { mathcal {O}}) / H ^ {0} ({ tilde {U}}, { mathcal {O}} )}$ куда ${ Displaystyle { тильда {U}} substeq mathbb {C}}$ любой открытый набор с ${ Displaystyle { тильда {U}} cap mathbb {R} = U}$ . Можно показать, что это определение не зависит от выбора ${ displaystyle { tilde {U}}}$ это дает еще один повод думать о гиперфункциях как о «граничных значениях» голоморфных функций.

Примеры

Если ж - любая голоморфная функция на всей комплексной плоскости, то ограничение ж к действительной оси является гиперфункцией, представленной либо (ж, 0) или (0, -ж).
В Ступенчатая функция Хевисайда можно представить как

{ Displaystyle Н (х) = влево (- { tfrac {1} {2 pi i}} log (z), - { tfrac {1} {2 pi i}} log (z) -1 вправо).}

В Дельта Дирака «функция» представлен

{ displaystyle left ({ tfrac {1} {2 pi iz}}, { tfrac {1} {2 pi iz}} right).}

Это действительно повторение Интегральная формула Коши. Чтобы проверить это, можно вычислить интегрирование ж чуть ниже реальной линии и вычесть интеграцию грамм чуть выше реальной линии - слева направо. Обратите внимание, что гиперфункция может быть нетривиальной, даже если компоненты являются аналитическим продолжением одной и той же функции. Также это легко проверить, дифференцируя функцию Хевисайда.

Если грамм это непрерывная функция (или в более общем смысле распределение ) на вещественной прямой с опорой, содержащейся в ограниченном интервале я, тогда грамм соответствует гиперфункции (ж, −ж), куда ж является голоморфной функцией на дополнении к я определяется

{ displaystyle f (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {x in I} g (x) { frac {1} {z-x}} , dx.}

Эта функция ж подскакивает в цене на грамм(Икс) при пересечении действительной оси в точке Икс. Формула для ж следует из предыдущего примера записью грамм как свертка самого себя с дельта-функцией Дирака.

Используя разбиение единицы, любую непрерывную функцию (распределение) можно записать в виде локально конечной суммы функций (распределений) с компактным носителем. Это может быть использовано для расширения вышеупомянутого вложения до вложения ${ displaystyle textstyle { mathcal {D}} '( mathbb {R}) to { mathcal {B}} ( mathbb {R}).}$
Если ж - любая функция, голоморфная всюду, кроме существенная особенность при 0 (например, е^1/z), тогда ${ displaystyle (f, -f)}$ является гиперфункцией с поддерживать 0 это не раздача. Если ж имеет полюс конечного порядка в 0, то ${ displaystyle (f, -f)}$ это распределение, поэтому когда ж имеет существенную особенность, то ${ displaystyle (f, -f)}$ выглядит как «распределение бесконечного порядка» при 0. (Обратите внимание, что распределения всегда имеют конечный заказать в любой момент.)

Операции над гиперфункциями

Позволять ${ Displaystyle U substeq mathbb {R}}$ быть любым открытым подмножеством.

По определению ${ Displaystyle { mathcal {B}} (U)}$ является векторным пространством, в котором корректно определены сложение и умножение с комплексными числами. Ясно:

{ displaystyle a (f _ {+}, f _ {-}) + b (g _ {+}, g _ {-}): = (af _ {+} + bg _ {+}, af _ {-} + bg _ {-} )}

Карты очевидных ограничений поворачивают ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ в пучок (что на самом деле дряблый ).
Умножение на вещественные аналитические функции ${ displaystyle h in { mathcal {O}} (U)}$ и дифференциация четко определены:

{ displaystyle { begin {align} h (f _ {+}, f _ {-}) &: = (hf _ {+}, hf _ {-}) [6pt] { frac {d} {dz}} (f _ {+}, f _ {-}) &: = left ({ frac {df _ {+}} {dz}}, { frac {df _ {-}} {dz}} right) end { выровнено}}}

С этими определениями

{ Displaystyle { mathcal {B}} (U)}

становится D-модуль и вложение

{ Displaystyle { mathcal {D}} ' hookrightarrow { mathcal {B}}}

является морфизмом D-модулей.

Точка ${ displaystyle a in U}$ называется голоморфная точка из ${ displaystyle f in { mathcal {B}} (U)}$ если ${ displaystyle f}$ ограничивается действительной аналитической функцией в некоторой малой окрестности ${ displaystyle a.}$ Если ${ displaystyle a leqslant b}$ - две голоморфные точки, то интегрирование корректно:

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f: = - int _ { gamma _ {+}} f _ {+} (z) , dz + int _ { gamma _ {-}} f_ {-} (z) , dz}

куда

{ displaystyle gamma _ { pm}: [0,1] to mathbb {C} ^ { pm}}

- произвольные кривые с

{ displaystyle gamma _ { pm} (0) = a, gamma _ { pm} (1) = b.}

Интегралы не зависят от выбора этих кривых, поскольку верхняя и нижняя полуплоскости односвязный.

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {B}} _ {c} (U)}$ - пространство гиперфункций с компактным носителем. Через билинейную форму

{ displaystyle { begin {case} { mathcal {B}} _ {c} (U) times { mathcal {O}} (U) to mathbb {C} (f, varphi) mapsto int f cdot varphi end {case}}}

каждой гиперфункции с компактным носителем ставится в соответствие непрерывная линейная функция на

{ displaystyle { mathcal {O}} (U).}

Это индуцирует отождествление двойственного пространства,

{ displaystyle { mathcal {O}} '(U),}

с

{ displaystyle { mathcal {B}} _ {c} (U).}

Особый случай, заслуживающий рассмотрения, - это случай непрерывных функций или распределений с компактным носителем: если рассматривать

{ displaystyle C_ {c} ^ {0} (U)}

(или же

{ Displaystyle { mathcal {E}} '(U)}

) как подмножество

{ Displaystyle { mathcal {B}} (U)}

с помощью указанного выше вложения, то это точно вычисляет традиционный интеграл Лебега. Кроме того: если

{ Displaystyle и в { mathcal {E}} '(U)}

это дистрибутив с компактной поддержкой,

{ displaystyle varphi in { mathcal {O}} (U)}

- вещественная аналитическая функция, а

{ Displaystyle OperatorName {supp} (и) подмножество (а, б)}

тогда

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} u cdot varphi = langle u, varphi rangle.}

Таким образом, это понятие интеграции придает точный смысл формальным выражениям вроде

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} delta (x) , dx}

которые в обычном смысле не определены. Более того: поскольку вещественные аналитические функции плотны в

{ Displaystyle { mathcal {E}} (U), { mathcal {E}} '(U)}

является подпространством

{ Displaystyle { mathcal {O}} '(U)}

. Это альтернативное описание того же вложения

{ Displaystyle { mathcal {E}} ' hookrightarrow { mathcal {B}}}

.

Если ${ displaystyle Phi: U to V}$ реальная аналитическая карта между открытыми множествами ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , затем композиция с ${ displaystyle Phi}$ является четко определенным оператором из ${ Displaystyle { mathcal {B}} (V)}$ к ${ Displaystyle { mathcal {B}} (U)}$ :