Индексная группа - Index group
В теория операторов, раздел математики, каждый Банахова алгебра можно связать с группой, называемой ее группа абстрактных индексов.
Определение
Позволять А быть банаховой алгеброй и г группа обратимых элементов в А. Набор г открыт и топологическая группа. Рассмотрим компонент идентичности
- г0,
или другими словами связный компонент содержащий тождество 1 из А; г0 это нормальная подгруппа из г. В факторгруппа
- ΛА = г/г0
это группа абстрактных индексов из А. Потому что г0, являясь составной частью открытого множества, является одновременно открытым и закрытым в г, индексная группа - это дискретная группа.
Примеры
Позволять L(ЧАС) - банахова алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Набор обратимых элементов в L(ЧАС) связано по путям. Следовательно, ΛL(ЧАС) - тривиальная группа.
Позволять Т обозначим единичную окружность на комплексной плоскости. Алгебра C(Т) непрерывных функций из Т к сложные числа является банаховой алгеброй с топологией равномерной сходимости. Функция в C(Т) обратима (то есть имеет точечно мультипликативный обратный, не то чтобы это обратимая функция ), если он не отображает ни один элемент Т до нуля. Группа г0 состоит из элементов гомотопный, в г, к идентичности в г, постоянная функция 1. Можно выбрать функции жп(z) = zп как представители в G различных гомотопических классов отображений Т→Т. Таким образом, индексная группа ΛC(Т) - множество гомотопических классов, индексированных номер намотки его членов. Таким образом, ΛC(Т) изоморфен фундаментальная группа из Т. Это счетная дискретная группа.
В Калкина алгебра K частное C * -алгебра из L(ЧАС) с уважением к компактные операторы. Предположим, что π - фактор-отображение. От Теорема Аткинсона, обратимые элементы в K имеет вид π (Т) где Т это Фредгольмовы операторы. Индексная группа ΛK снова является счетной дискретной группой. На самом деле ΛK изоморфна аддитивной группе целых чисел Z, через Индекс Фредгольма. Другими словами, для фредгольмовых операторов два понятия индекса совпадают.