Теорема Аткинсона - Википедия - Atkinsons theorem

В теория операторов, Теорема Аткинсона (назван в честь Фредерик Валентайн Аткинсон ) дает характеристику Фредгольмовы операторы.

Теорема

Позволять ЧАС быть Гильбертово пространство и L(ЧАС) множество ограниченных операторов на ЧАС. Ниже приводится классическое определение Фредгольмов оператор: оператор Т ∈ L(ЧАС) называется фредгольмовым оператором, если ядро Кер (Т) конечномерно, Ker (Т *) конечномерно (где Т * обозначает прилегающий из Т), а классифицировать Ран (Т) закрыто.

Теорема Аткинсона состояния:

А Т ∈ L(ЧАС) является фредгольмовым оператором тогда и только тогда, когда Т обратима по модулю компактного возмущения, т.е. TS = я + C₁ и ST = я + C₂ для некоторого ограниченного оператора S и компактные операторы C₁ и C₂.

Другими словами, оператор Т ∈ L(ЧАС) является фредгольмовым в классическом смысле тогда и только тогда, когда его проекция в Калкина алгебра обратимо.

Эскиз доказательства

Схема доказательства следующая. Для импликации ⇒ выразим ЧАС как ортогональная прямая сумма

${ displaystyle H = operatorname {Ker} (T) ^ { perp} oplus operatorname {Ker} (T).}$

Ограничение Т : Ker (Т)^⊥ → Ран (Т) является биекцией и поэтому обратима теорема об открытом отображении. Продлим эту инверсию на 0 на Ran (Т)^⊥ = Ker (Т *) оператору S определены на всех ЧАС. потом я − TS это конечный ранг проекция на Ker (Т *), и я − ST проекция на Ker (Т). Это доказывает единственную часть теоремы.

Наоборот, предположим теперь, что ST = я + C₂ для некоторого компактного оператора C₂. Если Икс ∈ Ker (Т), тогда STx = Икс + C₂Икс = 0. Итак, Ker (Т) содержится в собственном подпространстве C₂, которая конечномерна (см. спектральная теория компактных операторов ). Следовательно, Ker (Т) также конечномерна. Тот же аргумент показывает, что Ker (Т *) также конечномерна.

Чтобы доказать, что Ран (Т) закрыто, воспользуемся свойство аппроксимации: позволять F быть оператор конечного ранга такой, что ||F − C₂|| < р. Тогда для каждого Икс в Ker (F),

||S||·||Tx|| ≥ ||STx|| = ||Икс + C₂Икс|| = ||Икс + Fx +C₂Икс − Fx|| ≥ || х || - ||C₂ − F|| · || x || ≥ (1 - р)||Икс||.

Таким образом Т ограничена снизу на Ker (F), откуда следует, что Т(Кер (F)) закрыто. С другой стороны, Т(Кер (F)^⊥) конечномерно, поскольку Ker (F)^⊥ = Ран (F *) конечномерно. Поэтому Ран (Т) = Т(Кер (F)) + Т(Кер (F)^⊥) замкнуто, и это доказывает теорему.

Более полное изложение теоремы Аткинсона можно найти в справочнике Арвесона: оно показывает, что если B - банахово пространство, оператор является фредгольмовым тогда и только тогда, когда он обратим по модулю оператора конечного ранга (и что последний эквивалентен обратимости по модулю компактного оператора, что важно с учетом примера Энфло сепарабельного рефлексивного банахова пространства с компактными операторами, не являющимися пределами нормы операторов конечного ранга). Для банаховых пространств фредгольмов оператор - это оператор с конечномерным ядром и диапазоном конечной коразмерности (что эквивалентно конечномерности ядра сопряженного к нему). Отметим, что гипотеза о том, что Ран (Т) замкнуто, избыточно, поскольку пространство конечной коразмерности, которое также является образом ограниченного оператора, всегда замкнуто (см. ссылку Арвесона ниже); это следствие теоремы об открытом отображении (и неверно, если пространство не является диапазоном ограниченного оператора, например, ядра разрывного линейного функционала).

Рекомендации

• Аткинсон, Ф. В. (1951). «Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах». Мат. Sb. 28 (70): 3–14. Zbl  0042.12001.
• Арвесон, Уильям Б., Краткий курс спектральной теории, Тексты для выпускников Springer по математике, том 209, 2002, ISBN  0387953000