Преобразование Стилтьеса - Stieltjes transformation

В математика, то Преобразование Стилтьеса S_ρ(z) меры плотности ρ на вещественном интервале я функция комплексной переменной z определяется за пределами я по формуле

${displaystyle S_ {ho} (z) = int _ {I} {frac {ho (t), dt} {z-t}}, qquad zin mathbb {C}, ackslash, I.}$

При определенных условиях мы можем восстановить функцию плотности ρ, исходя из ее преобразования Стилтьеса, благодаря обратной формуле Стилтьеса-Перрона. Например, если плотность ρ непрерывна на всем протяжении я, внутри этого интервала будет

${displaystyle ho (x) = {underset {varepsilon ightarrow 0 ^ {+}} {ext {lim}}} {frac {S_ {ho} (x-ivarepsilon) -S_ {ho} (x + ivarepsilon)} {2ipi }}.}$

Связи с моментами мер

Если мера плотности ρ имеет моменты любого порядка, определенного для каждого целого числа равенством

${displaystyle m_ {n} = int _ {I} t ^ {n}, ho (t), dt,}$

затем Стилтьес преобразование ρ допускает для каждого целого числа п то асимптотический расширение в окрестности бесконечности, задаваемой

${displaystyle S_ {ho} (z) = sum _ {k = 0} ^ {n} {frac {m_ {k}} {z ^ {k + 1}}} + oleft ({frac {1} {z ^ {n + 1}}} ight).}$

При определенных условиях полное разложение как Серия Laurent может быть получен:

${displaystyle S_ {ho} (z) = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {m_ {n}} {z ^ {n + 1}}}.}$

Связь с ортогональными многочленами

Переписка ${displaystyle (f, g) mapsto int _ {I} f (t) g (t) ho (t), dt}$ определяет внутренний продукт на пространстве непрерывные функции на интервале я.

Если {п_п} представляет собой последовательность ортогональные многочлены для этого продукта мы можем создать последовательность связанных вторичные полиномы по формуле

${displaystyle Q_ {n} (x) = int _ {I} {frac {P_ {n} (t) -P_ {n} (x)} {t-x}} ho (t), dt.}$

Оказалось, что ${displaystyle F_ {n} (z) = {гидроразрыв {Q_ {n} (z)} {P_ {n} (z)}}}$ это Приближение Паде из S_ρ(z) в окрестности бесконечности в том смысле, что

${displaystyle S_ {ho} (z) - {frac {Q_ {n} (z)} {P_ {n} (z)}} = Oleft ({frac {1} {z ^ {2n}}} ight). }$

Поскольку эти две последовательности многочленов удовлетворяют одному и тому же рекуррентному соотношению в трех членах, мы можем разработать непрерывная дробь для преобразования Стилтьеса, чьи последовательные сходящиеся дроби F_п(z).

Преобразование Стилтьеса также можно использовать для построения из плотности ρ эффективной меры для преобразования вторичных многочленов в ортогональную систему. (Подробнее см. Статью вторичная мера.)

Смотрите также

• Ортогональные многочлены
• Вторичные полиномы
• Вторичная мера

Рекомендации

• Х. С. Уолл (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей. D. Van Nostrand Company Inc.