Принцип минимакса Куранта - Courant minimax principle

В математике Принцип минимакса Куранта дает собственные значения настоящего симметричная матрица. Он назван в честь Ричард Курант.

Вступление

Принцип минимакса Куранта дает условие нахождения собственных значений для вещественной симметричной матрицы. Принцип минимакса Куранта заключается в следующем:

Для любой вещественной симметричной матрицы А,

${displaystyle lambda _ {k} = min limits _ {C} max limits _ {{| x | = 1}, {Cx = 0}} langle Ax, xangle,}$

куда C есть ли (k − 1) × п матрица.

Обратите внимание, что вектор Икс является собственный вектор к соответствующему собственному значениюλ.

Принцип минимакса Куранта является результатом теоремы о максимуме, которая гласит, что для q(Икс) = <Топор,Икс>, А будучи реальной симметричной матрицей, наибольшее собственное значение дается формулой λ₁ = макс._||Икс||=1q(Икс) = q(Икс₁), куда Икс₁ - соответствующий собственный вектор. Также (в теореме о максимуме) последующие собственные значения λ_k и собственные векторы Икс_k находятся по индукции и ортогональны друг другу; следовательно, λ_k = максq(Икс_k) с <Икс_j,Икс_k> = 0, j < k.

Принцип минимакса Куранта, а также принцип максимума можно представить себе, представив, что если ||Икс|| = 1 - это гиперсфера тогда матрица А деформирует эту гиперсферу в эллипсоид. Когда большая ось на пересечении гиперплоскость максимизированы - т.е.длина квадратичной формы q(Икс) максимизируется - это собственный вектор, а его длина - собственное значение. Все остальные собственные векторы будут перпендикулярны этому.

Принцип минимакса обобщается также на собственные значения положительных самосопряженных операторов на Гильбертовы пространства, где он обычно используется для изучения Проблема Штурма – Лиувилля..

Смотрите также

• Теорема мин-макс
• Макс – мин неравенство
• Фактор Рэлея

Рекомендации

• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1989), Метод математической физики. я, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-50447-5 (Страницы 31–34; в большинстве учебников «метод максимума-минимума» обычно приписывают Рэлей и Ритц, кто применил вариационное исчисление в теории звука.)
• Кинер, Джеймс П. Принципы прикладной математики: преобразование и приближение. Кембридж: Westview Press, 2000. ISBN  0-7382-0129-4
• Хорн, Роджер; Джонсон, Чарльз (1985), Матричный анализ, Cambridge University Press, стр. 179, г. ISBN  978-0-521-38632-6