Теорема о ядре Шварца - Schwartz kernel theorem

В математика, то Теорема о ядре Шварца является основополагающим результатом теории обобщенные функции, опубликовано Лоран Шварц в 1952 г. В общих чертах он заявляет, что обобщенные функции, введенные Шварцем (Распределения Шварца ) имеют теорию двух переменных, включающую все разумные билинейные формы на пространстве ${displaystyle {mathcal {D}}}$ из тестовые функции. Космос ${displaystyle {mathcal {D}}}$ сам состоит из гладкие функции из компактная опора.

Формулировка теоремы

Позволять ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ быть открытыми в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$.Каждое распространение ${displaystyle kin {mathcal {D}} '(X imes Y)}$ определяет непрерывную линейную карту ${displaystyle Kcolon {mathcal {D}} (Y) o {mathcal {D}} '(X)}$ такой, что

${displaystyle leftlangle k, uotimes vightangle = leftlangle Kv, uightangle}$

(1)

для каждого ${displaystyle uin {mathcal {D}} (X), vin {mathcal {D}} (Y)}$Наоборот, для любого такого непрерывного линейного отображения ${displaystyle K}$существует один и только один дистрибутив ${displaystyle kin {mathcal {D}} '(X imes Y)}$ такой, что (1). ${displaystyle k}$ ядро карты ${displaystyle K}$.

Заметка

Учитывая распределение ${displaystyle kin {mathcal {D}} '(X imes Y)}$ линейное отображение K всегда можно неформально записать как

${displaystyle Kv = int _ {Y} k (cdot, y) v (y) dy}$

так что

${displaystyle langle Kv, uangle = int _ {X} int _ {Y} k (x, y) v (y) u (x) dydx}$.

Интегральные ядра

Традиционный функции ядра K(Икс, у) двух переменных теории интегральные операторы были расширены за счет включения их обобщенных функциональных аналогов, которым позволено быть более серьезным сингулярным образом, большой класс операторов из D к его двойное пространство D ′ распределений могут быть построены. Суть теоремы состоит в том, чтобы утверждать, что расширенный класс операторов можно охарактеризовать абстрактно, как содержащий все операторы, подчиняющиеся условию минимальной непрерывности. Билинейная форма на D возникает путем объединения распределения изображения с тестовой функцией.

Простым примером является то, что естественное вложение [.] Пространства тестовых функций D в D ’- отправка каждой тестовой функции f в соответствующее распределение [f] - соответствует дельта-распределению

δ (Икс − у)

сосредоточены на диагонали подчеркнутого евклидова пространства, в терминах Дельта-функция Дирака δ. Хотя это в лучшем случае наблюдение, оно показывает, как теория распределения расширяет сферу применения. Интегральные операторы не так уж «сингулярны»; по-другому сказать, что для K непрерывное ядро, только компактные операторы создаются в пространстве, например, непрерывные функции на [0,1]. Оператор я далеко не компактно, и его ядро ​​интуитивно аппроксимируется функциями на [0,1] × [0,1] с острием по диагонали Икс = у и исчезновение в другом месте.

Этот результат означает, что формирование распределений обладает основным свойством «замкнутости» в рамках традиционной области функциональный анализ. Это было истолковано (комментарий Жан Дьедонне ) как убедительное подтверждение пригодности теории распределений Шварца для более широкого применения математического анализа. В его Éléments d'analyse том 7, с. 3 он отмечает, что теорема включает дифференциальные операторы на том же основании, что и интегральные операторы, и приходит к выводу, что это, пожалуй, самый важный современный результат функционального анализа. Он сразу же уточняет это утверждение, говоря, что ситуация слишком «обширна» для дифференциальных операторов из-за свойства монотонности по отношению к поддержка функции, что очевидно для дифференциации. Даже монотонность по исключительная поддержка не характерно для общего случая; его рассмотрение ведет в направлении современной теории псевдодифференциальные операторы.

Гладкие коллекторы

Дьедонне доказывает, что версия результата Шварца верна для гладкие многообразия и дополнительные подтверждающие результаты в разделах с 23.9 по 23.12 этой книги.

Обобщение на ядерные пространства

Большая часть теории ядерные пространства был разработан Александр Гротендик при исследовании теоремы о ядре Шварца и опубликованной в Гротендик 1955. Имеем следующее обобщение теоремы.

Теорема о ядре Шварца:^[1] Предположим, что Икс является ядерный, Y локально выпуклый, а v является непрерывной билинейной формой на ${displaystyle X imes Y}$. потом v происходит из пространства формы ${displaystyle X_ {A ^ {prime}} ^ {prime} {widehat {otimes}} _ {epsilon} Y_ {B ^ {prime}} ^ {prime}}$ где ${displaystyle A ^ {prime}}$ и ${displaystyle B ^ {prime}}$ являются подходящими равностепенно непрерывными подмножествами ${displaystyle X ^ {prime}}$ и ${displaystyle Y ^ {prime}}$. Эквивалентно, v имеет форму,

${displaystyle v (x, y) = sum _ {i = 1} ^ {infty} lambda _ {i} leftlangle x, x_ {i} ^ {prime} ightangle leftlangle y, y_ {i} ^ {prime} ightangle}$ для всех ${displaystyle (x, y) в X imes Y}$

где ${displaystyle left (lambda _ {i} ight) в l ^ {1}}$ и каждый из ${displaystyle {x_ {1} ^ {prime}, x_ {2} ^ {prime}, ldots}}$ и ${displaystyle {y_ {1} ^ {prime}, y_ {2} ^ {prime}, ldots}}$ равностепенные. Кроме того, эти последовательности можно рассматривать как нулевые (т. Е. Сходящиеся к 0) в ${displaystyle X_ {A ^ {prime}} ^ {prime}}$ и ${displaystyle Y_ {B ^ {prime}} ^ {prime}}$соответственно.

Смотрите также

• Ядро Фредгольма
• Инъективное тензорное произведение
• Ядерный оператор
• Ядерное пространство
• Проективное тензорное произведение
• Оснащенное гильбертово пространство
• Класс трассировки

использованная литература

Список используемой литературы

• Гротендик, Александр (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные продукты и ядерные пространства]. Мемуары из серии Американского математического общества (На французском). Провиденс: Американское математическое общество. 16. ISBN  978-0-8218-1216-7. Г-Н  0075539. OCLC  1315788.
• Хёрмандер, Л. (1983). Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I. Grundl. Математика. Wissenschaft. 256. Springer. Дои:10.1007/978-3-642-96750-4. ISBN  3-540-12104-8. Г-Н  0717035..
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6. OCLC  5126158.

внешние ссылки

• Литвинов Г.Л. (2001) [1994], «Ядерная билинейная форма», Энциклопедия математики, EMS Press