Абстрактный симплициальный комплекс - Википедия - Abstract simplicial complex

Геометрическое представление абстрактного симплициального комплекса, которое не является действительным симплициальный комплекс.

В комбинаторика, абстрактный симплициальный комплекс (ASC) - это семейство наборов это закрыто подмножества, т.е. каждое подмножество набора в семействе также входит в семейство. Это чисто комбинаторное описание геометрического понятия симплициальный комплекс.[1] Например, в 2-мерном симплициальном комплексе наборы в семействе - это треугольники (наборы размера 3), их ребра (наборы размера 2) и их вершины (наборы размера 1).

В контексте матроиды и гридоиды, абстрактные симплициальные комплексы также называют системы независимости.[2]

Абстрактный симплекс можно изучать алгебраически, формируя его Кольцо Стэнли – Рейснера; это устанавливает сильную связь между комбинаторика и коммутативная алгебра.

Определения

Коллекция Δ непустых конечных подмножеств набор S называется набором-семейством.

Набор-семья Δ называется абстрактный симплициальный комплекс если для каждого набора Икс в Δ, и каждое непустое подмножество YИкс, набор Y также принадлежит Δ.

Конечные множества, принадлежащие Δ называются лица комплекса, и лицо Y Говорят, что принадлежит другому лицу Икс если YИкс, поэтому определение абстрактного симплициального комплекса может быть переформулировано следующим образом: каждая грань грани сложного Δ сам по себе лицо Δ. В набор вершин из Δ определяется как V(Δ) = ∪Δ, объединение всех граней Δ. Элементы множества вершин называются вершины комплекса. Для каждой вершины v из Δ, набор {v} - это грань комплекса, а каждая грань комплекса - конечное подмножество множества вершин.

Максимальные грани Δ (т.е. лица, не являющиеся подмножествами других граней) называются грани комплекса. В размер лица Икс в Δ определяется как тусклый (Икс) = |Икс| − 1: грани, состоящие из одного элемента, являются нульмерными, грани, состоящие из двух элементов, являются одномерными и т. д. размер комплекса тусклый (Δ) определяется как наибольшее измерение любой из его граней или бесконечность, если нет конечной границы на размерность граней.

Комплекс Δ как говорят конечный если у него конечное число граней или, что то же самое, если его множество вершин конечно. Также, Δ как говорят чистый если он конечномерный (но не обязательно конечный) и каждая грань имеет одинаковую размерность. Другими словами, Δ чисто, если тусклый (Δ) конечно, и каждая грань содержится в фасете размерности тусклый (Δ).

Одномерные абстрактные симплициальные комплексы математически эквивалентны просто неориентированные графы: множество вершин комплекса можно рассматривать как множество вершин графа, а двухэлементные фасеты комплекса соответствуют неориентированным ребрам графа. С этой точки зрения, одноэлементные фасеты комплекса соответствуют изолированным вершинам, не имеющим инцидентных ребер.

А подкомплекс из Δ это абстрактный симплициальный комплекс L так что каждое лицо L принадлежит Δ; то есть, L ⊆ Δ и L является абстрактным симплициальным комплексом. Подкомплекс, состоящий из всех подмножеств одной грани Δ часто называют симплекс из Δ. (Однако некоторые авторы используют термин «симплекс» для лица или, что довольно неоднозначно, как для лица, так и для подкомплекса, связанного с лицом, по аналогии с неабстрактным (геометрическим) симплициальный комплекс терминология. Чтобы избежать двусмысленности, мы не используем в этой статье термин «симплекс» для лица в контексте абстрактных комплексов).

В d-скелет из Δ это подкомплекс Δ состоящий из всех граней Δ которые имеют размер не более d. В частности, 1-скелет называется нижележащий граф из Δ. 0-скелет Δ может быть отождествлен с его набором вершин, хотя формально это не совсем то же самое (набор вершин - это единый набор всех вершин, а 0-скелет - это семейство одноэлементных множеств).

В связь лица Y в Δ, часто обозначаемый Δ /Y или же lkΔ(Y), является подкомплексом Δ определяется

Обратите внимание, что ссылка на пустой набор Δ сам.

Учитывая два абстрактных симплициальных комплекса, Δ и Γ, а симплициальная карта это функция  ж который отображает вершины Δ в вершины Γ и это имеет свойство, что для любого лица Икс из Δ, то изображение  ж (Икс) это лицо Γ. Существует категория SCpx с абстрактными симплициальными комплексами как объектами и симплициальными отображениями как морфизмы. Это эквивалентно подходящей категории, определенной с использованием не абстрактных симплициальные комплексы.

Более того, категориальная точка зрения позволяет ужесточить связь между лежащим в основе множеством S абстрактного симплициального комплекса Δ и множество вершин V(Δ) ⊆ S из Δ: в целях определения категории абстрактных симплициальных комплексов элементы S не лежал в V(Δ) не имеют отношения к делу. Точнее, SCpx эквивалентно категории, где:

  • объект - это набор S снабженный набором непустых конечных подмножеств Δ содержащий все синглтоны и такой, что если Икс в Δ и YИкс непусто, то Y также принадлежит Δ.
  • морфизм из (S, Δ) к (Т, Γ) это функция ж : SТ такое, что изображение любого элемента Δ является элементом Γ.

Геометрическая реализация

Мы можем сопоставить абстрактному симплициальному комплексу K а топологическое пространство , назвал его геометрическая реализация, который является носителем симплициальный комплекс. Построение происходит следующим образом.

Сначала определим как подмножество состоящий из функций удовлетворяющий двум условиям:

Теперь подумайте о наборе элементов с конечной опорой как прямой предел из куда А пробегает конечные подмножества S, и дадим этому прямому пределу индуцированная топология. Теперь дай в топология подпространства.

В качестве альтернативы пусть обозначают категорию, объектами которой являются грани K и чьи морфизмы являются включениями. Затем выберите общий заказ на множестве вершин K и определим функтор F из в категорию топологических пространств следующим образом. Для любого лица Икс в K измерения п, позволять F(Икс) = Δп быть стандартом п-симплекс. Затем порядок в наборе вершин определяет уникальный биекция между элементами Икс и вершины Δп, заказывается обычным способом е0 < е1 < ... < еп. Если YИкс это лицо измерения м < п, то эта биекция задает уникальный м-мерное лицо Δп. Определять F(Y) → F(Икс) быть уникальным аффинный линейный встраивание из Δм как это выдающееся лицо Δп, такое, что отображение на вершинах сохраняет порядок.

Затем мы можем определить геометрическую реализацию как копредел функтора F. Более конкретно это факторное пространство из несвязный союз

посредством отношение эквивалентности который определяет точку уF(Y) с изображением под картой F(Y) → F(Икс), для каждого включения YИкс.

Если K конечно, то мы можем описать проще. Выберите вложение множества вершин K как аффинно независимый подмножество некоторых Евклидово пространство достаточно большой размерности N. Тогда любое лицо Икс в K можно отождествить с геометрическим симплексом в натянутые на соответствующие вложенные вершины. Брать быть объединением всех таких симплексов.

Если K стандартный комбинаторный п-симплекс, то можно естественным образом отождествить с Δп.

Примеры

1. Пусть V быть конечным набором мощность п + 1. В комбинаторный п-суплекс с набором вершин V является ASC, все грани которого являются подмножествами V (т.е. это набор мощности из V). Если V = S = {0, 1, ..., п}, то этот ИСС называется стандартный комбинаторный п-суплекс.

2. Пусть грамм неориентированный граф. В кликовый комплекс из грамм это ASC, все лица которого клики (полные подграфы) грамм. В комплекс независимости грамм ASC, все лица которого независимые множества из грамм (это кликовый комплекс дополнительный граф из G). Кликовые комплексы являются прототипическим примером флаговые комплексы. А флаговый комплекс это сложный K с тем свойством, что каждый набор элементов, попарно принадлежащих граням K сам по себе лицо K.

3. Пусть ЧАС быть гиперграф. А соответствие в ЧАС это набор ребер ЧАС, в котором каждые два ребра непересекающийся. В соответствующий комплекс ЧАС это ASC, все лица которого совпадения в ЧАС. Это комплекс независимости из линейный график из ЧАС.

4. Пусть п быть частично заказанный набор (посеть). В комплекс заказов из п является ASC, все грани которого конечны цепи в п. Его гомология группы и другие топологические инварианты содержат важную информацию о посете п.

5. Пусть M быть метрическое пространство и δ реальное число. В Комплекс Виеторис – Рипс является ASC, грани которого являются конечными подмножествами M диаметром не более δ. Он имеет приложения в теория гомологии, гиперболические группы, обработка изображений, и мобильные специальные сети. Это еще один пример флагового комплекса.

6. Пусть быть без квадратов мономиальный идеал в кольцо многочленов (то есть идеал, порожденный произведениями подмножеств переменных). Тогда векторы показателей этих бесквадратных одночленов от что не в определить абстрактный симплициальный комплекс через карту . Фактически существует биекция между (непустыми) абстрактными симплициальными комплексами на п вершин и бесквадратных мономиальных идеалов в S. Если - идеал без квадратов, соответствующий симплициальному комплексу затем частное известен как Кольцо Стэнли – Рейснера из .

7. Для любого открытое покрытие C топологического пространства нервный комплекс из C - абстрактный симплициальный комплекс, содержащий подсемейства C с непустым пересечение.

Перечисление

Количество абстрактных симплициальных комплексов до п помеченные элементы (то есть на множестве S размера п) на единицу меньше, чем пth Число Дедекинда. Эти цифры растут очень быстро и известны только п ≤ 8; числа Дедекинда (начиная с п = 0):

1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787 (последовательность A014466 в OEIS ). Это соответствует количеству непустых антицепи подмножеств п набор.

Количество абстрактных симплициальных комплексов, вершины которых точно совпадают. п помеченные элементы задаются последовательностью «1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209370320359966» (последовательность A006126 в OEIS ), начинается с п = 1. Это соответствует количеству антицепных покрытий помеченного п-набор; между антицепными покрытиями п-множество и симплициальные комплексы на п элементы описаны в терминах их максимальных граней.

Количество абстрактных симплициальных комплексов ровно на п немаркированные элементы задаются последовательностью «1, 2, 5, 20, 180, 16143» (последовательность A006602 в OEIS ), начинается с п = 1.

Отношение к другим концепциям

Абстрактный симплициальный комплекс с дополнительным свойством, называемым свойство увеличения или обменять собственность дает матроид. Следующее выражение показывает отношения между терминами:

ГИПЕРГРАФЫ = МНОЖЕСТВО-СЕМЕЙСТВА ⊃ НЕЗАВИСИМОСТЬ-СИСТЕМЫ = АБСТРАКТ-ПРОСТО-КОМПЛЕКСЫ ⊃ МАТРОИДЫ.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Ли, Джон М., Введение в топологические многообразия, Springer 2011, ISBN  1-4419-7939-5, стр. 153
  2. ^ Корте, Бернхард; Ловас, Ласло; Шредер, Райнер (1991). Гридоиды. Springer-Verlag. п. 9. ISBN  3-540-18190-3.