Мономиальный идеал - Википедия - Monomial ideal

В абстрактная алгебра, а мономиальный идеал является идеальный создано мономы в многомерном кольцо многочленов через поле.

А торический идеал - идеал, порожденный разностями одночленов (при условии, что идеал главный идеал ). Аффинное или проективное алгебраическое многообразие определяемый торическим идеалом или однородным торическим идеалом, является аффинным или проективным торическое разнообразие, возможно ненормальный.

Определения и свойства

Позволять ${ Displaystyle mathbb {K}}$ быть полем и ${ Displaystyle R = mathbb {K} [х]}$ быть кольцо многочленов над ${ Displaystyle mathbb {K}}$ с п переменные ${ displaystyle x = x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}}$.

А одночлен в ${ displaystyle R}$ это продукт ${ displaystyle x ^ { alpha} = x_ {1} ^ { alpha _ {1}} x_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots x_ {n} ^ { alpha _ {n} }}$ для ппара ${ displaystyle alpha = ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, dotsc, alpha _ {n}) in mathbb {N} ^ {n}}$ неотрицательных целых чисел.

Следующие три условия эквивалентны для идеальный ${ displaystyle I in R}$:

1. ${ displaystyle I}$ порождается мономами,
2. Если ${ displaystyle f = Sigma _ { alpha in mathbb {N} ^ {n}} c _ { alpha} x ^ { alpha} in I}$, тогда ${ displaystyle x ^ { alpha} in I}$, при условии, что ${ displaystyle c _ { alpha}}$ отличен от нуля.
3. ${ displaystyle I}$ является тор фиксированный, т.е. с учетом ${ displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, dotsc, c_ {n}) in ( mathbb {K} ^ {*}) ^ {n}}$, тогда ${ displaystyle I}$ фиксируется под действием ${ displaystyle f (x_ {i}) = c_ {i} x_ {i}}$ для всех ${ displaystyle i}$.

Мы говорим что ${ Displaystyle I substeq mathbb {K} [х]}$ это мономиальный идеал если он удовлетворяет любому из этих эквивалентных условий.

Учитывая мономиальный идеал ${ displaystyle I = (m_ {1}, m_ {2}, dotsc, m_ {k})}$, ${ displaystyle f in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$ в ${ displaystyle I}$ тогда и только тогда, когда каждый мономиальный идеальный член ${ displaystyle f_ {i}}$ из ${ displaystyle f}$ кратно одному ${ displaystyle m_ {j}}$.^[1]

Доказательство:Предполагать ${ displaystyle I = (m_ {1}, m_ {2}, dotsc, m_ {k})}$ и это ${ displaystyle f in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$ в ${ displaystyle I}$. потом ${ displaystyle f = f_ {1} m_ {1} + f_ {2} m_ {2} + dotsm + f_ {k} m_ {k}}$, для некоторых ${ displaystyle f_ {i} in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$.

Для всех ${ Displaystyle 1 leqslant я leqslant k}$, мы можем выразить каждый ${ displaystyle f_ {i}}$ как сумму мономов, так что ${ displaystyle f}$ можно записать как сумму кратных ${ displaystyle m_ {i}}$. Следовательно, ${ displaystyle f}$ будет суммой кратных одночленов хотя бы для одного из ${ displaystyle m_ {i}}$.

Наоборот, пусть ${ displaystyle I = (m_ {1}, m_ {2}, dotsc, m_ {k})}$ и пусть каждый одночлен в ${ displaystyle f in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n}]}$ быть кратным одному из ${ displaystyle m_ {i}}$ в ${ displaystyle I}$. Тогда каждый мономиальный член в ${ displaystyle I}$ можно факторизовать из каждого монома в ${ displaystyle f}$. Следовательно ${ displaystyle f}$ имеет форму ${ displaystyle f = c_ {1} m_ {1} + c_ {2} m_ {2} + dotsm + c_ {k} m_ {k}}$ для некоторых ${ Displaystyle c_ {я} in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$, как результат ${ displaystyle f in I}$.

Следующее иллюстрирует пример мономиальных и полиномиальных идеалов.

Позволять ${ displaystyle I = (xyz, y ^ {2})}$ тогда многочлен ${ displaystyle x ^ {2} yz + 3xy ^ {2}}$ в Я, так как каждый член кратен элементу в J, т.е. их можно переписать как ${ displaystyle x ^ {2} yz = x (xyz)}$ и ${ displaystyle 3xy ^ {2} = 3x (y ^ {2}),}$ оба в Я. Однако если ${ Displaystyle J = (xz ^ {2}, y ^ {2})}$, то этот многочлен ${ displaystyle x ^ {2} yz + 3xy ^ {2}}$ не в J, поскольку его члены не кратны элементам в Дж.

Мономиальные идеалы и диаграммы Юнга

Мономиальный идеал можно интерпретировать как Диаграмма Юнга. Предполагать ${ Displaystyle I in mathbb {R} [x, y]}$, тогда ${ displaystyle I}$ можно интерпретировать в терминах образующих минимальных мономов как ${ displaystyle I = (x ^ {a_ {1}} y ^ {b_ {1}}, x ^ {a_ {2}} y ^ {b_ {2}}, dotsc, x ^ {a_ {k}) } y ^ {b_ {k}})}$, куда ${ displaystyle a_ {1}> a_ {2}> dotsm> a_ {k} geq 0}$ и ${ displaystyle b_ {r}> dotsm> b_ {2}> b_ {1} geq 0}$. Минимальные мономиальные образующие ${ displaystyle I}$ можно увидеть как внутренние углы диаграммы Юнга. Минимальные генераторы определят, где мы будем рисовать диаграмму лестницы.^[2]Мономы не в ${ displaystyle I}$ лежат внутри лестницы, и эти одночлены образуют базис векторного пространства для кольцо частного ${ Displaystyle mathbb {R} [х, у] / I}$.

Рассмотрим следующий пример. Позволять ${ displaystyle I = (x ^ {3}, x ^ {2} y, y ^ {3}) subset mathbb {R} [x, y]}$ - мономиальный идеал. Тогда множество точек сетки ${ Displaystyle S = { {(3,0), (2,1), (0,3)} } subset mathbb {N} ^ {2}}$ соответствует минимальным мономиальным образующим ${ displaystyle x ^ {3} y ^ {0}, x ^ {2} y ^ {1}, x ^ {0} y ^ {3}}$ в ${ displaystyle I}$. Тогда, как показано на рисунке, розовая диаграмма Юнга состоит из одночленов, не входящих в ${ displaystyle I}$. Точки во внутренних углах диаграммы Юнга позволяют идентифицировать минимальные мономы ${ displaystyle x ^ {0} y ^ {3}, x ^ {2} y ^ {1}, x ^ {3} y ^ {0}}$ в ${ displaystyle I}$ как видно в зеленых квадратах. Следовательно, ${ displaystyle I = (y ^ {3}, x ^ {2} y, x ^ {3})}$.

Диаграмма Юнга и ее связь с мономиальным идеалом.

В общем, с любым набором узлов сетки мы можем связать диаграмму Юнга, так что мономиальный идеал строится путем определения внутренних углов, составляющих диаграмму лестницы; аналогично, имея мономиальный идеал, мы можем составить диаграмму Юнга, глядя на ${ displaystyle (a_ {i}, b_ {j})}$ и представляя их как внутренние углы диаграммы Юнга. Координаты внутренних углов будут представлять степени минимальных одночленов в ${ displaystyle I}$. Таким образом, мономиальные идеалы можно описать диаграммами Юнга разбиений.

Более того, ${ Displaystyle ( mathbb {C} ^ {*}) ^ {2}}$-действие на съемках ${ Displaystyle I подмножество mathbb {C} [x, y]}$ такой, что ${ Displaystyle тусклый _ { mathbb {C}} mathbb {C} [x, y] / I = n}$ как векторное пространство над ${ displaystyle mathbb {C}}$ имеет неподвижные точки, соответствующие только мономиальным идеалам, которые соответствуют перегородки размера п, которые отождествляются диаграммами Юнга с п коробки.

Мономиальный порядок и базис Грёбнера

А мономиальный порядок это хороший заказ ${ displaystyle geq}$ на множестве одночленов таких, что если ${ displaystyle a, m_ {1}, m_ {2}}$ являются мономами, то ${ displaystyle am_ {1} geq am_ {2}}$.

Посредством мономиальный порядок, мы можем сформулировать следующие определения многочлена от ${ Displaystyle mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$.

Определение^[1]

1. Считайте идеальным ${ Displaystyle I подмножество mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$, и фиксированный мономиальный порядок. В ведущий термин ненулевого многочлена ${ displaystyle f in mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$, обозначаемый ${ displaystyle LT (f)}$ является мономом максимального порядка от ${ displaystyle f}$ и ведущий срок ${ displaystyle f = 0}$ является ${ displaystyle 0}$.
2. В идеал ведущих терминов, обозначаемый ${ displaystyle LT (I)}$, является идеалом, порожденным главными членами каждого элемента в идеале, т. е. ${ Displaystyle LT (I) = (LT (f) середина f in I)}$.
3. А Основа Грёбнера для идеального ${ Displaystyle I подмножество mathbb {K} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$ конечный набор образующих ${ displaystyle { {g_ {1}, g_ {2}, dotsc, g_ {s}} }}$ за ${ displaystyle I}$ чьи ведущие термины образуют идеал всех ведущих терминов в ${ displaystyle I}$, т.е. ${ displaystyle I = (g_ {1}, g_ {2}, dotsc, g_ {s})}$ и ${ Displaystyle LT (I) = (LT (g_ {1}), LT (g_ {2}), dotsc, LT (g_ {s}))}$.

Обратите внимание, что ${ displaystyle LT (I)}$ в целом зависит от используемого заказа; например, если мы выберем лексикографический порядок на ${ Displaystyle mathbb {R} [х, у]}$ при условии Икс > у, тогда ${ displaystyle LT (2x ^ {3} y + 9xy ^ {5} +19) = 2x ^ {3} y}$, но если взять у > Икс тогда ${ displaystyle LT (2x ^ {3} y + 9xy ^ {5} +19) = 9xy ^ {5}}$.

Кроме того, мономы присутствуют на Основа Грёбнера и определить алгоритм деления для многочленов от нескольких переменных.

Обратите внимание, что для мономиального идеала ${ displaystyle I = (g_ {1}, g_ {2}, dotsc, g_ {s}) in mathbb {F} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}] }$, конечный набор образующих ${ displaystyle { {g_ {1}, g_ {2}, dotsc, g_ {s}} }}$ является базисом Грёбнера для ${ displaystyle I}$. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что любой многочлен ${ displaystyle f in I}$ можно выразить как ${ displaystyle f = a_ {1} g_ {1} + a_ {2} g_ {2} + dotsm + a_ {s} g_ {s}}$ за ${ displaystyle a_ {i} in mathbb {F} [x_ {1}, x_ {2}, dotsc, x_ {n}]}$. Тогда ведущий член ${ displaystyle f}$ является кратным для некоторых ${ displaystyle g_ {i}}$. Как результат, ${ displaystyle LT (I)}$ генерируется ${ displaystyle g_ {i}}$ так же.

Смотрите также

• Кольцо Стэнли – Рейснера
• Алгебра Ходжа

Сноски

Рекомендации

• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005), Комбинаторная коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 227, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-22356-8
• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (третье изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-43334-7

дальнейшее чтение

• Кокс, Дэвид. «Лекции о торических многообразиях» (PDF). Лекция 3. §4 и §5.
• Штурмфельс, Бернд (1996). Базисы Грёбнера и выпуклые многогранники. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• Тейлор, Дайана Кан (1966). Идеалы, порожденные одночленами в R-последовательности (Кандидатская диссертация). Чикагский университет. МИСТЕР  2611561. ProQuest  302227382.
• Тесье, Бернар (2004). Мономиальные идеалы, биномиальные идеалы, полиномиальные идеалы (PDF).