Комплекс Независимости - Independence complex

В комплекс независимости из график математический объект, описывающий независимые множества графа. Формально комплекс независимости неориентированный граф грамм, обозначаемый I (грамм), является абстрактный симплициальный комплекс (то есть семейство конечных множеств, замкнутое относительно операции взятия подмножеств), образованное множествами вершин в независимые множества из грамм. Любое подмножество независимого набора само является независимым набором, поэтому I (грамм) действительно удовлетворяет требованию абстрактного симплициального комплекса, согласно которому каждое подмножество множества в семействе также должно быть в семействе.

Каждое независимое множество в графе - это клика в его дополнительный граф, наоборот. Следовательно, комплекс независимости графа равен кликовый комплекс его дополнительного графа, и наоборот.

Группы гомологий

Несколько авторов изучали взаимосвязь между свойствами графа. грамм = (V, E), а группы гомологии своего комплекса независимости I (грамм).^[1] В частности, несколько свойств, относящихся к доминирующие наборы в грамм гарантировать, что некоторые пониженная гомология группы I (грамм) тривиальны.

1. В общий число господства группы G, обозначаемой ${ displaystyle gamma _ {0} (G)}$, - минимальная мощность множества полный доминирующий набор из ГРАММ - множество S такое, что каждая вершина V смежна с вершиной S. Если ${ displaystyle gamma _ {0} (G)> k}$ тогда ${ Displaystyle { тильда {H}} _ {k-1} (I (G)) = 0}$.^[2]

2. Программа общее число доминирования подмножества А из V в G, обозначенный ${ displaystyle gamma _ {0} (G, A)}$, - минимальная мощность множества S такая, что каждая вершина А смежна с вершиной из S. В число доминирования независимости группы G, обозначаемой ${ Displaystyle я гамма (G)}$, - максимум по всем независимым множествам А в грамм, из ${ displaystyle gamma _ {0} (G, A)}$. Если ${ Displaystyle я гамма (G)> к}$, тогда ${ Displaystyle { тильда {H}} _ {k-1} (I (G)) = 0}$.^[1][3]

3. В число господства из грамм, обозначенный ${ displaystyle gamma (G)}$, - минимальная мощность доминирующий набор of G - множество S такое, что каждая вершина V S смежна с вершиной S. Обратите внимание, что ${ Displaystyle гамма _ {0} (G) geq gamma (G)}$. Если грамм это хордовый граф и ${ Displaystyle gamma (G)> к}$ тогда ${ Displaystyle { тильда {H}} _ {k-1} (I (G)) = 0}$.^[4]

4. индуцированный номер соответствия из грамм, обозначенный ${ Displaystyle му (G)}$, - наибольшая мощность индуцированное соответствие в грамм - соответствие, которое включает каждое ребро, соединяющее любые две вершины в подмножестве. Если существует подмножество А из V такой, что ${ Displaystyle гамма _ {0} (G, A)> к + мин [к, му (G [A])]}$ тогда ${ Displaystyle { тильда {H}} _ {k-1} (I (G)) = 0}$.^[5] Это обобщение свойств 1 и 2 выше.

5. недоминантный комплекс независимости группы G, обозначаемой I '(грамм), является абстрактным симплициальным комплексом независимых множеств, не являющихся доминирующие наборы из грамм. Очевидно, я '(грамм) содержится в I (грамм); обозначим карту включения через ${ displaystyle i: I '(G) to I (G)}$. Если грамм это хордовый граф то индуцированное отображение ${ displaystyle i _ {*}: { tilde {H}} _ {k} (I '(G)) to { tilde {H}} _ {k} (I (G))}$ равен нулю для всех ${ Displaystyle к geq -1}$.^[1]:Thm.1.4 Это обобщение свойства 3 выше.

6. дробное число звездного господства группы G, обозначаемой ${ Displaystyle gamma _ {s} ^ {*} (G)}$, - минимальный размер дробного звездно-доминирующего множества в грамм. Если ${ displaystyle gamma _ {s} ^ {*} (G)> k}$ тогда ${ displaystyle { tilde {H}} _ {k-1} (I (G)) = 0}$.^[1]:Thm.1.5

Связанные понятия

Игра Мешулама это игра на графике грамм, который можно использовать для вычисления нижней границы гомологическая связность комплекса независимости грамм.

В соответствующий комплекс графа грамм, обозначим M (грамм), является абстрактным симплициальным комплексом совпадения в грамм. Это комплекс независимости линейный график из грамм.^[6][7]

В (м,п) -шахматный комплекс согласовывающий комплекс на полном двудольном графе K_м,_п. Это абстрактный симплициальный комплекс всех наборов позиций на м-к-п шахматная доска, на который можно положить грачи без угрозы друг другу.^[8][9]

В кликовый комплекс группы G - комплекс независимости дополнительный граф из грамм.

Смотрите также

• Независимый от радуги набор

Рекомендации