Гомологическая связь - Homological connectivity

В алгебраическая топология, гомологическая связность - свойство, описывающее топологическое пространство на основе его группы гомологии. Это свойство родственное, но более общее, чем свойства графическое соединение и топологическая связность. Существует множество определений гомологической связности топологического пространства. Икс.^[1]

Определения

Основные определения

Икс является гомологически связанный если его 0-я группа гомологий равна Z, т.е. ${ displaystyle H_ {0} (X) cong mathbb {Z}}$, или, что то же самое, его 0-й пониженная гомология группа банальный: ${ Displaystyle { тильда {H_ {0}}} (X) cong 0}$. Когда Икс является графом и его набором связанные компоненты является C, ${ Displaystyle Н_ {0} (Х) cong mathbb {Z} ^ {| C |}}$ и ${ Displaystyle { тильда {H_ {0}}} (X) cong mathbb {Z} ^ {| C | -1}}$ (видеть гомология графов подробнее). Следовательно, гомологическая связность эквивалентна графу, имеющему одну компоненту связности, что эквивалентно графическое соединение. Это похоже на понятие связанное пространство.

Икс является гомологически односвязный если она гомологически связна и, кроме того, ее 1-я группа гомологий тривиальна, т. е. ${ displaystyle H_ {1} (X) cong 0}$.^[1] Когда Икс является связным графом с множеством вершин V и кромка E, ${ Displaystyle Н_ {1} (Х) cong mathbb {Z} ^ {| E | - | V | +1}}$. Следовательно, гомологическая 1-связность эквивалентна тому, что граф является дерево. Неформально это соответствует Икс не имеющий одномерных «дыр», что аналогично понятию односвязное пространство.

В общем, для любого целого k, Икс является гомологически k-связный если его редуцированные группы гомологий порядка 0, 1, ..., k все тривиально. Заметим, что приведенная группа гомологий равна группе гомологий для 1, ..., k (отличается только 0-я редуцированная группа гомологий).

В гомологическая связность из Икс, обозначается conn_ЧАС(X), является наибольшим k для которого Икс гомологически k-связаны. Если все приведенные группы гомологий Икс тривиальны, то conn_ЧАС(X) определяется как бесконечность. С другой стороны, если все редуцированные группы гомологий нетривиальны, то conn_ЧАС(X) определяется как -1.

Варианты

Некоторые авторы определяют гомологическую связность, сдвинутую на 2, т. Е. ${ displaystyle eta _ {H} (X): = { text {conn}} _ {H} (X) +2}$.^[2]

Основное определение рассматривает группы гомологий с целыми коэффициентами. Рассмотрение групп гомологии с другими коэффициентами приводит к другим определениям связности. Например, Икс является F₂-гомологически односвязный если его 1-я группа гомологий с коэффициентами из F₂ (циклическое поле размера 2) тривиально, то есть: ${ Displaystyle Н_ {1} (Х; mathbb {F} _ {2}) cong 0}$.

Гомологическая связь в определенных пространствах

Гомологическая связность была рассчитана для различных пространств, в том числе:

• В комплекс независимости графа;^[3][4]
• Случайный двумерный симплициальный комплекс;^[1]
• Случайный k-мерный симплициальный комплекс;^[5]
• Случайный гиперграф;^[6]
• Случайный Чешский комплекс.^[7]

Смотрите также

Игра Мешулама это игра на графике грамм, который можно использовать для вычисления нижней границы гомологическая связность комплекса независимости грамм.

Рекомендации