Топологическое свойство - Topological property

В топология и смежные области математика, а топологическое свойство или же топологический инвариант является собственностью топологическое пространство который инвариантный под гомеоморфизмы. То есть свойство пространств является топологическим свойством, если всякий раз, когда пространство Икс этим свойством обладает каждое пространство, гомеоморфное Икс обладает этим свойством. Неформально топологическое свойство - это свойство пространства, которое можно выразить с помощью открытые наборы.

Распространенная проблема в топологии - решить, являются ли два топологических пространства гомеоморфный или нет. Чтобы доказать, что два пространства нет гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, которое они не разделяют.

Общие топологические свойства

Кардинальные функции

В мощность |Икс| пространства Икс.
Мощность ${ displaystyle vert}$ τ(Икс) ${ displaystyle vert}$ топологии пространства Икс.
Масса ш(Икс), наименьшая мощность основа топологии пространства Икс.
Плотность d(Икс), наименьшая мощность подмножества Икс закрытие которого Икс.

Разделение

Обратите внимание, что некоторые из этих терминов определены по-другому в более ранней математической литературе; видеть история аксиом разделения.

Т₀ или же Колмогоров. Пространство Колмогоров если для каждой пары различных точек Икс и у в пространстве существует хотя бы одно открытое множество, содержащее Икс но нет у, или открытый набор, содержащий у но нет Икс.
Т₁ или же Фреше. Пространство Фреше если для каждой пары различных точек Икс и у в пространстве есть открытый набор, содержащий Икс но нет у. (Сравните с T₀; здесь нам разрешено указать, какая точка будет содержаться в открытом наборе.) Эквивалентно, пространство - это T₁ если все его одиночки закрыты. Т₁ пробелы всегда T₀.
Трезвый. Пространство трезвый если каждое неприводимое замкнутое множество C имеет уникальную общую точку п. Другими словами, если C не является (возможно, неразделенным) объединением двух меньших замкнутых подмножеств, то существует п так что закрытие {п} равно C, и п единственная точка с этим свойством.
Т₂ или же Хаусдорф. Пространство Хаусдорф если каждые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Т₂ пробелы всегда T₁.
Т_2½ или же Урысон. Пространство Урысон если каждые две различные точки не пересекаются закрыто окрестности. Т_2½ пробелы всегда T₂.
Полностью Т₂ или же полностью Хаусдорф. Пространство полностью T₂ если каждые две различные точки разделены функцией. Всякое полностью хаусдорфово пространство - это Урысон.
Обычный. Пространство обычный если когда-нибудь C замкнутое множество и п это точка не в C, тогда C и п иметь непересекающиеся окрестности.
Т₃ или же Обычный Хаусдорф. Пространство обычный хаусдорф если это правильный T₀ Космос. (Регулярное пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно является T₀, поэтому терминология последовательный.)
Полностью обычный. Пространство полностью обычный если когда-нибудь C замкнутое множество и п это точка не в C, тогда C и {п} находятся разделены функцией.
Т_3½, Тихонов, Полностью регулярный Хаусдорф или же Полностью Т₃. А Тихоновское пространство является вполне регулярным T₀ Космос. (Полностью регулярное пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно является T₀, поэтому терминология непротиворечива.) Тихоновские пространства всегда регулярны по Хаусдорфу.
Нормальный. Пространство нормальный если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. Нормальные пространства допускают разделы единства.
Т₄ или же Нормальный Хаусдорф. Нормальное пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно является T₁. Нормальные хаусдорфовы пространства всегда тихоновы.
Совершенно нормально. Пространство совершенно нормально если любые два разделенных набора имеют непересекающиеся окрестности.
Т₅ или же Совершенно нормальный Хаусдорф. Совершенно нормальное пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно является T₁. Совершенно нормальные хаусдорфовы пространства всегда нормальные хаусдорфовы.
Совершенно нормально. Пространство совершенно нормально если любые два непересекающихся замкнутых множества точно разделены функцией. Совершенно нормальное пространство также должно быть совершенно нормальным.
Т₆ или же Совершенно нормальный Хаусдорф, или же отлично Т₄. Пространство совершенно нормальный Хаусдорф, если оно одновременно совершенно нормально и T₁. Совершенно нормальное хаусдорфово пространство также должно быть полностью нормальным хаусдорфовым.
Дискретное пространство. Пространство дискретный если все его точки полностью изолированы, т.е. если какое-либо подмножество открыто.
Количество изолированных точек. Количество изолированные точки топологического пространства.

Условия счетности

Отделяемый. Пространство отделяемый если у него есть счетный плотное подмножество.
С первым счетом. Пространство исчисляемый первым если каждая точка имеет счетный местная база.
Второй счет. Пространство счетный если у него есть счетный база для его топологии. Пространства с подсчетом до второго всегда сепарабельны, со счётом до первого и по Линделёфу.

Связность

Связаны. Пространство связаны если это не объединение пары непересекающихся непустых открытых множеств. Точно так же пространство связано, если только Clopen наборы являются пустым множеством и самим собой.
Локально подключен. Пространство локально связанный если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из связанных множеств.
Полностью отключен. Пространство полностью отключен если у него нет связанного подмножества с более чем одной точкой.
Связанный по пути. Пространство Икс является соединенный путём если за каждые два очка Икс, у в Икс, есть путь п из Икс к у, т.е. непрерывное отображение п: [0,1] → Икс с п(0) = Икс и п(1) = у. Связанные пути пространства всегда связаны.
Локально подключено по пути. Пространство локально соединенный путём если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из линейно связанных множеств. Пространство с локальной линейной связью связано тогда и только тогда, когда оно связано с линейной связью.
С дугой. Пространство Икс является дуговой если за каждые два очка Икс, у в Икс, есть дуга ж из Икс к у, т.е. инъективный непрерывная карта ж: [0,1] → Икс с п(0) = Икс и п(1) = у. Пространства, связанные с дугой, связаны между собой путями.
Просто подключено. Пространство Икс является односвязный если он связан по путям и каждая непрерывная карта ж: S¹ → Икс является гомотопный к постоянной карте.
Локально просто подключено. Пространство Икс является локально односвязный если каждая точка Икс в Икс имеет локальную базу кварталов U это просто связано.
Полу-локально односвязный. Пространство Икс является полулокально односвязный если каждая точка имеет локальную базу окрестностей U такой, что каждый зациклиться U может быть заключен в Икс. Полулокальная простая связность, строго более слабое условие, чем локальная простая связность, является необходимым условием для существования универсальный чехол.
Сжимаемый. Пространство Икс является стягиваемый если карта идентичности на Икс гомотопно постоянному отображению. Сжимаемые пространства всегда односвязны.
Гиперподключен. Пространство сверхсвязанный если никакие два непустых открытых множества не пересекаются. Каждое сверхсвязанное пространство связано.
Сверхсвязанный. Пространство сверхсвязанный если никакие два непустых замкнутых множества не пересекаются. Каждое сверхсвязанное пространство связано путями.
Бездискретный или же банальный. Пространство недискретный если единственные открытые множества - это пустой набор и он сам. Говорят, что такое пространство имеет тривиальная топология.

Компактность

Компактный. Пространство компактный если каждый открытая крышка имеет конечный прикрытие. Некоторые авторы называют эти пространства квазикомпактный и зарезервировать компакт для Хаусдорф пространства, в которых каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. Компактные пространства всегда линделёфские и паракомпактные. Поэтому компактные хаусдорфовы пространства нормальны.
Последовательно компактный. Пространство последовательно компактный если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
Счетно компактный. Пространство счетно компактный если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.
Псевдокомпактный. Пространство псевдокомпактный если всякая непрерывная вещественнозначная функция на пространстве ограничена.
σ-компактный. Пространство σ-компактный если это объединение счетного числа компактных подмножеств.
Линделёф. Пространство Линделёф если на каждой открытой обложке есть счетный под прикрытием.
Паракомпакт. Пространство паракомпакт если каждое открытое покрытие имеет открытое локально конечное измельчение. Паракомпактные хаусдорфовы пространства нормальны.
Локально компактный. Пространство локально компактный если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из компактных окрестностей. Также используются несколько иные определения. Локально компактные хаусдорфовы пространства всегда тихоновы.
Ультраподключенный компактный. В сверхсвязном компактном пространстве Икс каждая открытая крышка должна содержать Икс сам. Непустые сверхсвязные компактные пространства имеют наибольшее собственное открытое подмножество, называемое монолит.

Метризуемость

Метризуемый. Пространство метризуемый если он гомеоморфен метрическое пространство. Метризуемые пространства всегда хаусдорфовы и паракомпактны (а значит, нормальны и тихоновы) и имеют счетность в первом приближении. Более того, топологическое пространство (X, T) называется метризуемым, если существует метрика для X такая, что метрическая топология T (d) совпадает с топологией T.
Польский. Пространство называется Польский если он метризуем с отделимой и полной метрикой.
Локально метризуемый. Пространство локально метризуемо, если каждая точка имеет метризуемую окрестность.

Разное

Пространство Бэра. Пространство Икс это Пространство Бэра если это не скудный в себе. Эквивалентно, Икс является пространством Бэра, если пересечение счетного числа плотных открытых множеств плотно.
Топологическая однородность. Пространство Икс есть (топологически) однородный если для каждого Икс и у в Икс есть гомеоморфизм ж : Икс → Икс такой, что ж(Икс) = у. Интуитивно говоря, это означает, что пространство выглядит одинаково во всех точках. Все топологические группы однородны.
Конечно порожденный или же Александров. Пространство Икс является Александров если произвольные пересечения открытых множеств в Икс открыты, или, что то же самое, если произвольные объединения замкнутых множеств замкнуты. Это именно те конечно порожденный члены категория топологических пространств и непрерывные карты.
Нульмерный. Пространство нульмерный если он имеет основу из закрытых наборов. Это как раз пространства с небольшим индуктивный размер из 0.
Почти дискретный. Пространство почти дискретный если каждое открытое множество закрыто (следовательно, открыто). Почти дискретные пространства - это в точности конечно порожденные нульмерные пространства.
Булево. Пространство Булево если он нульмерный, компактный и хаусдорфовый (то есть полностью несвязный, компактный и хаусдорфовый). Это как раз те пространства, которые гомеоморфны пространству Каменные пространства из Булевы алгебры.
Кручение Рейдемейстера
${ displaystyle kappa}$ -разрешимый. Говорят, что пространство κ-разрешимо^[1] (соответственно: почти κ-разрешимый), если он содержит κ плотных множеств, которые попарно не пересекаются (соответственно: почти не пересекаются над идеалом нигде не плотных подмножеств). Если места нет ${ displaystyle kappa}$ -разрешимой, то она называется ${ displaystyle kappa}$ -неразрешимо.
Максимально разрешимый. Космос ${ displaystyle X}$ максимально разрешимо, если оно ${ Displaystyle Delta (X)}$ -разрешимый, где ${ displaystyle Delta (X) = min {| G |: G neq emptyset, G { mbox {открыт}} }}$ . Число ${ Displaystyle Delta (X)}$ называется дисперсионным характером ${ displaystyle X}$ .
Сильно дискретный. Набор ${ displaystyle D}$ является сильно дискретным подмножеством пространства ${ displaystyle X}$ если точки в ${ displaystyle D}$ могут быть разделены попарно непересекающимися окрестностями. Космос ${ displaystyle X}$ называется сильно дискретной, если каждая неизолированная точка ${ displaystyle X}$ это точка накопления некоторого сильно дискретного множества.

Смотрите также

Библиография

Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. p. 369. ISBN 9780486434797.

[1] Юхас, Иштван; Соукуп, Лайош; Сентмиклоши, Золтан (2008). «Разрешимость и монотонная нормальность». Израильский математический журнал. 166 (1): 1–16. arXiv:математика / 0609092. Дои:10.1007 / s11856-008-1017-у. ISSN 0021-2172.

[1]