Набор дельта - Delta set

В математике Δ-множество S, часто называемый полусимплициальное множество, это комбинаторный объект, который пригодится в строительстве и триангуляция из топологические пространства, а также при вычислении связанных алгебраические инварианты таких пространств. Δ-множество несколько более общее, чем симплициальный комплекс, но не столь общий, как симплициальный набор.

В качестве примера предположим, что мы хотим триангулировать одномерный круг. ${displaystyle S ^ {1}}$. Чтобы сделать это с симплициальным комплексом, нам нужны как минимум две вершины (например, одна вверху и одна внизу) и два ребра, соединяющих их. Но дельта-наборы допускают более простую триангуляцию: думать о ${displaystyle S ^ {1}}$ как интервал [0,1] с двумя идентифицированными конечными точками, мы можем определить триангуляцию с одной вершиной 0 и одним ребром, петляющим между 0 и 0.

Определение и связанные данные

Формально Δ-множество это последовательность множеств ${displaystyle {S_ {n}} _ {n = 0} ^ {infty}}$ вместе с картами

${displaystyle d_ {i} двоеточие S_ {n + 1} стрелка S_ {n}}$

с ${displaystyle i = 0,1, ldots, n + 1}$ за ${displaystyle ngeq 1}$ это удовлетворяет

${displaystyle d_ {i} circ d_ {j} = d_ {j-1} circ d_ {i}}$

в любое время ${displaystyle i$.

Это определение обобщает понятие симплициального комплекса, где ${displaystyle S_ {n}}$ наборы п-симплексы и ${displaystyle d_ {i}}$ карты лиц. Это не такое общее, как симплициальное множество, поскольку в нем отсутствуют «вырожденности».

Для заданных Δ-множеств S и Т, а отображение Δ-множеств представляет собой набор карт множеств

${displaystyle {f_ {n} двоеточие S_ {n} ightarrow T_ {n}} _ {n = 0} ^ {infty}}$

такой, что

${displaystyle f_ {n} circ d_ {i} = d_ {i} circ f_ {n + 1}}$

всякий раз, когда определены обе части уравнения. С помощью этого понятия мы можем определить категория Δ-множеств, объекты которого являются ∆-множествами, а морфизмы - отображениями ∆-множеств.

Каждому Δ-множеству соответствует геометрическая реализация, определяется как

${displaystyle | S | = left (coprod _ {n = 0} ^ {infty} S_ {n} imes Delta ^ {n} ight) / _ {sim}}$

где мы заявляем, что

${displaystyle (sigma, d ^ {i} t) sim (d_ {i} sigma, t) quad {ext {for all}} сигма в S_ {n}, олово Delta ^ {n-1}.}$

Здесь, ${displaystyle Delta ^ {n}}$ обозначает стандарт п-суплекс, и

${displaystyle d ^ {i} двоеточие Delta ^ {n-1} ightarrow Delta ^ {n}}$

это включение я-я грань. Геометрическая реализация - это топологическое пространство с факторная топология.

Геометрическая реализация Δ-множества S имеет естественный фильтрация

${displaystyle | S | _ {0} subset | S | _ {1} subset cdots subset | S |,}$

куда

${displaystyle | S | _ {N} = left (coprod _ {n = 0} ^ {N} S_ {n} imes Delta ^ {n} ight) / _ {sim}}$

является «ограниченной» геометрической реализацией.

Связанные функторы

Описанная выше геометрическая реализация Δ-множества определяет ковариантную функтор из категории Δ-множеств в категорию топологических пространств. Геометрическая реализация переводит Δ-множество в топологическое пространство и переносит отображения Δ-множеств в индуцированные непрерывные отображения между геометрическими реализациями.

Если S является Δ-множеством, существует ассоциированный свободный абелев цепной комплекс, обозначенный ${displaystyle (mathbb {Z} S, частично)}$, чей п-я группа - это свободная абелева группа

${displaystyle (mathbb {Z} S) _ {n} = mathbb {Z} langle S_ {n} angle,}$

генерируется множеством ${displaystyle S_ {n}}$, и чья п-й дифференциал определяется

${displaystyle partial _ {n} = d_ {0} -d_ {1} + d_ {2} -cdots + (- 1) ^ {n} d_ {n}.}$

Это определяет ковариантный функтор из категории Δ-множеств в категорию цепных комплексов абелевых групп. Δ-множество переносится в только что описанный цепной комплекс, а отображение Δ-множеств переносится в карту цепных комплексов, которая определяется расширением карты Δ-множеств стандартным способом с использованием универсальная собственность свободных абелевых групп.

Учитывая любое топологическое пространство Икс, можно построить ∆-множество ${displaystyle mathrm {петь} (X)}$ следующее. Исключительный п-симплекс в Икс это непрерывное отображение

${displaystyle сигма двоеточие Delta ^ {n} ightarrow X.}$

Определять

${displaystyle mathrm {Sing} _ {n} ^ {} (X)}$

быть собранием всего единственного п-простоты в Икс, и определим

${displaystyle d_ {i} двоеточие mathrm {петь} _ {i + 1} (X) ightarrow mathrm {Sing} _ {i} (X)}$

к

${displaystyle d_ {i} (sigma) = sigma circ d ^ {i},}$

где снова ${displaystyle d ^ {i}}$ это ${displaystyle i}$-я карта лица. Можно проверить, что это на самом деле Δ-множество. Это определяет ковариантный функтор из категории топологических пространств в категорию Δ-множеств. Топологическое пространство переносится на только что описанное Δ-множество, а непрерывное отображение пространств переносится на отображение Δ-множеств, которое задается составлением карты с особым п-симплексы.

Пример

Этот пример иллюстрирует конструкции, описанные выше. Мы можем создать Δ-множество S геометрической реализацией которого является единичный круг ${displaystyle S ^ {1}}$, и использовать его для вычисления гомология этого пространства. Думать о ${displaystyle S ^ {1}}$ как интервал с определенными конечными точками, определите

${displaystyle S_ {0} = {v}, quad S_ {1} = {e},}$

с ${displaystyle S_ {n} = varnothing}$ для всех ${displaystyle ngeq 2}$. Единственно возможные карты ${displaystyle d_ {0}, d_ {1} двоеточие S_ {1} ightarrow S_ {0},}$ находятся

${displaystyle d_ {0} (e) = d_ {1} (e) = v.quad}$

Несложно проверить, что это Δ-множество и что ${displaystyle | S | cong S ^ {1}}$. Теперь связанный цепной комплекс ${displaystyle (mathbb {Z} S, частично)}$ является

${displaystyle 0longrightarrow mathbb {Z} langle eangle {stackrel {partial _ {1}} {longrightarrow}} mathbb {Z} langle vangle longrightarrow 0,}$

куда

${displaystyle partial _ {1} (e) = d_ {0} (e) -d_ {1} (e) = v-v = 0.}$

Фактически, ${displaystyle partial _ {n} = 0}$ для всех п. Гомологии этого цепного комплекса также просто вычислить:

${displaystyle H_ {0} (mathbb {Z} S) = {frac {ker partial _ {0}} {mathrm {im} partial _ {1}}} = mathbb {Z} langle vangle cong mathbb {Z},}$

${displaystyle H_ {1} (mathbb {Z} S) = {frac {ker partial _ {1}} {mathrm {im} partial _ {2}}} = mathbb {Z} langle eangle cong mathbb {Z}.}$

Все остальные группы гомологий, очевидно, тривиальны.

За и против

Одним из преимуществ такого использования Δ-множеств является то, что результирующий цепной комплекс, как правило, намного проще, чем особый цепной комплекс. Для достаточно простых пространств все группы будут конечно порожденными, тогда как особые цепные группы, вообще говоря, даже не счетно порождены.

Одним из недостатков этого метода является то, что необходимо доказать, что геометрическая реализация Δ-множества на самом деле гомеоморфный к рассматриваемому топологическому пространству. Это может стать вычислительной проблемой по мере увеличения сложности Δ-набора.

Смотрите также

• Симплициальные комплексы
• Симплициальные множества
• Особые гомологии

Рекомендации

• Фридман, Грег (2012). «Обзорная статья: элементарное иллюстрированное введение в симплициальные множества». Журнал математики Роки-Маунтин. 42 (2): 353–423. arXiv:0809.4221. Дои:10.1216 / rmj-2012-42-2-353. МИСТЕР  2915498.
• Раники, Эндрю А. (1993). Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF). Кембриджские трактаты по математике. 102. Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  978-0-521-42024-2.
• Раники, Андрей; Вайс, Майкл (2012). «Об алгебраической L-теории Δ-множеств». Чистая и прикладная математика Ежеквартально. 8 (2): 423–450. arXiv:math.AT/0701833. Дои:10.4310 / pamq.2012.v8.n2.a3. МИСТЕР  2900173. Cite имеет пустой неизвестный параметр: |1= (помощь)
• Рурк, Колин П.; Сандерсон, Брайан Дж. (1971). «Δ-множества I: теория гомотопии». Ежеквартальный журнал математики. 22 (3): 321–338. Bibcode:1971QJMat..22..321R. Дои:10.1093 / qmath / 22.3.321.