Категория метрических пространств - Category of metric spaces

В теория категорий, Встретились это категория который имеет метрические пространства как его объекты и метрические карты (непрерывный функции между метрическими пространствами, которые не увеличивают попарное расстояние) как его морфизмы. Это категория, потому что сочинение двух метрических карт снова является метрической картой. Впервые он был рассмотрен Исбелл (1964).

Стрелки

В мономорфизмы в Встретились являются инъективный метрические карты. В эпиморфизмы - метрические карты, для которых домен карты имеет плотный образ в ассортимент. В изоморфизмы являются изометрии, т.е. метрические карты, которые инъективны, сюръективный, и сохранение расстояния.

Например, включение рациональное число в действительные числа является мономорфизмом и эпиморфизмом, но, очевидно, не изоморфизмом; этот пример показывает, что Встретились это не сбалансированная категория.

Объекты

В пустой метрическое пространство - это исходный объект из Встретились; Любые одиночка метрическое пространство - это конечный объект. Поскольку исходный объект и конечные объекты различаются, нет нулевые объекты в Встретились.

В инъективные объекты в Встретились называются инъективные метрические пространства. Инъективные метрические пространства были впервые введены и изучены Ароншайн и Паничпакди (1956), до изучения Встретились как категория; они также могут быть определены внутренне в терминах Хелли недвижимость их метрических шаров, и из-за этого альтернативного определения Ароншайн и Паничпакди назвали эти пространства гипервыпуклые пространства. Любое метрическое пространство имеет наименьшее инъективное метрическое пространство, в которое оно может быть изометрически встроенный, называется его метрической оболочкой или тесный промежуток.

Продукты и функторы

В товар конечного набор метрических пространств в Встретились - метрическое пространство, имеющее декартово произведение пространств как его точек; расстояние в пространстве продукта определяется супремум расстояний в базовых пространствах. То есть это показатель продукта с sup norm. Однако продукт бесконечного набора метрических пространств может не существовать, потому что расстояния в базовых пространствах могут не иметь супремума. Это, Встретились это не полная категория, но он конечно полный. Здесь нет сопродукт в Встретились.

В забывчивый функтор Встретились → Набор присваивает каждому метрическому пространству базовый набор точек и назначает каждой метрической карте лежащую в основе теоретико-множественную функцию. Этот функтор верный, и поэтому Встретились это конкретная категория.

Связанные категории

Встретились это не единственная категория, объектами которой являются метрические пространства; другие включают категорию равномерно непрерывные функции, категория Липшицевы функции и категория квазилипшицевы отображения. Метрические отображения являются как равномерно непрерывными, так и липшицевыми, с константой Липшица не более единицы.

использованная литература

• Ароншайн, Н.; Паничпакди, П. (1956), «Расширения равномерно непрерывных преобразований и гипервыпуклые метрические пространства», Тихоокеанский математический журнал, 6 (3): 405–439, Дои:10.2140 / pjm.1956.6.405.
• Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2009), "Категория метрических пространств", Энциклопедия расстояний, Springer-Verlag, стр. 38, ISBN  9783642002342.
• Исбелл, Дж. Р. (1964), «Шесть теорем об инъективных метрических пространствах», Комментарий. Математика. Helv., 39 (1): 65–76, Дои:10.1007 / BF02566944, S2CID  121857986.