Метрика продукта - Product metric

В математика, а показатель продукта это метрика на Декартово произведение конечного числа метрические пространства ${displaystyle (X_ {1}, d_ {X_ {1}}), ldots, (X_ {n}, d_ {X_ {n}})}$ который метризует топологию продукта. Наиболее заметными показателями продукта являются п показатели продукта для фиксированного ${displaystyle pin [1, infty]}$ : Он определяется как п норма из п-вектор расстояний, измеренных в п подпространства:

${displaystyle d_ {p} ((x_ {1}, ldots, x_ {n}), (y_ {1}, ldots, y_ {n})) = | слева (d_ {X_ {1}} (x_ {1 }, y_ {1}), ldots, d_ {X_ {n}} (x_ {n}, y_ {n}) ight) | _ {p}}$

За ${displaystyle p = infty}$ эта метрика также называется sup-метрикой:

${displaystyle d_ {infty} ((x_ {1}, ldots, x_ {n}), (y_ {1}, ldots, y_ {n})): = max left {d_ {X_ {1}} (x_ { 1}, y_ {1}), ldots, d_ {X_ {n}} (x_ {n}, y_ {n}) ight}.}$

Выбор нормы

За Евклидовы пространства, используя L₂ норма порождает евклидову метрику в пространстве произведения; однако любой другой выбор п приведет к топологически эквивалентному метрическому пространству. в категория метрических пространств (с отображениями Липшица, имеющими константу Липшица 1), продукт (в смысле теории категорий) использует метрику sup.

Случай римановых многообразий

За Римановы многообразия ${displaystyle (M_ {1}, g_ {1})}$ и ${displaystyle (M_ {2}, g_ {2})}$, то показатель продукта ${displaystyle g = g_ {1} oplus g_ {2}}$ на ${displaystyle M_ {1} imes M_ {2}}$ определяется

${displaystyle g (X_ {1} + X_ {2}, Y_ {1} + Y_ {2}) = g_ {1} (X_ {1}, Y_ {1}) + g_ {2} (X_ {2} , Г_ {2})}$

за ${displaystyle X_ {i}, Y_ {i} в T_ {p_ {i}} M_ {i}}$ под естественной идентификацией ${displaystyle T _ {(p_ {1}, p_ {2})} (M_ {1} imes M_ {2}) = T_ {p_ {1}} M_ {1} oplus T_ {p_ {2}} M_ {2 }}$.

Рекомендации

• Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2009), Энциклопедия расстояний, Springer-Verlag, стр. 83.
• Ли, Джон (1997), Римановы многообразия, Springer Verlag, ISBN  978-0-387-98322-6.