Инъективное метрическое пространство - Injective metric space

В метрическая геометрия, инъективное метрическое пространство, или эквивалентно гипервыпуклое метрическое пространство, это метрическое пространство с некоторыми свойствами, обобщающими свойства реальной линии и L∞ расстояния в многомерном векторные пространства. Эти свойства могут быть определены двумя, казалось бы, разными способами: гипервыпуклость включает свойства пересечения замкнутых шаров в пространстве, а инъективность включает изометрические вложения пространства в большие пространства. Однако это теорема Ароншайна и Паничпакди (1956; см. например Чепой 1997 ), что эти два разных типа определений эквивалентны.

Гипервыпуклость

Метрическое пространство Икс как говорят гипервыпуклый если это выпуклый и его закрытый мячи иметь двоичный Хелли недвижимость. То есть,

  1. любые две точки Икс и у могут быть связаны изометрическое изображение отрезка, длина которого равна расстоянию между точками (т.е. Икс - пространство путей), и
  2. если F есть любое семейство замкнутых шаров
такая, что каждая пара шаров в F встретиться, то существует точка Икс общий для всех мячей в F.

Равнозначно, если набор точек пя и радиусы ря > 0 удовлетворяет ря + рj ≥ d(пя,пj) для каждого я и j, то есть точка q метрического пространства на расстоянии ря каждого пя.

Приемистость

А втягивание метрического пространства Икс это функция ƒ отображение Икс в собственное подпространство, такое что

  1. для всех Икс, ƒ(ƒ(Икс)) = ƒ(Икс); то есть, ƒ это функция идентичности на его изображении (т. е. это идемпотент ), и
  2. для всех Икс и у, d(ƒ(Икс), ƒ(у)) ≤ d(Икс, у); то есть, ƒ является нерасширяющий.

А втягивать пространства Икс является подпространством Икс то есть изображение ретракции. метрическое пространствоИкс как говорят инъективный если, когда Икс является изометрический в подпространствоZ пространстваY, это подпространство Z это отказ отY.

Примеры

Примеры гипервыпуклых метрических пространств включают

Из-за эквивалентности гипервыпуклости и инъективности все эти пространства также инъективны.

Характеристики

В инъективном пространстве радиус минимальный мяч который содержит любой набор S равно половине диаметр из S. Это следует из того, что шары радиуса в половину диаметра с центрами в точках S, попарно пересекаются и, следовательно, по гипервыпуклости имеют общее пересечение; шар радиусом в половину диаметра с центром в точке этого общего пересечения содержит все S. Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют особенно сильной форме Теорема Юнга.

Каждое инъективное пространство является полное пространство (Ароншайн и Паничпакди 1956 ), и каждый метрическая карта (или, что то же самое, нерасширяющая карта или короткая карта ) на ограниченном инъективном пространстве имеет фиксированная точка (Синус 1979; (Соарди 1979 )). Метрическое пространство инъективно тогда и только тогда, когда оно является инъективный объект в категория из метрические пространства и метрические карты. Дополнительные свойства инъективных пространств см. Эспинола и Хамси (2001).

Рекомендации