Теоремы Ратнерса - Википедия - Ratners theorems

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, Теоремы Ратнера являются группой основных теорем в эргодическая теория относительно унипотентных потоков на однородные пространства доказано Марина Ратнер примерно в 1990 году. Эти теоремы выросли из более ранних работ Ратнера по потоки орициклов. Исследование динамики унипотентных потоков сыграло решающую роль в доказательстве Гипотеза Оппенгейма к Григорий Маргулис. Теоремы Ратнера привели к ключевым достижениям в понимании динамики унипотентных потоков. Их более поздние обобщения предоставляют способы как уточнить результаты, так и распространить теорию на случай произвольных полупростые алгебраические группы через местное поле.

Краткое описание

В Теорема Ратнера о замыкании орбиты утверждает, что замыкания орбит унипотентных потоков на факторгруппе Ли по решетке являются хорошими геометрическими подмножествами. В Теорема Ратнера о равнораспределении далее утверждает, что каждая такая орбита равнораспределена в своем замыкании. В Теорема классификации меры Ратнера является более слабым утверждением, что каждая эргодическая инвариантная вероятностная мера однородна, или алгебраический: это оказывается важным шагом на пути к доказательству более общего свойства равнораспределения. Не существует универсального согласия по названиям этих теорем: они известны по разному как «теорема жесткости меры», «теорема об инвариантных мерах» и ее «топологическая версия» и так далее.

Формально такой результат формулируется следующим образом. Позволять ${ displaystyle G}$ быть Группа Ли, ${ Displaystyle { mathit { Gamma}}}$ а решетка в ${ displaystyle G}$, и ${ Displaystyle и ^ {т}}$ а однопараметрическая подгруппа из ${ displaystyle G}$ состоящий из всесильный элементы, с соответствующими поток ${ displaystyle phi _ {t}}$ на ${ Displaystyle { mathit { Gamma}} setminus G}$. Затем закрытие каждой орбиты ${ Displaystyle влево {хи ^ {т} вправо }}$ из ${ displaystyle phi _ {t}}$ однородна. Это означает, что существует связаны, замкнутая подгруппа ${ displaystyle S}$ из ${ displaystyle G}$ такое, что изображение орбиты ${ Displaystyle , xS ,}$ за действие ${ displaystyle S}$ по правильным переводам на ${ displaystyle G}$ в канонической проекции на ${ Displaystyle { mathit { Gamma}} setminus G}$ замкнуто, имеет конечную ${ displaystyle S}$-инвариантная мера и содержит замыкание ${ displaystyle phi _ {t}}$-орбита ${ displaystyle x}$ как плотное подмножество.

Пример: ${ Displaystyle SL_ {2} ( mathbb {R})}$

Простейший случай, к которому применимо приведенное выше утверждение, - это ${ Displaystyle G = SL_ {2} ( mathbb {R})}$. В этом случае он принимает следующий более явный вид; позволять ${ displaystyle Gamma}$ быть решеткой в ${ Displaystyle SL_ {2} ( mathbb {R})}$ и ${ displaystyle F subset Gamma backslash G}$ замкнутое подмножество, инвариантное относительно всех отображений ${ Displaystyle Гамма г mapsto Гамма (гу_ {т})}$ куда ${ displaystyle u_ {t} = { begin {pmatrix} 1 & t 0 & 1 end {pmatrix}}}$. Тогда либо существует ${ displaystyle x in Gamma backslash G}$ такой, что ${ Displaystyle F = xU}$ (куда ${ displaystyle U = {u_ {t}, t in mathbb {R} }}$) или же ${ displaystyle F = Gamma backslash G}$.

В геометрическом плане ${ displaystyle Gamma}$ кофинитный Фуксова группа, поэтому частное ${ Displaystyle M = Gamma обратная косая черта mathbb {H} ^ {2}}$ из гиперболическая плоскость к ${ displaystyle Gamma}$ гиперболический орбифолд конечного объема. Из приведенной выше теоремы следует, что каждое орицикл из ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ есть изображение в ${ displaystyle M}$ которая является либо замкнутой кривой (орициклом вокруг куспид из ${ displaystyle M}$) или плотно в ${ displaystyle M}$.

Смотрите также

• Теорема о равнораспределении

Рекомендации

Экспозиции

• Моррис, Дэйв Витте (2005). Теоремы Ратнера об унипотентных потоках (PDF). Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-53984-3. МИСТЕР  2158954.
• Айнзидлер, Манфред (2009). "Что такое ... мера жесткости?" (PDF). Уведомления AMS. 56 (5): 600–601.

Избранные оригинальные статьи

• Ратнер, Марина (1990). «Жесткость строгой меры для унипотентных подгрупп разрешимых групп». Изобретать. Математика. 101 (2): 449–482. Дои:10.1007 / BF01231511. МИСТЕР  1062971.
• Ратнер, Марина (1990). «О мерной жесткости унипотентных подгрупп полупростых групп». Acta Math. 165 (1): 229–309. Дои:10.1007 / BF02391906. МИСТЕР  1075042.
• Ратнер, Марина (1991). "О гипотезе меры Рагхунатана". Анна. математики. 134 (3): 545–607. Дои:10.2307/2944357. МИСТЕР  1135878.
• Ратнер, Марина (1991). «Топологическая гипотеза Рагхунатана и распределения унипотентных потоков». Duke Math. Дж. 63 (1): 235–280. Дои:10.1215 / S0012-7094-91-06311-8. МИСТЕР  1106945.
• Ратнер, Марина (1993). "Гипотезы Рагхунатана для p-адических групп Ли". Уведомления о международных математических исследованиях (5): 141–146. Дои:10.1155 / S1073792893000145. МИСТЕР  1219864.
• Ратнер, Марина (1995). «Гипотезы Рагхунатана для декартовых произведений вещественных и p-адических групп Ли». Duke Math. Дж. 77 (2): 275–382. Дои:10.1215 / S0012-7094-95-07710-2. МИСТЕР  1321062.
• Маргулис, Григорий А.; Томанов, Жорж М. (1994). «Инвариантные меры для действий унипотентных групп над локальными полями на однородных пространствах». Изобретать. Математика. 116 (1): 347–392. Дои:10.1007 / BF01231565. МИСТЕР  1253197.