Теорема равнораспределения - Википедия - Equidistribution theorem

Иллюстрация заполнения единичного интервала (горизонтальная ось) первым п члены, использующие теорему о равнораспределении с четырьмя общими иррациональными числами, для п от 0 до 999 (вертикальная ось). 113 различных полос для

π

обусловлены близостью его значения к рациональному числу 355/113. Точно так же 7 различных групп связаны с

π

приблизительно 22/7.
(щелкните для подробного просмотра)

В математика, то теорема о равнораспределении утверждение, что последовательность

а, 2а, 3а, ... мод 1

является равномерно распределены на круг ${ Displaystyle mathbb {R} / mathbb {Z}}$ , когда а является иррациональный номер. Это частный случай эргодическая теорема где берется нормализованная угловая мера ${ displaystyle mu = { frac {d theta} {2 pi}}}$ .

История

Хотя эта теорема была доказана в 1909 и 1910 годах отдельно по Герман Вейль, Вацлав Серпинский и Пирс Бол, варианты этой теоремы продолжают изучаться по сей день.

В 1916 году Вейль доказал, что последовательность а, 2²а, 3²а, ... mod 1 равномерно распределен на единичном интервале. В 1935 г. Иван Виноградов доказал, что последовательность п_п а mod 1 равномерно распределен, где п_п это пth основной. Доказательство Виноградова было побочным продуктом странная гипотеза Гольдбаха, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел.

Джордж Биркофф, в 1931 г. и Александр Хинчин в 1933 г. доказал, что обобщение Икс + на, за почти все Икс, равнораспределена на любом Измеримый по Лебегу подмножество единичного интервала. Соответствующие обобщения результатов Вейля и Виноградова доказаны Жан Бургейн в 1988 г.

В частности, Хинчин показал, что личность

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} f ((x + ka) { bmod {1}}) = int _ {0} ^ {1} f (y) , dy}

касается почти всех Икс и любой интегрируемой по Лебегу функции ƒ. В современных формулировках задается вопрос, при каких условиях идентичность

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} f ((x + b_ {k} a) { bmod { 1}}) = int _ {0} ^ {1} f (y) , dy}

мог бы держаться, учитывая некоторые общие последовательность б_k.

Один заслуживающий внимания результат состоит в том, что последовательность 2^kа mod 1 равномерно распределен почти для всех, но не для всех иррациональных а. Аналогично для последовательности б_k = 2^kа, для каждого иррационального а, и почти все Икс, существует функция ƒ, для которой сумма расходится. В этом смысле эта последовательность считается универсально плохая последовательность усреднения, в отличие от б_k = k, который называется универсально хорошая последовательность усреднения, потому что у него нет последнего недостатка.

Мощный общий результат Критерий Вейля, который показывает, что эквираспределение эквивалентно наличию нетривиальной оценки для экспоненциальные суммы формируется с последовательностью как экспоненты. В случае кратных а, Критерий Вейля сводит задачу к суммированию конечных геометрическая серия.

Теорема равнораспределения - Википедия - Equidistribution theorem

Содержание

История

Смотрите также

Рекомендации

Исторические ссылки

Современные ссылки