Центральный продукт - Central product

В математика, особенно в области теория групп, то центральный продукт это один из способов создания группа из двух меньших групп. Центральный продукт похож на прямой продукт, но в центральном продукте два изоморфный центральный подгруппы меньших групп объединяются в единую центральную подгруппу продукта. Центральные продукты являются важной конструкцией и могут использоваться, например, для классификации особые группы.

Определение

Существует несколько взаимосвязанных, но различных понятий центрального продукта. Аналогично прямой продукт, существуют как внутренние, так и внешние характеристики, и, кроме того, существуют варианты того, насколько строго контролируется пересечение факторов.

Группа грамм является внутренний центральный продукт двух подгрупп ЧАС, K если (1) грамм генерируется ЧАС и K и (2) каждый элемент ЧАС коммутирует с каждым элементом K (Горенштейн 1980, п. 29). Иногда более строгое требование ЧАС ∩ K точно равна центру, как в (Лидхэм-Грин и Маккей 2002, п. 32). Подгруппы ЧАС и K называются центральными факторами грамм.

В внешний центральный продукт состоит из двух групп ЧАС и K, две подгруппы ЧАС₁ ≤ Z (ЧАС), K₁ ≤ Z (K) и групповой изоморфизм θ:ЧАС₁ → K₁. Внешний центральный продукт - это частное от прямого продукта. ЧАС × K нормальной подгруппой N = { ( час, k ) : час в ЧАС₁, k в K₁, и θ(час)⋅k = 1 }, (Горенштейн 1980, п. 29). Иногда более строгое требование ЧАС₁ = Z (ЧАС) и K₁ = Z (K) накладывается, как в (Лидхэм-Грин и Маккей 2002, п. 32).

Внутренний центральный продукт изоморфен внешнему центральному продукту с ЧАС₁ = K₁ = ЧАС ∩ K и θ личность. Внешний центральный продукт - это внутренний центральный продукт образов ЧАС × 1 и 1 × K в фактор-группе ${displaystyle (H imes K) / N}$. Это показано для каждого определения в (Горенштейн 1980, п. 29) и (Лидхэм-Грин и Маккей 2002 С. 32–33).

Обратите внимание, что внешний центральный продукт, как правило, не определяется его факторами. ЧАС и K один. Тип изоморфизма центрального произведения будет зависеть от изоморфизма θ. Однако он хорошо определяется в некоторых заметных ситуациях, например, когда ЧАС и K оба конечны дополнительные специальные группы и ${displaystyle H_ {1} = Z (H)}$ и ${displaystyle K_ {1} = Z (K)}$.

Примеры

• В Группа Паули является центральным продуктом циклическая группа ${displaystyle C_ {4}}$ и группа диэдра ${displaystyle D_ {4}}$.
• Каждый особая группа является центральным продуктом дополнительных специальных групп заказа п³.
• Слой конечной группы, т. Е. Подгруппа, порожденная всеми субнормальный квазипростые подгруппы, является центральным произведением квазипростых групп по Горенштейну.

Приложения

В теория представлений центральных продуктов очень похожа на теорию представления прямых продуктов, и поэтому хорошо понимается, (Горенштейн 1980, Гл. 3.7).

Центральные произведения встречаются во многих структурных леммах, таких как (Горенштейн 1980, п. 350, лемма 10.5.5), который используется в Джордж Глауберман результат, что конечные группы, допускающие Кляйн четыре группы автоморфизмов без неподвижных точек разрешимый.

Рекомендации

• Горенштейн, Даниэль (1980), Конечные группы, Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-0301-6, МИСТЕР  0569209
• Лидхэм-Грин, К.; Маккей, Сьюзан (2002), Структура групп первичного степенного порядка, Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 27, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853548-5, МИСТЕР  1918951