В математика, а полугруппа с двумя элементами это полугруппа для чего мощность из базовый набор два. Их ровно пять отчетливый неизоморфный полугруппы, состоящие из двух элементов:
- О2, то нулевая полугруппа второго порядка,
- LO2 и РО2, то полугруппа левых нулей второго порядка и полугруппа правых нулей второго порядка соответственно
- ({0,1}, ∧) (где "∧" - логическая связка "и "), или, что то же самое, множество {0,1} при умножении: единственный полурешетка с двумя элементами и единственной ненулевой полугруппой с нуль второго порядка, также моноид, и в конечном итоге двухэлементная булева алгебра,
- (Z2, +2) (где Z2 = {0,1} и "+2"является" сложением по модулю 2 ") или, что эквивалентно ({0,1},) (где" ⊕ "- логическая связка"xor "), или, что то же самое, множество {−1,1} при умножении: единственное группа второго порядка.
Полугруппы LO2 и РО2 находятся антиизоморфный. О2, ({0,1}, ∧) и (Z2, +2) находятся коммутативный, и LO2 и РО2 некоммутативны. LO2, RO2 и ({0,1}, ∧) находятся группы а также инверсные полугруппы.
Определение полугрупп с двумя элементами
Выбор набора А = { 1, 2 } как базовый набор, состоящий из двух элементов, шестнадцать бинарные операции можно определить в А. Эти операции показаны в таблице ниже. В таблице матрица формы
указывает на двоичную операцию на А имея следующие Стол Кэли.
Список бинарных операций в {1, 2} | | | |
| Нулевая полугруппа O2 | ≡ Полугруппа ({0,1},  ) | 2·(1·2) = 2, (2·1)·2 = 1 | Полугруппа левых нулей LO2 |
| | | |
| 2·(1·2) = 1, (2·1)·2 = 2 | Полугруппа правых нулей RO2 | ≡ Группа (Z2, +2) | ≡ Полугруппа ({0,1}, ) |
| | | |
| 1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1 | ≡ Группа (Z2, +2) | 1·(1·1) = 1, (1·1)·1 = 2 | 1·(2·1) = 1, (1·2)·1 = 2 |
| | | |
| 1·(1·1) = 2, (1·1)·1 = 1 | 1·(2·1) = 2, (1·2)·1 = 1 | 1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1 | Нулевая полугруппа O2 |
В этой таблице:
- Полугруппа ({0,1}, ) обозначает двухэлементную полугруппу, содержащую нулевой элемент 0 и элемент единицы 1. Две бинарные операции, определяемые матрицами на зеленом фоне, являются ассоциативными и объединяются либо с А создает полугруппу, изоморфную полугруппе ({0,1}, ). Каждый элемент идемпотент в этой полугруппе, так что это группа. Кроме того, он коммутативен (абелев) и, следовательно, полурешетка. В заказ вызван это линейный порядок, так что это фактически решетка и это также распределительный и дополненная решетка, т.е. фактически это двухэлементная булева алгебра.
- Две бинарные операции, определяемые матрицами на синем фоне, являются ассоциативными и объединяются либо с А создает полугруппу, изоморфную нулевая полугруппа О2 с двумя элементами.
- Бинарная операция, определяемая матрицей на оранжевом фоне, является ассоциативной и объединяет ее с А создает полугруппу. Это полугруппа левых нулей LO2. Это не коммутативно.
- Бинарная операция, определяемая матрицей на фиолетовом фоне, является ассоциативной и объединяет ее с А создает полугруппу. Это полугруппа правых нулей RO2. Он также не коммутативен.
- Две бинарные операции, определенные матрицами на красном фоне, являются ассоциативными и объединяются либо с А создает полугруппу, изоморфную группа (Z2, +2).
- Остальные восемь бинарные операции определены матрицами на белом фоне не ассоциативный и, следовательно, ни один из них не создает полугруппу в паре с А.
Двухэлементная полугруппа ({0,1}, ∧)
В Стол Кэли для полугруппы ({0,1}, ) приведено ниже:
| | 0 | 1 |
|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
Это простейший нетривиальный пример полугруппы, не являющейся группой. Эта полугруппа имеет единичный элемент 1, что делает ее моноид. Он также коммутативен. Это не группа, потому что элемент 0 не имеет инверсии, и даже не является сокращающейся полугруппой, потому что мы не можем сократить 0 в уравнении 1 · 0 = 0 · 0.
Эта полугруппа возникает в разных контекстах. Например, если мы выберем 1 в качестве значение истины "истинный "и 0, чтобы быть значение истины "ложный "и операция будет логическая связка "и ", мы получаем эту полугруппу в логика. Он изоморфен моноиду {0,1} относительно умножения. Он также изоморфен полугруппе
под матричное умножение.[1]
Двухэлементная полугруппа (Z2,+2)
В Стол Кэли для полугруппы (Z2,+2) приведено ниже:
Эта группа изоморфна группе циклическая группа Z2 и симметричная группа S2.
Полугруппы порядка 3
Позволять А - трехэлементный набор {1, 2, 3}. Всего 39 = 19683 различных бинарных операции могут быть определены на А. 113 из 19683 бинарных операций определяют 24 неизоморфные полугруппы, или 18 неэквивалентных полугрупп (с эквивалентностью, являющейся изоморфизмом или антиизоморфизмом). [2] За исключением группа из трех элементов, каждая из них имеет одну (или несколько) двухэлементных полугрупп, указанных выше, в качестве подполугрупп.[3] Например, множество {−1,0,1} при умножении является полугруппой порядка 3 и содержит как подполугруппы, так и {0,1} и {−1,1}.
Конечные полугруппы высших порядков
Разработаны алгоритмы и компьютерные программы для определения неизоморфных конечных полугрупп заданного порядка. Они были применены для определения неизоморфных полугрупп малого порядка.[3][4][5] Число неизоморфных полугрупп с п элементы, для п неотрицательное целое число, указано в OEIS: A027851 в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. OEIS: A001423 перечисляет количество неэквивалентных полугрупп, а OEIS: A023814 количество ассоциативных бинарных операций из общего числа пп2, определяя полугруппу.
Смотрите также
Рекомендации
