Группа (алгебра) - Band (algebra)

В математика, а группа (также называется идемпотентная полугруппа) это полугруппа в котором каждый элемент идемпотент (другими словами равняется своему квадрату). Группы впервые были изучены и названы А. Х. Клиффорд  (1954 ); то решетка из разновидности групп была описана независимо в начале 1970-х Бирюковым, Феннемором и Герхардом.^[1] Полурешетки, полосы левого нуля, полосы правого нуля, прямоугольные полосы, нормальные группы, левые регулярные полосы, правильные регулярные полосы и регулярные группыОсобый интерес представляют конкретные подклассы полос, лежащих около дна этой решетки, и они кратко описаны ниже.

Разновидности лент

Класс лент образует разнообразие если она замкнута относительно образования подполугрупп, гомоморфные образы и прямой продукт. Каждую разновидность полос можно определить одним определение личности.^[2]

Полурешетки

Полурешетки точно коммутативный группы; то есть это полосы, удовлетворяющие уравнению

• ху = yx для всех Икс и y.

Нулевые полосы

А левая нулевая полоса полоса, удовлетворяющая уравнению

• ху = Икс,

откуда его Стол Кэли имеет постоянные строки.

Симметрично полоса правого нуля один удовлетворительный

• ху = y,

так что таблица Кэли имеет постоянные столбцы.

Прямоугольные ленты

А прямоугольная полоса это группа S это удовлетворяет

• xyx = Икс для всех Икс, y ∈ S,

или эквивалентно,

• xyz = xz для всех Икс, y, z ∈ S,

Вторая характеристика явно подразумевает первую, и, наоборот, первая подразумевает xyz = ху(zxz) = (Икс(yz)Икс)z = xz.

Существует полная классификация прямоугольных лент. Для произвольных множеств я и J можно определить полугрупповую операцию на я × J установив

${displaystyle (i, j) cdot (k, ell) = (i, ell),}$

Полученная полугруппа представляет собой прямоугольную ленту, поскольку

1. для любой пары (я, j) у нас есть (я, j) · (я, j) = (я, j)
2. для любых двух пар (я_Икс, j_Икс), (я_y, j_y) у нас есть

${displaystyle (i_ {x}, j_ {x}) cdot (i_ {y}, j_ {y}) cdot (i_ {x}, j_ {x}) = (i_ {x}, j_ {x})}$

Фактически, любая прямоугольная лента изоморфный в одну из приведенных выше форм (либо ${displaystyle S}$ пусто, или выберите любой элемент ${displaystyle ein S}$, а потом (${displaystyle smapsto (se, es)}$) определяет изоморфизм ${displaystyle Scong Se imes eS}$). Полосы с нулевым левым и правым нулем являются прямоугольными полосами, и фактически каждая прямоугольная полоса изоморфна прямому произведению полосы левого нуля и полосы правого нуля. Все прямоугольные ленты простого порядка являются нулевыми лентами, либо левыми, либо правыми. Прямоугольная лента называется чисто прямоугольной, если она не является полосой с нулевым левым или правым нулем.^[3]

В категоричный языке, можно сказать, что категория непустых прямоугольных лент эквивалент к ${displaystyle mathrm {Set} _ {eq emptyset} imes mathrm {Set} _ {eq emptyset}}$, где ${displaystyle mathrm {Set} _ {eq emptyset}}$ - категория с непустыми множествами как объектами и функциями как морфизмами. Это означает, что не только каждая непустая прямоугольная лента изоморфна полосе, исходящей из пары множеств, но также эти множества однозначно определены с точностью до канонического изоморфизма, и все гомоморфизмы между полосами происходят из пар функций между множествами.^[4] Если набор я пусто в приведенном выше результате, прямоугольная полоса я × J не зависит от J, и наоборот. Вот почему приведенный выше результат дает эквивалентность только между непустыми прямоугольными полосами и парами непустых множеств.

Прямоугольные ленты также являются Т-алгебры, где Т это монада на Набор с участием Т(Икс)=Икс×Икс, Т(ж)=ж×ж, ${displaystyle eta _ {X}}$ будучи диагональной картой ${displaystyle X o X imes X}$, и ${displaystyle mu _ {X} ((x_ {11}, x_ {12}), (x_ {21}, x_ {22})) = (x_ {11}, x_ {22})}$.

Нормальные полосы

А нормальная группа это группа S удовлетворение

• zxyz = zyxz для всех Икс, y, и z ∈ S.

Это то же уравнение, которое используется для определения средние магмы, и поэтому нормальная полоса также может быть названа средней полосой, а нормальные полосы являются примерами медиальных магм.^[3]Мы также можем сказать нормальная группа это группа S удовлетворение

• axyb = ayxb для всех а, б, Икс, и y ∈ S.

Лево-регулярные полосы

А левая регулярная полоса это группа S удовлетворение

• ху = ху для всех Икс, y  ∈ S

Если взять полугруппу и определить а ≤ б если и только если ab = b, получаем частичный заказ тогда и только тогда, когда эта полугруппа является левой регулярной связкой. Таким образом, левые регулярные полосы естественным образом проявляются при изучении позы.^[5]

Правые регулярные полосы

А правый регулярный диапазон это группа S удовлетворение

• xyx = yx для всех Икс, y  ∈ S

Любая правая регулярная полоса превращается в левую регулярную полосу с использованием противоположного произведения. Действительно, у каждого разнообразия групп есть «противоположная» версия; это приводит к отражательной симметрии на рисунке ниже.

Регулярные группы

А регулярная группа это группа S удовлетворение

• zxzyz = zxyz для всех Икс, y, z ∈ S

Решетка разновидностей

Решетка разновидностей правильных лент.

Когда частично заказанный по включению многообразия лент естественным образом образуют решетка, в котором пересечение двух разновидностей является их пересечением, а соединение двух разновидностей - наименьшим многообразием, содержащим их обе. Полная структура этой решетки известна; в частности, это счетный, полный, и распределительный.^[1] Подрешетка, состоящая из 13 разновидностей регулярных лент, показана на рисунке. Многообразия зон левых нулей, полурешеток и правых нулей - это три атома (нетривиальные минимальные элементы) этой решетки.

Каждая разновидность полос, показанная на рисунке, определяется только одним идентификатором. Это не случайно: на самом деле, каждый разнообразие полос может быть определено одной идентичностью.^[1]

Смотрите также

• Логическое кольцо, кольцо, в котором каждый элемент (мультипликативно) идемпотентен
• Нигде коммутативная полугруппа
• Специальные классы полугрупп
• Православная полугруппа
• Обратимый клеточный автомат § Одномерные автоматы

Заметки

использованная литература

• Бирюков, А. П. (1970), "Многообразия идемпотентных полугрупп", Алгебра и логика, 9 (3): 153–164, Дои:10.1007 / BF02218673.
• Браун, Кен (2000), «Полугруппы, кольца и цепи Маркова», J. Теорет. Вероятно., 13: 871–938, arXiv:математика / 0006145, Bibcode:2000математика ...... 6145B.
• Клиффорд, Альфред Хоблитцель (1954), «Полосы полугрупп», Труды Американского математического общества, 5: 499–504, Дои:10.1090 / S0002-9939-1954-0062119-9, Г-Н  0062119.
• Клиффорд, Альфред Хоблитцель; Престон, Гордон Бэмфорд (1972), Алгебраическая теория полугрупп, Москва: Мир.
• Феннемор, Чарльз (1970), «Все разновидности полос», Полугруппа Форум, 1 (1): 172–179, Дои:10.1007 / BF02573031.
• Герхард, Дж. А. (1970), "Решетка эквациональных классов идемпотентных полугрупп", Журнал алгебры, 15 (2): 195–224, Дои:10.1016/0021-8693(70)90073-6, HDL:10338.dmlcz / 128238.
• Gerhard, J. A .; Петрич, Марио (1989), «Переосмысление разнообразия групп», Труды Лондонского математического общества, 3: 323–350, Дои:10.1112 / плмс / с3-58.2.323.
• Хауи, Джон М. (1995), Основы теории полугрупп, Oxford U. Press, ISBN  978-0-19-851194-6.
• Надь, Аттила (2001), Специальные классы полугрупп, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-6890-8.
• Ямада, Миюки (1971), "Замечание об исключительных полугруппах", Полугруппа Форум, 3 (1): 160–167, Дои:10.1007 / BF02572956.