Бипродукт - Википедия - Biproduct

В теория категорий и его приложения к математика, а побочный продукт конечного набора объекты, в категория с нулевые объекты, является как товар и сопродукт. В предаддитивная категория понятия продукта и копродукции совпадают для конечных наборов объектов.^[1] Бипроизведение является обобщением конечных прямые суммы модулей.

Определение

Позволять C быть категория с нулевые морфизмы. Учитывая конечный (возможно, пустой) набор объектов А₁, ..., А_п в C, их побочный продукт является объект ${ textstyle A_ {1} oplus dots oplus A_ {n}}$ в C вместе с морфизмы

• ${ textstyle p_ {k} !: A_ {1} oplus dots oplus A_ {n} to A_ {k}}$ в C (в проекция морфизмы)
• ${ textstyle i_ {k} !: A_ {k} to A_ {1} oplus dots oplus A_ {n}}$ (в встраивание морфизмы)

удовлетворение

• ${ textstyle p_ {k} circ i_ {k} = 1_ {A_ {k}}}$, тождественный морфизм ${ displaystyle A_ {k},}$ и
• ${ textstyle p_ {l} circ i_ {k} = 0}$, то нулевой морфизм ${ displaystyle A_ {k} to A_ {l},}$ за ${ Displaystyle к neq l,}$

и такой, что

• ${ textstyle left (A_ {1} oplus dots oplus A_ {n}, p_ {k} right)}$ это товар для ${ textstyle A_ {k},}$ и
• ${ textstyle left (A_ {1} oplus dots oplus A_ {n}, i_ {k} right)}$ это сопродукт для ${ textstyle A_ {k}.}$

В предаддитивных категориях эти последние два условия следуют из остальной части определения, когда п> 0.^[2] Пустой или нулевой, продукт всегда конечный объект в категории, а пустой копродукт всегда исходный объект в категории. Таким образом, пустой или нулевой побочный продукт всегда является нулевой объект.

Примеры

В категории абелевы группы, бипродукты всегда существуют и задаются прямая сумма.^[3] Нулевой объект - это тривиальная группа.

Точно так же бипродукты существуют в категория векторных пространств через поле. Двойное произведение снова является прямой суммой, а нулевой объект - это тривиальное векторное пространство.

В более общем смысле, побочные продукты существуют в категория модулей через звенеть.

С другой стороны, побочные продукты не существуют в категория групп.^[4] Здесь продукт - это прямой продукт, но побочным продуктом является бесплатный продукт.

Кроме того, в категория наборов. Для продукта задается Декартово произведение, в то время как сопродукт дается несвязный союз. В этой категории нет нулевого объекта.

Блочная матрица алгебра опирается на двойные произведения в категориях матрицы.^[5]

Характеристики

Если побочный продукт ${ textstyle A oplus B}$ существует для всех пар объектов А и B в категории C, и C имеет нулевой объект, то все конечные бипроизведения существуют, что делает C как Декартова моноидальная категория и ко-декартова моноидальная категория.

Если продукт ${ textstyle A_ {1} times A_ {2}}$ и побочный продукт ${ textstyle A_ {1} coprod A_ {2}}$ оба существуют для некоторой пары объектов А₁, А₂ то есть уникальный морфизм ${ textstyle f: A_ {1} coprod A_ {2} to A_ {1} times A_ {2}}$ такой, что

• ${ displaystyle p_ {k} circ f circ i_ {k} = 1_ {A_ {k}}, (k = 1,2)}$
• ${ displaystyle p_ {l} circ f circ i_ {k} = 0}$ за ${ textstyle к neq l.}$^{[требуется разъяснение ]}

Следовательно, двойное произведение ${ textstyle A_ {1} oplus A_ {2}}$ существует тогда и только тогда, когда ж является изоморфизм.

Если C это предаддитивная категория, то каждое конечное произведение является бипроизведением, и каждое конечное копроизведение является бипроизведением. Например, если ${ textstyle A_ {1} times A_ {2}}$ существует, то существуют единственные морфизмы ${ textstyle i_ {k}: от A_ {k} до A_ {1} times A_ {2}}$ такой, что

• ${ displaystyle p_ {k} circ i_ {k} = 1_ {A_ {k}}, (k = 1,2)}$
• ${ displaystyle p_ {l} circ i_ {k} = 0}$ за ${ textstyle к neq l.}$

Чтобы увидеть это ${ textstyle A_ {1} times A_ {2}}$ теперь также является копроизведением и, следовательно, двупродуктом, предположим, что у нас есть морфизмы ${ textstyle f_ {k}: от A_ {k} до X, k = 1,2}$ для какого-то объекта ${ textstyle X}$. Определять ${ textstyle f: = f_ {1} circ p_ {1} + f_ {2} circ p_ {2}.}$ потом ${ textstyle f}$ это морфизм из ${ textstyle A_ {1} times A_ {2}}$ к ${ textstyle X}$, и ${ textstyle f circ i_ {k} = f_ {k}}$ за ${ textstyle k = 1,2}$.

В этом случае у нас всегда есть

• ${ textstyle i_ {1} circ p_ {1} + i_ {2} circ p_ {2} = 1_ {A_ {1} times A_ {2}}.}$

An аддитивная категория это предаддитивная категория в котором существуют все конечные бипроизведения. В частности, всегда есть побочные продукты в абелевы категории.

Рекомендации

• Борсё, Фрэнсис (2008). Справочник категориальной алгебры. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-06122-3.