Циклический порядок - Cyclic order

DC8.png

В математика, а циклический порядок это способ расположить набор объектов в круг.[nb] В отличие от большинства структур в теория порядка, циклический заказ не моделируется как бинарное отношение, Такие как "а < б". Нельзя сказать, что восток" больше по часовой стрелке ", чем запад. Вместо этого, циклический порядок определяется как тернарное отношение [а, б, c], что означает "после а, один достигает б перед c". Например, [июнь, октябрь, февраль]. Тернарное отношение называется циклическим порядком, если оно циклический, асимметричный, переходный и тотальный. Отказ от «общего» требования приводит к частичный циклический порядок.

А набор с циклическим порядком называется циклически упорядоченный набор или просто цикл.[nb] Некоторые знакомые циклы дискретны, имеют только конечное число из элементы: там семь дни недели, четыре стороны света, двенадцать нот в хроматическая шкала, и три пьесы в камень ножницы Бумага. В конечном цикле каждый элемент имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент». Существуют также непрерывно изменяемые циклы с бесконечным числом элементов, например ориентированные единичный круг в плоскости.

Циклические заказы тесно связаны с более привычными линейные порядки, которые размещают объекты в линия. Любой линейный порядок можно согнуть в круг, а любой циклический порядок можно разрезать в точке, в результате чего получится линия. Эти операции, наряду с соответствующими конструкциями интервалов и покрывающих карт, означают, что вопросы о циклических порядках часто можно преобразовать в вопросы о линейных порядках. У циклов больше симметрий, чем у линейных порядков, и они часто встречаются естественным образом как остатки линейных структур, как в конечные циклические группы или реальная проективная линия.

Конечные циклы

5-элементный цикл

Циклический порядок на множестве Икс с п элементы похожи на расположение Икс на циферблате, для п-часовые часы. Каждый элемент Икс в Икс имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент», и взятие преемников или предшественников циклически проходит ровно один раз по элементам, как Икс(1), Икс(2), ..., Икс(п).

Есть несколько эквивалентных способов сформулировать это определение. Циклический порядок на Икс это то же самое, что и перестановка что делает все Икс в один цикл. Цикл с п элементы также Zп-торсор: набор со свободной переходной действие по конечная циклическая группа.[1] Другая формулировка - сделать Икс в стандарт граф ориентированного цикла на п вершины, некоторым соответствием элементов вершинам.

Может быть инстинктивно использовать циклические приказы для симметричные функции, например как в

ху + yz + zx

где пишут финал одночлен в качестве xz отвлекает от узора.

Существенное использование циклических порядков заключается в определении классы сопряженности из бесплатные группы. Два элемента грамм и час свободной группы F на съемочной площадке Y сопряжены тогда и только тогда, когда они записываются как произведения элементов у и у−1 с у в Y, а затем эти продукты располагаются в циклическом порядке, циклические порядки эквивалентны переписывание правила, позволяющие удалять или добавлять соседние у и у−1.

Циклический порядок на множестве Икс определяется линейным порядком на Икс, но не уникальным способом. Выбор линейного порядка эквивалентен выбору первого элемента, поэтому есть ровно п линейные порядки, которые индуцируют данный циклический порядок. Поскольку есть п! возможных линейных порядков, есть (п − 1)! возможные циклические заказы.

Определения

An бесконечный набор также можно заказывать циклически. Важные примеры бесконечных циклов включают единичный круг, S1, а рациональное число, Q. Основная идея та же: элементы набора расставляем по кругу. Однако в бесконечном случае мы не можем полагаться на отношение непосредственного преемника, потому что точки могут не иметь преемников. Например, для данной точки на единичной окружности нет «следующей точки». Мы также не можем полагаться на бинарное отношение, чтобы определить, какая из двух точек окажется «первой». Путешествуя по кругу по часовой стрелке, ни восток, ни запад не идут первыми, но они следуют друг за другом.

Вместо этого мы используем тернарное отношение, обозначающее, что элементы а, б, c происходят друг за другом (не обязательно сразу) по мере того, как мы идем по кругу. Например, по часовой стрелке [восток, юг, запад]. К карри аргументы тернарного отношения [а, б, c], можно представить себе циклический порядок как однопараметрическое семейство отношений двоичного порядка, называемых порезы, или как двухпараметрическое семейство подмножеств K, называется интервалы.

Тернарное отношение

Общее определение таково: циклический порядок на множестве Икс это отношение C ⊂ Икс3, написано [а, б, c], который удовлетворяет следующим аксиомам:[nb]

  1. Цикличность: если [а, б, c] тогда [б, c, а]
  2. Асимметрия: если [а, б, c] тогда не [c, б, а]
  3. Транзитивность: если [а, б, c] и [а, c, d] тогда [а, б, d]
  4. Тотальность: Если а, б, и c различны, то либо [а, б, c] или же [c, б, а]

Аксиомы названы по аналогии с асимметрия, транзитивность, и совокупность аксиомы для бинарного отношения, которые вместе определяют строгий линейный порядок. Эдвард Хантингтон  (1916, 1924 ) рассмотрел другие возможные списки аксиом, в том числе один список, который должен был подчеркнуть сходство между циклическим порядком и отношение промежуточности. Тернарное отношение, удовлетворяющее первым трем аксиомам, но не обязательно аксиоме тотальности, является частичный циклический порядок.

Прокатка и порезы

Учитывая линейный порядок < на съемочной площадке Икс, циклический порядок на Икс индуцированный < определяется следующим образом:[2]

[а, б, c] если и только если а < б < c или же б < c < а или же c < а < б

Два линейных порядка индуцируют один и тот же циклический порядок, если они могут быть преобразованы друг в друга циклической перестановкой, как вразрезать колоду карт.[3] Отношение циклического порядка можно определить как тернарное отношение, индуцированное строгим линейным порядком, как указано выше.[4]

Вырезание одной точки из циклического порядка оставляет позади линейный порядок. Точнее, для циклически упорядоченного множества (K, [ ]), каждый элемент а ∈ K определяет естественный линейный порядок <а на оставшейся части набора, K ∖ а, по следующему правилу:[5]

Икс <а у если и только если [а, Икс, у].

Более того, <а может быть расширен путем присоединения а как наименьший элемент; полученный линейный порядок на K называется главным разрезом с наименьшим элементом а. Точно так же прилегающие а как самый большой элемент приводит к разрезанию <а.[6]

Интервалы

Учитывая два элемента а ≠ б ∈ K, то открытый интервал из а к б, написано (а, б), это набор всех Икс ∈ K такой, что [а, Икс, б]. Система открытых интервалов полностью определяет циклический порядок и может использоваться как альтернативное определение отношения циклического порядка.[7]

Интервал (а, б) имеет естественный линейный порядок, задаваемый <а. Можно определить полузакрытые и замкнутые интервалы. [а, б), (а, б], и [а, б] путем присоединения а как наименьший элемент и / или б как величайший элемент.[8] В частном случае открытый интервал (а, а) определяется как разрез K ∖ а.

В общем, правильное подмножество S из K называется выпуклый если он содержит интервал между каждой парой точек: для а ≠ б ∈ S, либо (а, б) или же (б, а) также должен быть в S.[9] Выпуклое множество линейно упорядочено разрезом <Икс для любого Икс нет в комплекте; этот порядок не зависит от выбора Икс.

Автоморфизмы

Поскольку у круга есть по часовой стрелке порядок и порядок против часовой стрелки, любой набор с циклическим порядком имеет два чувства. А биекция множества, сохраняющего порядок, называется заказная переписка. Если чувство сохраняется, как прежде, это прямая переписка, иначе он называется противоположное соответствие.[10] Кокстер использует разделительное отношение для описания циклического порядка, и эта связь достаточно сильна, чтобы различать два смысла циклического порядка. В автоморфизмы циклически упорядоченного множества можно отождествить с C2, двухэлементная группа прямого и противоположного соответствий.

Монотонные функции

Идея «циклический порядок = расположение по кругу» работает, потому что любой подмножество цикла - это сам по себе цикл. Чтобы использовать эту идею для наложения циклических порядков на множествах, которые на самом деле не являются подмножествами единичной окружности на плоскости, необходимо учитывать функции между сетами.

Функция между двумя циклически упорядоченными множествами, ж : Икс → Y, называется монотонная функция или гомоморфизм если он отменяет заказ на Y: в любое время [ж(а), ж(б), ж(c)], надо [а, б, c]. Эквивалентно, ж монотонно, если всякий раз [а, б, c] и ж(а), ж(б), и ж(c) все различны, то [ж(а), ж(б), ж(c)]. Типичным примером монотонной функции является следующая функция в цикле с 6 элементами:

ж(0) = ж(1) = 4,
ж(2) = ж(3) = 0,
ж(4) = ж(5) = 1.

Функция называется встраивание если он одновременно монотонный и инъективный.[nb] Эквивалентно, встраивание - это функция, которая продвигает упорядочение на Икс: в любое время [а, б, c], надо [ж(а), ж(б), ж(c)]. В качестве важного примера, если Икс является подмножеством циклически упорядоченного множества Y, и Икс дан его естественный порядок, то карта включения я : Икс → Y это вложение.

Обычно инъективная функция ж из неупорядоченного набора Икс к циклу Y индуцирует единственный циклический порядок на Икс что делает ж вложение.

Функции на конечных множествах

Циклический порядок на конечном множестве Икс можно определить инъекцией в единичный круг, Икс → S1. Есть много возможных функций, которые индуцируют один и тот же циклический порядок - фактически бесконечно много. Чтобы количественно оценить эту избыточность, требуется более сложный комбинаторный объект, чем простое число. Изучение конфигурационное пространство всех таких отображений приводит к определению (п − 1)-размерный многогранник известный как циклоэдр. Циклоэдры впервые были применены для изучения инварианты узлов;[11] в последнее время они были применены для экспериментального обнаружения периодически выражается гены в изучении биологические часы.[12]

Категория гомоморфизмов стандартных конечных циклов называется циклическая категория; это может быть использовано для построения Ален Конн ' циклическая гомология.

Можно определить степень функции между циклами, аналогично степень непрерывного отображения. Например, естественная карта из круг пятых к хроматический круг является отображением степени 7. Можно также определить номер вращения.

Завершение

  • Отрезок с наименьшим и наибольшим элементом называется Прыгать. Например, каждый разрез конечного цикла Zп это прыжок. Цикл без прыжков называется плотный.[13][14]
  • Разрез без наименьшего или наибольшего элемента называется зазор. Например, рациональные числа Q иметь пробел в каждом иррациональном числе. У них тоже есть зазор на бесконечности, т.е. обычная упорядоченность. Цикл без пропусков называется полный.[15][14]
  • Разрез с ровно одной конечной точкой называется главный или же Дедекинд резать. Например, каждый разрез круга S1 это главный разрез. Цикл, в котором каждый разрез является главным, плотным и полным, называется непрерывный.[16][14]
[<1, <2, <3] и [Икс, у, z]

Множество всех разрезов циклически упорядочено следующим соотношением: [<1, <2, <3] тогда и только тогда, когда существуют Икс, у, z такой, что:[17]

Икс <1 у <1 z,
Икс <1у <2 z <2 Икс, и
Икс <1 у <1z <3 Икс <3 у.

Определенным подмножеством этого цикла разрезов является Дедекиндовое завершение оригинального цикла.

Дальнейшие конструкции

Раскрутка и чехлы

Начиная с циклически упорядоченного набора K, можно сформировать линейный порядок, развернув его по бесконечной прямой. Это отражает интуитивное представление о том, сколько раз человек обходит круг. Формально определяется линейный порядок на Декартово произведение Z × K, куда Z это набор целые числа, закрепив элемент а и требуя этого для всех я:[18]

Если [а, Икс, у], тогда ая < Икся < уя < ая + 1.

Например, январь 2020 года, май 2020 года, сентябрь 2020 года и январь 2021 года происходят в таком порядке.

Этот порядок Z × K называется универсальный чехол из K.[nb] Его тип заказа не зависит от выбора а, но обозначения нет, так как целочисленная координата "перекатывается" в а. Например, хотя циклический порядок классы поля совместим с алфавитным порядком от A до G, C выбирается как первая нота в каждой октаве, поэтому в нота-октава обозначение, B3 следует C4.

Обратная конструкция начинается с линейно упорядоченного набора и сворачивает его в циклически упорядоченный набор. Для линейно упорядоченного множества L и сохранение порядка биекция Т : L → L с неограниченными орбитами орбитальное пространство L / Т циклически упорядочивается по требованию:[7][nb]

Если а < б < c < Т(а), тогда [[а], [б], [c]].

В частности, можно восстановить K определяя Т(Икся) = Икся + 1 на Z × K.

Это также п-кратные накрытия для конечных п; в этом случае один циклически упорядоченный набор покрывает другой циклически упорядоченный набор. Например, 24-часовые часы это двойная обложка 12-часовой формат. В геометрии карандаш из лучи исходящая из точки ориентированной плоскости является двойной крышкой пучка неориентированных линии проходя через ту же точку.[19] Эти покрывающие карты можно охарактеризовать, подняв их до универсального покрытия.[7]

Продукты и отзывы

CyclicLinearProductLabels.svg

Учитывая циклически упорядоченный набор (K, [ ]) и линейно упорядоченное множество (L, <), (общий) лексикографический продукт представляет собой циклический порядок на набор продуктов K × L, определяется [(а, Икс), (б, у), (c, z)] если выполняется одно из следующих условий:[20]

  • [а, б, c]
  • а = б ≠ c и Икс < у
  • б = c ≠ а и у < z
  • c = а ≠ б и z < Икс
  • а = б = c и [Икс, у, z]

Лексикографический продукт K × L глобально выглядит как K и локально выглядит как L; это можно представить как K копии L. Эта конструкция иногда используется для характеристики циклически упорядоченных групп.[21]

Можно также склеивать различные линейно упорядоченные наборы, чтобы сформировать круговой набор. Например, для двух линейно упорядоченных множеств L1 и L2, можно образовать круг, соединив их вместе на положительной и отрицательной бесконечности. Круговой порядок на непересекающемся объединении L1 ∪ L2 ∪ {–∞, ∞} определяется ∞ < L1 < –∞ < L2 < ∞, где индуцированный порядок на L1 - это противоположность первоначальному порядку. Например, набор всех долготы упорядочивается по кругу путем объединения всех точек на запад и всех точек на восток вместе с нулевой меридиан и 180-й меридиан. Кульман, Маршалл и Осиак (2011) используйте эту конструкцию при характеристике пространств порядков и реальные места двойного формальная серия Laurent через настоящее закрытое поле.[22]

Топология

Открытые интервалы образуют основание для естественного топология, циклический топология заказа. В открытые наборы в этой топологии есть именно те множества, которые открыты в каждый совместимый линейный порядок.[23] Чтобы проиллюстрировать разницу, в наборе [0, 1) подмножество [0, 1/2) является окрестностью 0 в линейном порядке, но не в циклическом порядке.

Интересные примеры циклически упорядоченных пространств включают конформную границу односвязный Поверхность Лоренца[24] и листовое пространство поднятого существенное ламинирование некоторых трехмерных многообразий.[25] Дискретные динамические системы на циклически упорядоченных пространствах.[26]

Интервальная топология забывает исходную ориентацию циклического порядка. Эту ориентацию можно восстановить, обогатив интервалы их индуцированными линейными порядками; тогда есть набор, покрытый атласом линейных порядков, которые совместимы там, где они перекрываются. Другими словами, циклически упорядоченное множество можно рассматривать как локально линейно упорядоченное пространство: такой объект, как многообразие, но с отношениями порядка вместо диаграмм координат. Эта точка зрения упрощает определение таких понятий, как покрывающие карты. Обобщение на локально частично упорядоченное пространство изучается в Ролл (1993); смотрите также Направленная топология.

Связанные структуры

Группы

Основная статья: Циклически упорядоченная группа

А циклически упорядоченная группа это набор с обоими структура группы и циклический порядок, такой, что левое и правое умножение сохраняют циклический порядок. Циклически упорядоченные группы впервые были подробно изучены Ладислав Ригер в 1947 г.[27] Они являются обобщением циклические группы: the бесконечная циклическая группа Z и конечные циклические группы Z/п. Поскольку линейный порядок индуцирует циклический порядок, циклически упорядоченные группы также являются обобщением линейно упорядоченные группы: the рациональное число Q, реальные числа р, и так далее. Некоторые из наиболее важных циклически упорядоченных групп не попадают ни в одну из предыдущих категорий: круговая группа Т и его подгруппы, такие как подгруппа рациональных точек.

Каждую циклически упорядоченную группу можно выразить как фактор L / Z, куда L - линейно упорядоченная группа и Z является циклической конфинальной подгруппой в L. Каждую циклически упорядоченную группу можно также выразить как подгруппу продукта. Т × L, куда L - линейно упорядоченная группа. Если циклически упорядоченная группа архимедова или компактна, она может быть вложена в Т сам.[28]

Модифицированные аксиомы

А частичный циклический порядок является тернарным отношением, которое обобщает (тотальный) циклический порядок так же, как частичный заказ обобщает общий заказ. Он циклический, асимметричный и транзитивный, но не обязательно тотальный. An заказ разнообразия частичный циклический порядок, удовлетворяющий дополнительному распространение аксиома[нужна цитата ]. Замена аксиомы асимметрии дополнительной версией приводит к определению коциклический порядок. Соответственно, полные коциклические порядки связаны с циклическими порядками так же, как ≤ относится к <.

Циклический порядок подчиняется относительно сильной аксиоме четырехточечной транзитивности. Одной из структур, ослабляющих эту аксиому, является Система CC: тернарное отношение, которое является циклическим, асимметричным и полным, но обычно не транзитивным. Вместо этого система CC должна подчиняться 5-балльной аксиоме транзитивности и новому внутренность аксиома, ограничивающая 4-точечные конфигурации, нарушающие циклическую транзитивность.[29]

Циклический порядок должен быть симметричным относительно циклической перестановки, [а, б, c] ⇒ [б, c, а], и асимметричный по развороту: [а, б, c] ⇒ ¬[c, б, а]. Тернарное отношение, которое асимметричный при циклической перестановке и симметричный при обращении вместе с соответствующими версиями аксиом транзитивности и тотальности называется отношение промежуточности. А разделительное отношение это четвертичное отношение это можно рассматривать как циклический порядок без ориентации. Связь между круговым заказом и разделительное отношение аналогично соотношению между линейным порядком и отношением промежуточности.[30]

Симметрии и теория моделей

Эванс, Макферсон и Иванов (1997) дать теоретико-модельное описание покрывающих отображений циклов.

Тарарин (2001, 2002 ) изучает группы автоморфизмов циклов с различными транзитивность характеристики. Жирауде и Голландия (2002) охарактеризовать циклы, полные группы автоморфизмов которых действуют свободно и транзитивно. Камперо-арена и фермы (2009) охарактеризовать счетный цветной циклы, группы автоморфизмов которых действуют транзитивно. Ферма (2009) изучает группу автоморфизмов единственного (с точностью до изоморфизма) счетного плотного цикла.

Кулпешов и Макферсон (2005) изучать минимальность условия по циркулярно заказанным структуры, то есть модели языков первого порядка, которые включают отношение циклического порядка. Эти условия являются аналогами о-минимальность и слабая о-минимальность для случая линейно упорядоченных структур. Кулпешов (2006, 2009 ) продолжается некоторыми характеристиками ω-категоричный конструкции.[31]

Познание

Ганс Фройденталь подчеркнул роль циклических порядков в когнитивном развитии в отличие от Жан Пиаже который обращается только к линейным порядкам. Некоторые эксперименты были выполнены для исследования мысленных представлений циклически упорядоченных множеств, таких как месяцы года.

Примечания по использованию

^ циклический порядок Отношение можно назвать циклический порядок (Хантингтон 1916, п. 630), а круговой приказ (Хантингтон 1916, п. 630), а циклический порядок (Кок 1973, п. 6), или круговой заказ (Мошер 1996, п. 109). Некоторые авторы называют такое упорядочение общий циклический порядок (Исли и Кон 1998, п. 643), а полный циклический порядок (Новак 1982, п. 462), а линейный циклический порядок (Новак 1984, п. 323), или l-циклический порядок или ℓ-циклический порядок (Чернак 2001, п. 32), чтобы отличаться от более широкого класса частичные циклические заказы, которые они называют просто циклические заказы. Наконец, некоторые авторы могут взять циклический порядок означать неориентированный четвертичный разделительное отношение (Боудич 1998, п. 155).

^ цикл Набор с циклическим порядком можно назвать цикл (Новак 1982, п. 462) или круг (Жирауде и Голландия, 2002 г., п. 1). Вышеупомянутые варианты также встречаются в форме прилагательного: циклически упорядоченный набор (cyklicky uspořádané množiny, Чех 1936, п. 23), круговой набор, полный циклически упорядоченный набор, полный циклически упорядоченный набор, линейно циклически упорядоченное множество, l-циклически упорядоченный набор, ℓ-циклически упорядоченный набор. Все авторы согласны с тем, что цикл полностью упорядочен.

^ тернарное отношение Для циклического отношения используется несколько разных символов. Хантингтон (1916 г., п. 630) использует конкатенацию: ABC. Чех (1936, п. 23) и (Новак 1982, п. 462) используют упорядоченные тройки и символ принадлежности к множеству: (а, б, c) ∈ C. Мегиддо (1976, п. 274) использует конкатенацию и набор членства: abc ∈ C, понимание abc как циклически упорядоченную тройку. Литература по группам, таким как Свержковский (1959a, п. 162) и Чернак и Якубик (1987, п. 157), как правило, используют квадратные скобки: [а, б, c]. Жирауде и Голландия (2002 г., п. 1) используйте круглые скобки: (а, б, c), оставляя квадратные скобки для отношения промежуточности. Campero-Arena & Truss (2009 г.), п. 1) используйте обозначение функционального стиля: р(а, б, c). Ригер (1947), цитируется после Pecinová 2008, п. 82) в качестве разделителя используется символ "меньше": < Икс, у, z <. Некоторые авторы используют инфиксную нотацию: а < б < c, при том понимании, что это не имеет обычного значения а < б и б < c для некоторого бинарного отношения <(Черный 1978, п. 262). Вайнштейн (1996, п. 81) подчеркивает цикличность, повторяя элемент: п ↪ р ↪ q ↪ п.

^ вложение Новак (1984, п. 332) называет вложение «изоморфным вложением».

^ рулон В этом случае, Жирауде и Голландия (2002 г., п. 2) напишите, что K является L "свернутый".

^ орбитальное пространство Карта Т называется архимед к Боудич (2004), п. 33), котерминальный к Campero-Arena & Truss (2009 г.), п. 582), а перевод к Макмаллен (2009 г.), п. 10).

^ универсальная крышка Макмаллен (2009 г.), п. 10) звонки Z × K «универсальный чехол» K. Жирауде и Голландия (2002 г., п. 3) напишите, что K является Z × K "свернутый". Фройденталь и Бауэр (1974 г., п. 10) call (звонить) Z × K "∞-кратное покрытие" K. Часто эту конструкцию пишут как антилексикографический порядок на K × Z.

Рекомендации

Цитаты
  1. ^ Коричневый 1987, п. 52.
  2. ^ Хантингтон 1935, п. 6; Чех 1936, п. 25.
  3. ^ Калегари 2004, п. 439.
  4. ^ Курсель 2003.
  5. ^ Хантингтон 1935, п. 7; Чех 1936, п. 24.
  6. ^ Новак 1984, п. 323.
  7. ^ а б c Макмаллен 2009, п. 10.
  8. ^ Жирауде и Голландия, 2002 г., п. 2.
  9. ^ Кулпешов 2009.
  10. ^ Коксетер 1949, п. 25.
  11. ^ Сташев 1997, п. 58.
  12. ^ Morton et al. 2007 г..
  13. ^ Новак 1984, п. 325.
  14. ^ а б c Новак и Новотны 1987, п. 409–410.
  15. ^ Новак 1984 С. 325, 331.
  16. ^ Новак 1984, п. 333.
  17. ^ Новак 1984, п. 330.
  18. ^ Ролл 1993, п. 469; Фройденталь и Бауэр, 1974 г., п. 10
  19. ^ Фройденталь 1973, п. 475; Фройденталь и Бауэр, 1974 г., п. 10
  20. ^ Ierwierczkowski 1959a, п. 161.
  21. ^ Ierwierczkowski 1959a.
  22. ^ Кульман, Маршалл и Осиак, 2011 г., п. 8.
  23. ^ Viro et al. 2008 г., п. 44.
  24. ^ Вайнштейн 1996 С. 80–81.
  25. ^ Калегари и Данфилд 2003 С. 12–13.
  26. ^ Басс и др. 1996 г., п. 19.
  27. ^ Печинова-Козакова 2005, п. 194.
  28. ^ Ierwierczkowski 1959a С. 161–162.
  29. ^ Кнут 1992, п. 4.
  30. ^ Хантингтон 1935.
  31. ^ Макферсон 2011.
Библиография

дальнейшее чтение

внешняя ссылка