О-минимальная теория - O-minimal theory

В математическая логика, а точнее в теория моделей, бесконечный структура (M, <, ...), что является полностью заказанный by <называется о-минимальная структура если и только если каждый определяемый подмножество Икс ⊂ M (с параметрами взятыми из M) является конечным союз из интервалы и очки.

О-минимальность можно рассматривать как слабую форму исключение квантора. Структура M является o-минимальным тогда и только тогда, когда каждая формула с одной свободной переменной и параметрами в M эквивалентно бескванторной формуле, включающей только порядок, также с параметрами в M. Это аналогично минимальный структур, которые являются в точности аналогичным свойством вплоть до равенства.

А теория Т является о-минимальная теория если каждый модель из Т является о-минимальным. Известно, что полная теория Т о-минимальной структуры является о-минимальной теорией.^[1] Этот результат примечателен тем, что, напротив, полная теория минимальной структуры не обязательно строго минимальная теория, то есть может существовать элементарно эквивалентная структура, не являющаяся минимальной.

Теоретико-множественное определение

O-минимальные структуры могут быть определены без обращения к теории моделей. Здесь мы определяем структуру на непустом множестве M теоретико-множественным образом, как последовательность S = (S_п), п = 0,1,2, ... такие, что

1. S_п это логическая алгебра подмножеств M^п
2. если А ∈ S_п тогда M × А и А ×M находятся в S_п+1
3. набор {(Икс₁,...,Икс_п) ∈ M^п : Икс₁ = Икс_п} в S_п
4. если А ∈ S_п+1 и π : M^п+1 → M^п карта проекции на первый п координаты, то π(А) ∈ S_п.

Если M имеет плотный линейный порядок без концов на нем, скажем <, то структура S на M называется о-минимальным, если он удовлетворяет дополнительным аксиомам

5. набор {(Икс,у) ∈ M² : Икс < у} в S₂
6. наборы в S₁ являются в точности конечным объединением интервалов и точек.

«O» означает «порядок», поскольку любая o-минимальная структура требует упорядочивания в нижележащем наборе.

Теоретическое определение модели

O-минимальные структуры возникли в теории моделей и поэтому имеют более простое, но эквивалентное определение с использованием языка теории моделей.^[2] В частности, если L - это язык, содержащий бинарные отношения <и (M, <, ...) является L-структура, где <интерпретируется как удовлетворяющая аксиомам плотного линейного порядка,^[3] тогда (M, <, ...) называется o-минимальной структурой, если для любого определимого множества Икс ⊆ M есть конечное количество открытых интервалов я₁,..., я_р без конечных точек в M ∪ {± ∞} и конечное множество Икс₀ такой, что

${ displaystyle X = X_ {0} cup I_ {1} cup ldots cup I_ {r}.}$

Примеры

Примеры о-минимальных теорий:

• Полная теория плотных линейных порядков на языке с упорядочением.
• RCF, теория из настоящие закрытые поля.^[4]
• Полная теория реальное поле с ограниченным аналитические функции добавлены (т.е. аналитические функции в окрестности [0,1]^п, ограничено [0,1]^п; обратите внимание, что неограниченная синусоидальная функция имеет бесконечно много корней и поэтому не может быть определена в о-минимальной структуре.)
• Полная теория реального поля с условным обозначением экспоненциальная функция к Теорема Уилки. В более общем смысле, полная теория действительных чисел с Пфаффовы функции добавлен.
• Последние два примера можно объединить: для любого o-минимального расширения вещественного поля (такого как вещественное поле с ограниченными аналитическими функциями) можно определить его пфаффово замыкание, которое снова является o-минимальной структурой.^[5] (Замыкание структуры по Пфаффу, в частности, замкнуто относительно цепей Пфаффа, в которых вместо полиномов используются произвольные определимые функции.)

В случае RCF определимыми множествами являются полуалгебраические множества. Таким образом, изучение о-минимальных структур и теорий обобщает действительная алгебраическая геометрия. Основное направление текущих исследований основано на обнаружении о-минимальных расширений реального упорядоченного поля. Несмотря на общность приложения, можно многое показать о геометрии множества, определяемого в o-минимальных структурах. Есть теорема о разложении клеток,^[6] Уитни и Вердье стратификация теоремы и хорошее понятие размерности и эйлеровой характеристики.

Смотрите также

• Полуалгебраический набор
• Реальная алгебраическая геометрия
• Сильно минимальная теория
• Слабо о-минимальная структура
• C-минимальная теория

Примечания

Рекомендации

• ван ден Дрис, Лу (1998). Ручная топология и o-минимальные структуры. Серия лекций Лондонского математического общества. 248. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-59838-5. Zbl  0953.03045.
• Маркер, Дэвид (2000). "Обзор" ручной топологии и о-минимальных структур"" (PDF). Бюллетень Американского математического общества. 37 (3): 351–357. Дои:10.1090 / S0273-0979-00-00866-1.
• Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: введение. Тексты для выпускников по математике. 217. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-98760-6. Zbl  1003.03034.
• Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1986). «Определимые множества в упорядоченных структурах I» (PDF). Труды Американского математического общества. 295 (2): 565–592. Дои:10.2307/2000052. JSTOR  2000052. Zbl  0662.03023.
• Рыцарь, Юля; Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1986). «Определимые множества в упорядоченных структурах II». Труды Американского математического общества. 295 (2): 593–605. Дои:10.2307/2000053. JSTOR  2000053. Zbl  0662.03024.
• Пиллэй, Ананд; Стейнхорн, Чарльз (1988). «Определимые множества в упорядоченных структурах III». Труды Американского математического общества. 309 (2): 469–476. Дои:10.2307/2000920. JSTOR  2000920. Zbl  0707.03024.
• Уилки, А.Дж. (1996). «Результаты полноты модели для разложений упорядоченного поля действительных чисел с помощью ограниченных функций Пфаффа и экспоненциальной функции» (PDF). Журнал Американского математического общества. 9 (4): 1051–1095. Дои:10.1090 / S0894-0347-96-00216-0.
• Denef, J .; ван ден Дрис, Л. (1989). "п-адические и вещественные субаналитические множества ». Анналы математики. 128 (1): 79–138. Дои:10.2307/1971463. JSTOR  1971463.

внешняя ссылка

• Сервер препринтов Model Theory
• Сервер препринтов реальной алгебраической и аналитической геометрии