Слабо о-минимальная структура - Weakly o-minimal structure

В теория моделей, а слабо о-минимальная структура теоретико-модельная структура чьи определимые множества в области представляют собой просто конечные объединения выпуклых множеств.

Определение

А линейно упорядоченный структура, M, с языком L включающее отношение порядка <, называется слабо o-минимальным, если каждое параметрически определимое подмножество M является конечным объединением выпуклых (определимых) подмножеств. Теория является слабо о-минимальной, если все ее модели слабо о-минимальны.

Обратите внимание, что в отличие от о-минимальность, теория может иметь модели, которые являются слабо o-минимальными, и другие модели, которые не являются слабо o-минимальными.^[1]

Отличие от о-минимальности

В о-минимальной структуре ${displaystyle (M, <, ...)}$ определимые множества в ${displaystyle M}$ конечные объединения точек и интервалов, где интервал обозначает наборы вида ${displaystyle I = {rin M,:, a$, для некоторых а и б в ${displaystyle Mcup {pm infty}}$. Для слабо о-минимальных структур ${displaystyle (M, <, ...)}$ это ослаблено, так что определяемые множества в M являются конечными объединениями выпуклых определимых множеств. Множество ${displaystyle C}$ выпукло, если всякий раз а и б находятся в ${displaystyle C}$, а < б и c ∈  ${displaystyle M}$ удовлетворяет это а < c < б, тогда c в C. Точки и интервалы, конечно, являются выпуклыми множествами, но есть выпуклые множества, которые не являются ни точками, ни интервалами, как объясняется ниже.

Если у нас есть слабо o-минимальная расширяющаяся структура (р, <), действительное упорядоченное поле, то структура будет о-минимальной. Однако в других настройках эти два понятия различаются. Например, пусть р быть упорядоченным полем реального алгебраические числа с обычным порядком <унаследованный от р. Возьмите трансцендентное число, скажем π и добавьте унарное отношение S к структуре, заданной подмножеством (-π,π) ∩ р. Теперь рассмотрим подмножество А из р определяется формулой

${displaystyle 0$

так что набор состоит из всех строго положительных вещественных алгебраических чисел, которые меньше, чем π. Множество явно выпуклое, но его нельзя записать как конечное объединение точек и интервалов, концы которых находятся в р. Чтобы записать его как интервал, нужно либо включить конечную точку π, которого нет в р, или потребовалось бы бесконечно много интервалов, например объединение

${displaystyle igcup _ {alpha$

Поскольку у нас есть определимое множество, которое не является конечным объединением точек и интервалов, эта структура не является o-минимальной. Однако известно, что структура является слабо o-минимальной, и на самом деле теория этой структуры является слабо o-минимальной.^[2]

Примечания