Омега-категориальная теория - Википедия - Omega-categorical theory

В математическая логика, омега-категориальная теория это теория у этого есть ровно один счетно бесконечный модель вплоть до изоморфизм. Омега-категоричность - это частный случай κ = = ω из κ-категоричность, а омега-категориальные теории также называются ω-категоричный. Понятие наиболее важно для счетных первый заказ теории.

Эквивалентные условия омега-категоричности

Многие условия теории эквивалентны свойству омега-категоричности. В 1959 г. Эрвин Энгелер, Чеслав Рылль-Нардзевский и Ларс Свенониус, доказано несколько независимо.[1] Несмотря на это, в литературе до сих пор широко используется теорема Рылля-Нардзевского как название этих условий. Условия, включенные в теорему, различаются между авторами.[2][3]

Учитывая счетное полный теория первого порядка Т с бесконечными моделями следующее эквивалентно:

  • Теория Т омега-категорична.
  • Каждая счетная модель Т имеет группа олигоморфных автоморфизмов.
  • Некоторая счетная модель Т имеет группу олигоморфных автоморфизмов.[4]
  • Теория Т есть модель, которая для каждого натурального числа п, реализует только конечное число п-типы, то есть Каменное пространство Sп(Т) конечно.
  • Для каждого натурального числа п, Т имеет только конечное количество п-типы.
  • Для каждого натурального числа п, каждый п-тип изолированные.
  • Для каждого натурального числа п, с точностью до эквивалентности по модулю Т есть только конечное число формул с п бесплатные переменные, другими словами, для каждого п, то пth Алгебра Линденбаума – Тарского из Т конечно.
  • Каждая модель Т является атомный.
  • Каждая счетная модель Т атомарно.
  • Теория Т имеет счетный атом и насыщенная модель.
  • Теория Т имеет насыщенный основная модель.

Примеры

Теория любой счетно бесконечной структуры, однородной над конечным реляционным языком, является омега-категоричной.[5] Следовательно, омега-категоричны следующие теории:

  • Теория плотных линейных порядков без концов
  • Теория График Rado
  • Теория бесконечных линейных пространств над любыми конечное поле

Примечания

  1. ^ Рами Гроссберг, Хосе Иовино и Оливье Лессманн, Букварь простых теорий
  2. ^ Ходжес, Теория моделей, стр. 341.
  3. ^ Ротмалер, стр. 200.
  4. ^ Кэмерон (1990) стр.30
  5. ^ Макферсон, стр. 1607.

Рекомендации

  • Кэмерон, Питер Дж. (1990), Олигоморфные группы перестановок, Серия лекций Лондонского математического общества, 152, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-38836-8, Zbl  0813.20002
  • Чанг, Чен Чунг; Кейслер, Х. Джером (1989) [1973], Модельная теория, Эльзевьер, ISBN  978-0-7204-0692-4
  • Ходжес, Уилфрид (1993), Теория моделей, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-30442-9
  • Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-58713-6
  • Макферсон, Дугалд (2011), "Обзор однородных структур", Дискретная математика, 311 (15): 1599–1634, Дои:10.1016 / j.disc.2011.01.024, МИСТЕР  2800979
  • Поаза, Бруно (2000), Курс теории моделей: введение в современную математическую логику, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98655-5
  • Ротмалер, Филипп (2000), Введение в теорию моделей, Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис, ISBN  978-90-5699-313-9