Циклически упорядоченная группа - Cyclically ordered group

В математика, а циклически упорядоченная группа это набор с обоими структура группы и циклический порядок, такое, что левое и правое умножение сохраняют циклический порядок.

Циклически упорядоченные группы впервые были подробно изучены Ладислав Ригер в 1947 г.[1] Они являются обобщением циклические группы: the бесконечная циклическая группа Z и конечные циклические группы Z/п. Поскольку линейный порядок индуцирует циклический порядок, циклически упорядоченные группы также являются обобщением линейно упорядоченные группы: the рациональное число Q, то действительные числа р, и так далее. Некоторые из наиболее важных циклически упорядоченных групп не попадают ни в одну из предыдущих категорий: круговая группа Т и это подгруппы, такой как подгруппа рациональных точек.

Факторы линейных групп

Циклически упорядоченные группы естественно изобразить как частные: надо Zп = Z/пZ и Т = р/Z. Даже некогда линейная группа вроде Z, когда его сгибают в круг, можно представить себе как Z2 / Z. Ригер (1946, 1947, 1948 ) показал, что эта картина - явление родовое. Для любой заказанной группы L и любой центральный элемент z что порождает финальная подгруппа Z из L, фактор-группа L / Z - циклически упорядоченная группа. Более того, любая циклически упорядоченная группа может быть выражена как такая фактор-группа.[2]

Группа круга

Свержковский (1959a) опирался на результаты Ригера в другом направлении. Учитывая циклически упорядоченную группу K и упорядоченная группа L, продукт K × L циклически упорядоченная группа. В частности, если Т круговая группа и L упорядоченная группа, то любая подгруппа Т × L циклически упорядоченная группа. Более того, каждая циклически упорядоченная группа может быть выражена как подгруппа такого продукта с Т.[3]

По аналогии с Архимедова линейно упорядоченная группа, можно определить архимедову циклически упорядоченную группу как группу, не содержащую ни одной пары элементов Икс, у такой, что [е, Иксп, у] за каждый положительный целое число п.[3] Поскольку только положительный п рассматриваются, это более сильное условие, чем его линейный аналог. Например, Z больше не подходит, так как [0, п, −1] для каждого п.

Как следствие доказательства Сверчковского, любая архимедова циклически упорядоченная группа является подгруппой Т сам.[3] Этот результат аналогичен Отто Гёльдер Теорема 1901 года о том, что любая архимедова линейно упорядоченная группа является подгруппой р.[4]

Топология

Каждый компактный циклически упорядоченная группа - это подгруппа Т.

Обобщения

Связанные структуры

Глушанкова (1993) показал, что определенный подкатегория циклически упорядоченных групп, «проектируемых Ic-групп со слабой единицей», является эквивалент к определенной подкатегории MV-алгебры, «проектируемые MV-алгебры».[5]

Примечания

  1. ^ Печинова-Козакова 2005, п. 194.
  2. ^ Ierwierczkowski 1959a, п. 162.
  3. ^ а б c Ierwierczkowski 1959a С. 161–162.
  4. ^ Гёльдер 1901, цитируется после Хофманн и Лоусон 1996, стр.19, 21, 37
  5. ^ Глушанков 1993, п. 261.

Рекомендации

  • Глушанков, Даниил (1993), «Циклические упорядоченные группы и MV-алгебры» (PDF), Чехословацкий математический журнал, 43 (2): 249–263, получено 30 апреля 2011
  • Hofmann, Karl H .; Лоусон, Джимми Д. (1996), "Обзор полностью упорядоченных полугрупп", в Hofmann, Karl H .; Mislove, Майкл В. (ред.), Теория полугрупп и ее приложения: материалы конференции 1994 г., посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда, Серия лекций Лондонского математического общества, 231, Cambridge University Press, стр. 15–39, ISBN  978-0-521-57669-7
  • Печинова-Козакова, Элишка (2005), «Ладислав Сванте Ригер и его алгебраическая работа», в Сафранкова, Яна (ред.), WDS 2005 - Материалы предоставленных статей, Часть I, Прага: Матфызпресс, стр. 190–197, CiteSeerX  10.1.1.90.2398, ISBN  978-80-86732-59-6
  • Свержковский, С. (1959a), «О циклически упорядоченных группах» (PDF), Fundamenta Mathematicae, 47 (2): 161–166, Дои:10.4064 / FM-47-2-161-166, получено 2 мая 2011

дальнейшее чтение