Архимедова группа - Archimedean group

В абстрактная алгебра, филиал математика, Архимедова группа это линейно упорядоченная группа для чего Архимедова собственность имеет место: каждые два положительных элемента группы ограничены целыми числами, кратными друг другу. Набор р из действительные числа вместе с операцией сложения и обычным отношением упорядочения между парами чисел является архимедовой группой. В результате Отто Гёльдер, каждая архимедова группа изоморфный к подгруппа этой группы. Название «Архимед» происходит от Отто Штольц, назвавший это свойство Архимеда в честь его появления в произведениях Архимед.[1]

Определение

An аддитивная группа состоит из набора элементов, ассоциативный операция сложения, которая объединяет пары элементов и возвращает один элемент, элемент идентичности (или нулевой элемент), сумма которого с любым другим элементом является другим элементом, и Противоположное число операция, при которой сумма любого элемента и его обратного равна нулю.[2]Группа - это линейно упорядоченная группа когда, кроме того, его элементы могут быть линейно упорядоченный способом, совместимым с групповой операцией: для всех элементов Икс, у, и z, если Икс ≤ у тогда (Икс + z) ≤ (у + z) и (z + Икс) ≤ (z + у).

Обозначение на (куда п это натуральное число ) обозначает групповую сумму п копии а.An Архимедова группа (грамм, +, ≤) - линейно упорядоченная группа, подчиняющаяся следующему дополнительному условию, свойству Архимеда: для каждого а и б в грамм которые больше чем 0, можно найти натуральное число п для которого выполняется неравенство б ≤ на держит.[3]

Эквивалентное определение состоит в том, что архимедова группа - это линейно упорядоченная группа без каких-либо ограниченных циклический подгруппы: не существует циклической подгруппы S и элемент Икс с Икс больше, чем все элементы в S.[4] Несложно увидеть, что это эквивалентно другому определению: свойству Архимеда для пары элементов а и б это просто утверждение, что циклическая подгруппа, порожденная а не ограниченб.

Примеры архимедовых групп

Наборы целые числа, то рациональное число, то действительные числа вместе с операцией сложения и обычным упорядочением (≤) являются архимедовыми группами. Каждая подгруппа архимедовой группы сама является архимедовой, поэтому отсюда следует, что каждая подгруппа этих групп, такая как аддитивная группа группы четные числа или из диадические рациональные числа, также образует архимедову группу.

И наоборот, как Отто Гёльдер показал, что каждая архимедова группа изоморфный (как упорядоченная группа) в подгруппа реальных чисел.[5][6][7][8] Отсюда следует, что всякая архимедова группа обязательно является абелева группа: его операция сложения должна быть коммутативный.[5]

Примеры неархимедовых групп

Группы, которые нельзя упорядочить линейно, например конечные группы, не архимедовы. Для другого примера см. p-адические числа, система чисел, обобщающая рациональное число иначе, чем реальные числа.

Неархимедовы упорядоченные группы также существуют; упорядоченная группа (грамм, +, ≤), определенное следующим образом, не является архимедовым. Пусть элементы грамм быть точками Евклидова плоскость, данные их Декартовы координаты: пары (Икс, у) действительных чисел. Пусть операция группового сложения будет точечно (векторное) сложение, и упорядочим эти точки в лексикографический порядок: если а = (ты, v) и б = (Икс, у), тогда а + б = (ты + Икс, v + у), иа ≤ б точно когда либо v < у или же v = у и ты ≤ Икс. Тогда получается упорядоченная группа, но не архимедова. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим элементы (1, 0) и (0, 1), оба из которых больше нулевого элемента группы ( источник ). Для каждого натурального числа п, из этих определений следует, что п (1, 0) = (п, 0) <(0, 1), поэтому нет п что удовлетворяет свойству Архимеда.[9] Эту группу можно рассматривать как аддитивную группу пар действительного числа и бесконечно малый, куда бесконечно малая единица: но для любого положительного действительного числа . Неархимедовы упорядоченные поля могут быть определены аналогично, и их аддитивные группы являются неархимедовыми упорядоченными группами. Они используются в нестандартный анализ, и включить гиперреальные числа и сюрреалистические числа.

Хотя неархимедовы упорядоченные группы не могут быть встроены в действительные числа, они могут быть встроены в степень действительных чисел, с лексикографическим порядком, с помощью Теорема вложения Хана; приведенный выше пример представляет собой двумерный случай.

Дополнительные свойства

Каждая архимедова группа обладает тем свойством, что для каждого Дедекинда вырезать группы, и для каждого элемента группы ε> 0 существует другой элемент группы Икс с Икс на нижней стороне разреза и Икс + ε на верхней стороне разреза. Однако существуют неархимедовы упорядоченные группы с таким же свойством. Тот факт, что архимедовы группы абелевы, можно обобщить: каждая упорядоченная группа с этим свойством абелева.[10]

Обобщения

Архимедовы группы можно обобщить на Архимедовы моноиды, линейно упорядоченный моноиды которые подчиняются Архимедова собственность. Примеры включают натуральные числа, то неотрицательный рациональное число, а неотрицательный действительные числа, с обычной бинарной операцией и заказать . С помощью доказательства, аналогичного доказательству архимедовых групп, можно показать, что архимедовы моноиды являются коммутативный.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Марвин, Стивен (2012), Словарь научных принципов, John Wiley & Sons, стр. 17, ISBN  9781118582244.
  2. ^ Аддитивное обозначение групп обычно используется только для абелевы группы, в котором операция сложения коммутативный. Определение здесь не предполагает коммутативности, но окажется, что оно следует из свойства Архимеда.
  3. ^ Alajbegovic, J .; Мокор, Дж. (1992), Аппроксимационные теоремы в коммутативной алгебре: классические и категориальные методы, Серия НАТО ASI. Серия D, Поведенческие и социальные науки, 59, Springer, стр. 5, ISBN  9780792319481.
  4. ^ Белеградек, Олег (2002), "Полирегулярные упорядоченные абелевы группы", Логика и алгебра, Contemp. Математика, 302, Амер. Математика. Soc., Providence, RI, стр. 101–111, Дои:10.1090 / conm / 302/05049, МИСТЕР  1928386.
  5. ^ а б Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над нётеровыми доменами, Математические обзоры и монографии, 84, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, п. 61, ISBN  978-0-8218-1963-0, МИСТЕР  1794715
  6. ^ Фукс, Ласло (2011) [1963]. Частично упорядоченные алгебраические системы. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. С. 45–46. ISBN  978-0-486-48387-0.
  7. ^ Копытов, В. М .; Медведев, Н.Я. (1996), Правоупорядоченные группы, Сибирская школа алгебры и логики, Springer, стр. 33–34, ISBN  9780306110603.
  8. ^ Для доказательства абелевы группы, видеть Рибенбойм, Пауло (1999), Теория классических оценок, Монографии по математике, Springer, p. 60, ISBN  9780387985251.
  9. ^ Крупка, Деметра (2000), Введение в глобальную вариационную геометрию, Математическая библиотека Северной Голландии, 13, Elsevier, стр. 8, ISBN  9780080954202.
  10. ^ Виноградов А.А. (1967), "Упорядоченные алгебраические системы", Алгебра, топология, геометрия, 1965. (на русском языке), Акад. Ин-т АН СССР. Naučn. Техн. Информации, Москва, с. 83–131. МИСТЕР  0215761. Переведено на английский язык Филиппов Н.Д. / Под ред. (1970), Десять статей по алгебре и функциональному анализу, Переводы Американского математического общества, серия 2, 96, Американское математическое общество, Провиденс, Р.И., стр. 69–118, МИСТЕР  0268000.