Барометрическая формула - Barometric formula

В барометрическая формула, иногда называемый экспоненциальный атмосфера или же изотермический атмосфера, это формула используется для моделирования того, как давление (или же плотность ) воздуха меняется с высота. Давление падает примерно на 11,3 паскали за метр в первые 1000 метров над уровнем моря.

Уравнения давления

Давление воздуха p как функция высоты h (барометрическая формула)

Есть два разных уравнения для расчета давления на разных режимах высоты ниже 86 км (или 278 400 футов). Первое уравнение используется, когда значение стандартной температуры скорость отклонения не равно нулю:

${ displaystyle {P} = P_ {b} cdot left [{ frac {T_ {b}} {T_ {b} + L_ {b} cdot (h-h_ {b})}} right] ^ { textstyle { frac {g_ {0} cdot M} {R ^ {*} cdot L_ {b}}}}}$

Второе уравнение используется, когда стандартный градиент температуры равен нулю:

${ Displaystyle P = P_ {b} cdot exp left [{ frac {-g_ {0} cdot M cdot (h-h_ {b})} {R ^ {*} cdot T_ {b }}}верно]}$

куда:

${ displaystyle P_ {b}}$ = эталонное давление (Па )

${ displaystyle T_ {b}}$ = эталонная температура (K )

${ displaystyle L_ {b}}$ = градиент температуры (К / м) в ЭТО

${ displaystyle h}$ = высота, на которой рассчитывается давление (м)

${ displaystyle h_ {b}}$ = высота контрольного уровня б (метры; например, час_б = 11 000 м)

${ Displaystyle R ^ {*}}$ = универсальная газовая постоянная: 8,3144598 Дж / (моль · К)

${ displaystyle g_ {0}}$ = гравитационное ускорение: 9.80665 м / с²

${ displaystyle M}$ = молярная масса воздуха Земли: 0,0289644 кг / моль

Или преобразован в имперские единицы:^[1]

куда

${ displaystyle P_ {b}}$ = эталонное давление (дюймы ртутного столба, дюйм рт. ст. )

${ displaystyle T_ {b}}$ = эталонная температура (K)

${ displaystyle L_ {b}}$ = градиент температуры (K / ft) в ISA

${ displaystyle h}$ = высота, на которой рассчитывается давление (футы)

${ displaystyle h_ {b}}$ = высота контрольного уровня б (ноги; например, час_б = 36,089 футов)

${ Displaystyle R ^ {*}}$ = универсальная газовая постоянная; с использованием футов, кельвинов и (СИ) родинки: 8.9494596×10⁴ фунт · фут²/(фунт-моль · К · с²)

${ displaystyle g_ {0}}$ = ускорение свободного падения: 32,17405 фут / с²

${ displaystyle M}$ = молярная масса земного воздуха: 28,9644 фунта / фунт-моль

Значение нижнего индекса б колеблется от 0 до 6 в соответствии с каждым из семи последовательных слоев атмосферы, показанных в таблице ниже. В этих уравнениях грамм₀, M и р^* - каждая однозначная константа, а П, L, Т, и час являются многозначными константами в соответствии с таблицей ниже. Значения, используемые для М, грамм₀, и р^* соответствуют Стандартная атмосфера США, 1976, а значение р^* в частности не согласуется со стандартными значениями этой постоянной.^[2] Контрольное значение для п_б за б = 0 - определенное значение уровня моря, п₀ = 101 325 Па или 29,92126 дюймов рт. ст. Ценности п_б из б = От 1 до б = 6 получаются из применения соответствующего члена парных уравнений 1 и 2 для случая, когда ч = ч_{б + 1}.^[2]

Уравнения плотности

Выражения для расчета плотности почти идентичны выражениям для расчета давления. Единственная разница - это показатель степени в уравнении 1.

Существуют два разных уравнения для расчета плотности на различных режимах высоты ниже 86 геометрических км (84 852 геопотенциал метров или 278 385,8 геопотенциальных футов). Первое уравнение используется, когда значение стандартного градиента температуры не равно нулю; второе уравнение используется, когда стандартный градиент температуры равен нулю.

Уравнение 1:

${ displaystyle { rho} = rho _ {b} cdot left [{ frac {T_ {b}} {T_ {b} + L_ {b} cdot (h-h_ {b})}} right] ^ { left (1 + { frac {g_ {0} cdot M} {R ^ {*} cdot L_ {b}}} right)}}$

Уравнение 2:

${ displaystyle { rho} = rho _ {b} cdot exp left [{ frac {-g_ {0} cdot M cdot (h-h_ {b})} {R ^ {*} cdot T_ {b}}} right]}$

куда

${ displaystyle { rho}}$ = массовая плотность (кг / м³)

${ displaystyle T_ {b}}$ = стандартная температура (K)

${ displaystyle L}$ = стандартный градиент температуры (см. таблицу ниже) (К / м) в ЭТО

${ displaystyle h}$ = высота над уровнем моря (геопотенциальные метры)

${ Displaystyle R ^ {*}}$ = универсальная газовая постоянная 8,3144598 Н · м / (моль · К)

${ displaystyle g_ {0}}$ = ускорение свободного падения: 9,80665 м / с²

${ displaystyle M}$ = молярная масса земного воздуха: 0,0289644 кг / моль

или, преобразованный в английские гравитационные фут-фунты-секунды:^[1]

${ displaystyle { rho}}$ = массовая плотность (слизняк / фут³)

${ displaystyle {T_ {b}}}$ = стандартная температура (K)

${ displaystyle {L}}$ = стандартный градиент температуры (K / ft)

${ displaystyle {h}}$ = высота над уровнем моря (геопотенциальные футы)

${ displaystyle {R ^ {*}}}$ = универсальная газовая постоянная: 8,9494596 × 10⁴ футов²/ (с · К)

${ displaystyle {g_ {0}}}$ = ускорение свободного падения: 32,17405 фут / с²

${ displaystyle {M}}$ = молярная масса земного воздуха: 0,0289644 кг / моль

Значение нижнего индекса б колеблется от 0 до 6 в соответствии с каждым из семи последовательных слоев атмосферы, показанных в таблице ниже. Контрольное значение для ρ_б за б = 0 - определенное значение уровня моря, ρ₀ = 1,2250 кг / м³ или 0,0023768908 снаряда / фут³. Ценности ρ_б из б = От 1 до б = 6 получаются из применения соответствующего члена парных уравнений 1 и 2 для случая, когда ч = ч_{б + 1}.^[2]

В этих уравнениях грамм₀, M и р^* - каждая однозначная константа, а ρ, L, Т и час являются многозначными константами в соответствии с таблицей ниже. Значения, используемые для M, грамм₀ и р^* соответствуют Стандартная атмосфера США, 1976, и что значение для р^* в частности не согласуется со стандартными значениями этой константы.^[2]

Нижний индекс б	Высота над уровнем моря (час)		Плотность вещества (${ displaystyle rho}$)		Стандартная температура (Т ') (K)	Скорость снижения температуры (L)
	(м)	(футы)	(кг / м3)	(пуля / фут3)		(К / м)	(К / фут)
0	0	0	1.2250	2,3768908 х 10−3	288.15	-0.0065	-0.0019812
1	11 000	36,089.24	0.36391	7.0611703 х 10−4	216.65	0.0	0.0
2	20 000	65,616.79	0.08803	1.7081572 х 10−4	216.65	0.001	0.0003048
3	32 000	104,986.87	0.01322	2,5660735 х 10−5	228.65	0.0028	0.00085344
4	47 000	154,199.48	0.00143	2,7698702 х 10−6	270.65	0.0	0.0
5	51 000	167,322.83	0.00086	1,6717895 х 10−6	270.65	-0.0028	-0.00085344
6	71 000	232,939.63	0.000064	1,2458989 х 10−7	214.65	-0.002	-0.0006096

Вывод

Барометрическую формулу можно получить, используя закон идеального газа:

${ Displaystyle P = { гидроразрыва { rho} {M}} cdot {R ^ {*}} T}$

Предполагая, что все давление гидростатический:

${ Displaystyle дП = - ро г , дз ,}$

и разделив ${ displaystyle dP}$ посредством ${ displaystyle P}$ выражение получаем:

${ displaystyle { frac {dP} {P}} = - { frac {Mg , dz} {R ^ {*} T}}}$

Интеграция это выражение с поверхности на высоту z мы получили:

${ Displaystyle P = P_ {0} e ^ {- int _ {0} ^ {z} {Mgdz / R ^ {*} T}} ,}$

Предполагая линейное изменение температуры ${ displaystyle T = T_ {0} + L cdot z}$ и постоянной молярной массы и ускорения свободного падения, получаем первую барометрическую формулу:

${ Displaystyle P = P_ {0} cdot left [{ frac {T_ {0}} {T}} right] ^ { textstyle { frac {Mg} {R ^ {*} L}}} }$

Вместо этого, предполагая постоянную температуру, интегрирование дает вторую барометрическую формулу:

${ Displaystyle P = P_ {0} e ^ {- Mgz / R ^ {*} T} ,}$

В этой формулировке р^* это газовая постоянная, а срок р^*Т / мг дает высота шкалы (примерно 8,4 км для тропосфера ).

(Для получения точных результатов следует помнить, что атмосфера, содержащая воду, не ведет себя как идеальный газ. Видеть настоящий газ или же идеальный газ или же газ для дальнейшего понимания.)

Смотрите также

• Гипсометрическое уравнение
• NRLMSISE-00
• Изменение давления по вертикали

Рекомендации