Среднеквадратичное смещение - Википедия - Mean squared displacement

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Среднеквадратичное смещение»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Январь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В статистическая механика, то среднеквадратичное смещение (MSD, также среднеквадратичное смещение, средний квадрат водоизмещения, или же среднеквадратичное колебание) является мерой отклонение от положения частицы относительно исходного положения в течение долгого времени. Это наиболее распространенная мера пространственной протяженности случайного движения, и ее можно рассматривать как измерение части системы, "исследуемой" случайный бродяга. В сфере биофизика и инженерия окружающей среды, среднеквадратичное смещение измеряется во времени, чтобы определить, распространяется ли частица исключительно из-за распространение, или если адвективный сила тоже вносит свой вклад.^[1] Другая важная концепция, диаметр, связанный с дисперсией (VRD, который является двойным квадратным корнем из MSD), также используется при изучении явлений переноса и перемешивания в области инженерия окружающей среды.^[2] Он заметно появляется в Фактор Дебая – Валлера (описывающие колебания в твердом состоянии) и в Уравнение Ланжевена (описывая диффузию Броуновская частица ).

МСД на время ${ displaystyle t}$ определяется как среднее по ансамблю (статистическая механика):

${ displaystyle { rm {MSD}} Equiv langle | mathbf {x} (t) - mathbf {x_ {0}} | ^ {2} rangle = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} | mathbf {x ^ {(i)}} (t) - mathbf {x ^ {(i)}} (0) | ^ {2}}$

куда N - количество частиц для усреднения, вектор ${ Displaystyle mathbf {х ^ {(я)}} (0) = mathbf {x_ {0} ^ {(я)}}}$ является исходной позицией ${ displaystyle i}$-я частица и вектор ${ Displaystyle mathbf {х ^ {(я)}} (т)}$ позиция ${ displaystyle i}$-я частица по времени т.^[3]

Вывод MSD для броуновской частицы в 1D

В функция плотности вероятности (PDF) для частицы в одном измерении находится путем решения одномерного уравнение диффузии. (Это уравнение утверждает, что плотность вероятности положения со временем размывается - это метод, используемый Эйнштейном для описания броуновской частицы. Другой метод описания движения броуновской частицы был описан Ланжевеном, который теперь известен по своему тезке как Уравнение Ланжевена.)

${ displaystyle { frac { partial p (x, t mid x_ {0})} { partial t}} = D { frac { partial ^ {2} p (x, t mid x_ {0) })} { partial x ^ {2}}},}$

учитывая начальное состояние ${ displaystyle p (x_ {0}, t = {0} mid x_ {0}) = delta (x-x_ {0})}$; куда ${ Displaystyle х (т)}$ - положение частицы в определенный момент времени, ${ displaystyle x_ {0}}$ - начальное положение помеченной частицы, а ${ displaystyle D}$ - постоянная диффузии в единицах S.I. ${ displaystyle m ^ {2} s ^ {- 1}}$ (косвенная мера скорости частицы). Полоса в аргументе мгновенной вероятности относится к условной вероятности. Уравнение диффузии утверждает, что скорость, при которой вероятность нахождения частицы на ${ Displaystyle х (т)}$ зависит от позиции.

Приведенное выше дифференциальное уравнение имеет вид 1D уравнение теплопроводности. Одномерный PDF выше - это Функция Грина уравнения теплопроводности (также известного как Тепловое ядро по математике):

${ Displaystyle P (x, t) = { frac {1} { sqrt {4 pi Dt}}} exp left (- { frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {4Dt}} right).}$

Это говорит о том, что вероятность нахождения частицы на ${ Displaystyle х (т)}$ является гауссовым, а ширина гауссиана зависит от времени. В частности, полная ширина на половине максимальной (FWHM) (технически / педантично, на самом деле это полный продолжительность на половине максимума, поскольку независимой переменной является время) масштабируется как

${ displaystyle { rm {FWHM}} sim { sqrt {t}}.}$

Используя PDF, можно получить среднее значение заданной функции, ${ displaystyle L}$, вовремя ${ displaystyle t}$:

${ Displaystyle langle L (t) rangle Equiv int _ {- infty} ^ { infty} L (x, t) P (x, t) , dx,}$

где среднее значение берется по всему пространству (или любой применимой переменной).

Среднеквадратичное смещение определяется как

${ Displaystyle { rm {MSD}} Equiv langle (x (t) -x_ {0}) ^ {2} rangle,}$

расширение среднего ансамбля

${ displaystyle langle (x-x_ {0}) ^ {2} rangle = langle x ^ {2} rangle + x_ {0} ^ {2} -2x_ {0} langle x rangle,}$

отказавшись от явных обозначений временной зависимости для ясности. Чтобы найти МСД, можно выбрать один из двух путей: можно явно вычислить ${ Displaystyle langle х ^ {2} rangle}$ и ${ Displaystyle langle х rangle}$, затем вставьте результат обратно в определение МСД; или можно было найти момент-производящая функция, чрезвычайно полезная и общая функция при работе с плотностями вероятностей. Производящая момент функция описывает ${ Displaystyle к ^ { textrm {th}}}$ момент PDF. Первый момент PDF смещения, показанный выше, - это просто среднее значение: ${ Displaystyle langle х rangle}$. Второй момент представлен как ${ Displaystyle langle х ^ {2} rangle}$.

Итак, чтобы найти функцию, производящую момент, удобно ввести характеристическая функция:

${ Displaystyle G (к) = langle e ^ {ikx} rangle Equiv int _ {I} e ^ {ikx} P (x, t mid x_ {0}) , dx,}$

можно разложить экспоненту в приведенном выше уравнении, чтобы получить

${ displaystyle G (k) = sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {(ik) ^ {m}} {m!}} mu _ {m}.}$

Используя натуральный логарифм характеристической функции, получается новая функция: кумулянтная производящая функция,

${ displaystyle ln (G (k)) = sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {(ik) ^ {m}} {m!}} kappa _ {m},}$

куда ${ displaystyle kappa _ {m}}$ это ${ displaystyle m { textrm {th}}}$ кумулянт из ${ displaystyle x}$. Первые два кумулянта связаны с первыми двумя моментами, ${ displaystyle mu}$, через${ Displaystyle каппа _ {1} = му _ {1};}$ и ${ displaystyle kappa _ {2} = mu _ {2} - mu _ {1} ^ {2},}$где второй кумулянт - это так называемая дисперсия, ${ displaystyle sigma ^ {2}}$. С учетом этих определений можно исследовать моменты PDF броуновской частицы,

${ displaystyle G (k) = { frac {1} { sqrt {4 pi Dt}}} int _ {I} exp (ikx) exp left (- { frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {4Dt}} right) , dx;}$

заполнив квадрат и зная общую площадь под гауссовой, получаем

${ Displaystyle G (k) = exp (ikx_ {0} -k ^ {2} Dt).}$

Принимая натуральный логарифм и сравнивая мощности ${ displaystyle ik}$ к производящей функции кумулянта первый кумулянт равен

${ displaystyle kappa _ {1} = x_ {0},}$

что, как и ожидалось, а именно то, что среднее положение является гауссовым центром. Второй кумулянт - это

${ Displaystyle каппа _ {2} = 2Dt, ,}$

множитель 2 получается из факторного множителя в знаменателе кумулянтной производящей функции. Отсюда рассчитывается второй момент,

${ displaystyle mu _ {2} = kappa _ {2} + mu _ {1} ^ {2} = 2Dt + x_ {0} ^ {2}.}$

Подставляя результаты для первого и второго моментов назад, можно найти МСД,

${ displaystyle langle (x (t) -x_ {0}) ^ {2} rangle = 2Dt.}$

Вывод для n-мерности

Для броуновской частицы в более высоком измерении Евклидово пространство, его положение представлено вектором ${ Displaystyle mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$, где Декартовы координаты ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$ находятся статистически независимый.

В п-переменная функция распределения вероятностей является произведением фундаментальные решения в каждой переменной; т.е.

${ Displaystyle P ( mathbf {x}, t) = P (x_ {1}, t) P (x_ {2}, t) dots P (x_ {n}, t) = { frac {1} { sqrt {(4 pi Dt) ^ {n}}}} exp left (- { frac { mathbf {x} cdot mathbf {x}} {4Dt}} right).}$

Среднеквадратичное смещение определяется как

${ displaystyle { rm {MSD}} Equiv langle | mathbf {x} - mathbf {x_ {0}} | ^ {2} rangle = langle (x_ {1} (t) -x_ { 1} (0)) ^ {2} + (x_ {2} (t) -x_ {2} (0)) ^ {2} + dots + (x_ {n} (t) -x_ {n} ( 0)) ^ {2} rangle}$

Поскольку все координаты независимы, их отклонение от исходного положения также не зависит. Следовательно,

${ displaystyle { rm {MSD}} = langle (x_ {1} (t) -x_ {1} (0)) ^ {2} rangle + langle (x_ {2} (t) -x_ { 2} (0)) ^ {2} rangle + dots + langle (x_ {n} (t) -x_ {n} (0)) ^ {2} rangle}$

Для каждой координаты, следуя тому же выводу, что и в одномерном сценарии выше, можно получить MSD в этом измерении как ${ displaystyle 2Dt}$. Следовательно, окончательный результат среднеквадратичного смещения в n-мерном броуновском движении:

${ displaystyle { text {MSD}} = 2nDt}$.

МСД в экспериментах

Экспериментальные методы определения МСД включают: рассеяние нейтронов и фотонная корреляционная спектроскопия.

Линейная зависимость между МСД и временем т позволяет графическими методами определить коэффициент диффузии D. Это особенно полезно для грубых расчетов коэффициента диффузии в системах окружающей среды. В некоторых модели атмосферной дисперсии, связь между MSD и временем т не является линейным. Вместо этого при изучении явления дисперсии обычно используется ряд степенных законов, эмпирически представляющих изменение квадратного корня из MSD в зависимости от расстояния по ветру.^[4]

Смотрите также

• Среднеквадратичное отклонение позиций атомов: среднее значение берется по группе частиц за один раз, где MSD берется для одной частицы за интервал времени.
• Среднеквадратичная ошибка

Рекомендации