Преобразование Фурье – Броса – Ягольницера - Википедия - Fourier–Bros–Iagolnitzer transform

В математика, то Преобразование ФБР или же Преобразование Фурье – Броса – Ягольницера является обобщением преобразование Фурье разработан французским математические физики Жак Брос и Даниэль Ягольницер, чтобы охарактеризовать локальная аналитичность функций (или распределения ) на рп. Преобразование обеспечивает альтернативный подход к аналитическому наборы волновых фронтов распределений, независимо разработанных японскими математиками Микио Сато, Масаки Кашивара и Такахиро Каваи в их подходе к микролокальный анализ. Его также можно использовать для доказательства аналитичности решений аналитических эллиптические уравнения в частных производных а также вариант классической теоремы единственности, усиливающий Теорема Коши – Ковалевского, благодаря шведскому математику Эрик Альберт Холмгрен (1872–1943).

Определения

В преобразование Фурье из Функция Шварца ж в S(рп) определяется

В Преобразование ФБР из ж определяется для а ≥ 0 по

Таким образом, когда а = 0, он по существу совпадает с преобразованием Фурье.

Те же формулы можно использовать для определения преобразований Фурье и ФБР умеренные распределения вS '(рп).

Формула обращения

В Формула обращения Фурье

позволяет функцию ж быть восстановленным из его преобразования Фурье.

Особенно

Аналогично при положительном значении а, ж(0) может быть восстановлен из преобразования ФБР ж(Икс) по формуле обращения

Критерий локальной аналитичности

Bros и Iagolnitzer показали, что распределение ж локально равна вещественная аналитическая функция в у, в направлении ξ тогда и только тогда, когда его преобразование ФБР удовлетворяет неравенству вида

за | ξ | достаточно большой.

Теорема единственности Холмгрена

Простым следствием характеризации локальной аналитичности Брооса и Ягольницера является следующий результат регулярности Ларс Хёрмандер и Микио Сато (Шёстранд (1982) ).

Теорема. Позволять п быть эллиптический оператор в частных производных с аналитическими коэффициентами, определенными на открытом подмножествеИкс из рп. Если ПФ аналитичен в Икс, тогда тоже ж.

Когда в этой теореме «аналитический» заменяется «гладким», результат просто Герман Вейль классическая лемма о эллиптическая регулярность, обычно доказывается с помощью Соболевские пространства (Уорнер 1983). Это частный случай более общих результатов, связанных с аналитическими набор фронта волны (см. ниже), что подразумевает классическое усиление Холмгрена Теорема Коши – Ковалевского по линейному уравнения в частных производных с действительными аналитическими коэффициентами. Говоря современным языком, теорема единственности Холмгрена утверждает, что любое распределительное решение такой системы уравнений должно быть аналитическим и, следовательно, уникальным, согласно теореме Коши – Ковалевски.

Набор аналитических волновых фронтов

В набор аналитических волновых фронтов или же сингулярный спектр WFА(ж) из распределение ж (или в более общем смысле гиперфункция ) можно определить в терминах преобразования ФБР (Хёрмандер (1983) ) как дополнение к коническому множеству точек (Икс, λ ξ) (λ> 0) такая, что преобразование ФБР удовлетворяет неравенству Броса – Ягольницера

за у точка, в которой хотелось бы проверить аналитичность, и |ξ| достаточно большой и указывающий в том направлении, в котором хотелось бы искать фронт волны, то есть направление, в котором сингулярность у, если он существует, распространяется. Дж. М. Бони (Шёстранд (1982), Хёрмандер (1983) ) доказал, что это определение совпадает с другими определениями, введенными независимо Сато, Кашивара, Каваи и Хёрмандером. Если п является мЛинейный дифференциальный оператор порядка с аналитическими коэффициентами

с главный символ

и характерное разнообразие

тогда

В частности, когда п эллиптический, char п = ø, так что

WFА(ПФ) = WFА(ж).

Это усиление упомянутой выше аналитической версии эллиптической регулярности.

Рекомендации

  • Фолланд, Джеральд Б. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве, Анналы математических исследований, 122, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08528-5
  • Гординг, Ларс (1998), Математика и математики: математика в Швеции до 1950 г., Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0612-2
  • Хёрмандер, Ларс (1983), Анализ дифференциальных операторов с частными производными I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-12104-8 (Глава 9.6, Аналитический набор волновых фронтов.)
  • Ягольницер, Даниэль (1975), Микролокальная существенная поддержка распределения и локальных разложений - введение. В гиперфункциях и теоретической физике, Конспект лекций по математике, 449, Springer-Verlag, стр. 121–132.
  • Кранц, Стивен; Паркс, Гарольд Р. (1992), Учебник по реальным аналитическим функциям, Биркхойзер, ISBN  0-8176-4264-1. 2-е изд., Birkhäuser (2002), ISBN  0-8176-4264-1.
  • Sjöstrand, Johannes (1982), "Singularités analytiques microlocales. [Микролокальные аналитические особенности]", Astérisque, 95: 1–166
  • Трев, Франсуа (1992), Гипоаналитические структуры: локальная теория, Принстонская математическая серия, 40, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08744-X (Глава 9, Преобразование ФБР в гипоаналитическом многообразии.)
  • Уорнер, Фрэнк (1983), Основы дифференциальной геометрии и групп Ли, Выпускные тексты по математике, 94, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90894-3