Кривой комплекс - Curve complex

В математика, то комплекс кривой это симплициальный комплекс C(S) связанный с конечным типом поверхность S, который кодирует комбинаторику простые замкнутые кривые наS. Комплекс кривых оказался фундаментальным инструментом в изучении геометрии Пространство Тейхмюллера, из отображение групп классов и из Клейнианские группы. Он был представлен У. Дж. Харви в 1978 году.

Кривые комплексы

Определение

Позволять ${ displaystyle S}$ связная ориентированная поверхность конечного типа. В частности, пусть ${ Displaystyle S = S_ {g, b, n}}$ связная ориентированная поверхность рода ${ displaystyle g geq 0}$ с ${ displaystyle b geq 0}$ граничные компоненты и ${ Displaystyle п geq 0}$ проколы.

В комплекс кривой ${ Displaystyle C (S)}$ симплициальный комплекс, определяемый следующим образом:^[1]

Вершины - свободные гомотопические классы существенного (ни гомотопически тривиального, ни периферийный ) простые замкнутые кривые на ${ displaystyle S}$ ;
Если ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {n}}$ представляют собой различные вершины ${ Displaystyle C (S)}$ , они образуют симплекс тогда и только тогда, когда их можно гомотопировать, чтобы они попарно не пересекались.

Примеры

Для поверхностей малой сложности (в основном тор, проколотый тор и сфера с четырьмя дырками), согласно приведенному выше определению, комплекс кривых имеет бесконечно много компонент связности. Можно дать альтернативное и более полезное определение, соединяя вершины, если соответствующие кривые имеют минимальное число пересечений. С этим альтернативным определением полученный комплекс изоморфен График Фарея.

Геометрия комплекса кривой

Основные свойства

Если ${ displaystyle S}$ компактная поверхность рода ${ displaystyle g}$ с ${ displaystyle b}$ граничные компоненты размерность ${ Displaystyle C (S)}$ равно ${ Displaystyle xi (S) = 3g-3 + b}$ . В дальнейшем будем предполагать, что ${ Displaystyle xi (S) geq 2}$ . Комплекс кривых никогда не бывает локально конечным (т.е. каждая вершина имеет бесконечно много соседей). Результат Харера ^[2] утверждает, что ${ Displaystyle C (S)}$ на самом деле гомотопически эквивалентный к сумма клина сфер.

Номера перекрестков и расстояние на C(S)

Комбинаторное расстояние на 1-скелете ${ Displaystyle C (S)}$ связано с числом пересечений между простыми замкнутыми кривыми на поверхности, которое является наименьшим числом пересечений двух кривых в изотопических классах. Например^[3]

{ Displaystyle d_ {S} ( альфа, бета) Leq 2 log _ {2} (я ( альфа, бета)) + 2}

для любых двух неразделенных простых замкнутых кривых ${ displaystyle alpha, beta}$ . Можно сравнивать в другом направлении, но результаты гораздо более тонкие (например, нет единой нижней границы даже для данной поверхности), и их труднее доказать.^[4]

Гиперболичность

Это было доказано Мазур и Минский^[5] что комплекс кривых - это Громова гиперболическое пространство. Более поздние работы разных авторов дали альтернативные доказательства этого факта и более подробную информацию о гиперболичности.^[4]^[6]

Связь с группой классов отображений и пространством Тейхмюллера

Действие группы классов отображения

В группа классов отображения из ${ displaystyle S}$ действует на комплекс ${ Displaystyle C (S)}$ естественным образом: действует на вершины ${ displaystyle phi cdot alpha = phi _ {*} alpha}$ и это распространяется на действие на весь комплекс. Это действие позволяет доказать многие интересные свойства групп классов отображений.^[7]

Хотя сама группа классов отображения не является гиперболическая группа, дело в том, что ${ Displaystyle C (S)}$ гиперболический, все еще имеет значение для его структуры и геометрии.^[8]^[9]

Сравнение с пространством Тейхмюллера

Есть естественная карта от Пространство Тейхмюллера к комплексу кривых, который переводит отмеченные гиперболические структуры в набор замкнутых кривых, реализующих наименьшую возможную длину ( систола ). Это позволяет считывать некоторые геометрические свойства последнего, в частности, объясняет эмпирический факт, что, хотя само пространство Тейхмюллера не является гиперболическим, оно сохраняет определенные черты гиперболичности.

Приложения к трехмерной топологии

Расколы Heegaard

Симплекс в ${ Displaystyle C (S)}$ определяет "наполнение" ${ displaystyle S}$ к рулю. Выбираем два симплекса в ${ Displaystyle C (S)}$ таким образом определяет Расщепление Хегора трехмерного многообразия,^[10] с дополнительными данными диаграммы Хегора (максимальная система непересекающихся простых замкнутых кривых, ограничивающих диски для каждого из двух тел руля). Некоторые свойства расщеплений Heegaard могут быть очень эффективно прочитаны по относительному положению симплексов:

расщепление приводимо тогда и только тогда, когда оно имеет диаграмму, представленную симплексами, имеющими общую вершину;
расщепление является слабо приводимым тогда и только тогда, когда оно имеет диаграмму, представленную симплексами, соединенными ребром.

В общем, минимальное расстояние между симплексами, представляющими диаграмму расщепления, может дать информацию о топологии и геометрии (в смысле гипотеза геометризации коллектора) и наоборот.^[10] Руководящий принцип состоит в том, что минимальное расстояние расщепления Хегора является мерой сложности многообразия.^[11]

Клейнианские группы

Как частный случай философии предыдущего абзаца, геометрия комплекса кривых является важным инструментом для связи комбинаторных и геометрических свойств гиперболических трехмерных многообразий и, следовательно, является полезным инструментом при изучении клейновых групп.^[12] Например, он был использован при доказательстве конец гипотезы о ламинировании.^[13]^[14]

Случайные многообразия

Возможной моделью случайных 3-многообразий является случайное разбиение Хегора.^[15] Доказательство гиперболичности этой модели почти наверняка (в определенном смысле) использует геометрию комплекса кривых.^[16]

Примечания

^ Фарб и Маргалит, гл. 4.1, п. 92
^ Харер, Джон Л. (1986-02-01). «Виртуальная когомологическая размерность группы классов отображений ориентируемой поверхности». Inventiones Mathematicae. 84 (1): 157–176. Bibcode:1986InMat..84..157H. Дои:10.1007 / BF01388737. ISSN 0020-9910.
^ Шлеймер 2006, Лемма 1.21.
^ ^а ^б Bowditch 2006.
^ Мазур и Минский 1999.
^ Аугаб, Тарик (2013). «Равномерная гиперболичность графиков кривых». Геом. Тополь. 17 (5): 2855–2875. arXiv:1212.3160. Дои:10.2140 / gt.2013.17.2855. МИСТЕР 3190300.
^ Иванов 1992, Глава 7.
^ Манганас, Джоанна (2010). «Равномерный равномерный экспоненциальный рост подгрупп группы классов отображений». Геом. Функц. Анальный. 19: 1468–1480. МИСТЕР 2585580.
^ Дахмани, Франсуа; Гирардел, Винсент; Осин, Денис. «Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих в гиперболических пространствах». Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
^ ^а ^б Хемпель 2001.
^ Абрамс, Аарон; Шлеймер, Саул (2005). «Расстояния расколов Хегора». Геом. Тополь. 9: 95–119. arXiv:математика / 0306071. Дои:10.2140 / gt.2005.9.95. МИСТЕР 2115669.
^ Боудич, Брайан Х. (2005). «Гиперболические трехмерные многообразия и геометрия комплекса кривых». Европейский математический конгресс. Евро. Математика. Soc. С. 103–115.
^ Минский, Яир (2010). «Классификация клейновых групп поверхностей, I: модели и границы». Анналы математики. 171 (1): 1–107. arXiv:математика / 0302208. Дои:10.4007 / анналы.2010.171.1. ISSN 0003-486X.
^ Брок, Джеффри; Канарейка, Ричард; Минский, Яир (2012). "Классификация клейновых групп поверхностей, II: гипотеза конечного расслоения". Анналы математики. 176 (3): 1–149. arXiv:математика / 0412006. Дои:10.4007 / анналы.2012.176.1.1. ISSN 0003-486X.
^ Данфилд, Натан М .; Терстон, Уильям П. (2006). «Конечные покрытия случайных трехмерных многообразий». Изобретать. Математика. 166 (3): 457–521. arXiv:математика / 0502567. Bibcode:2006InMat.166..457D. Дои:10.1007 / s00222-006-0001-6. МИСТЕР 2257389.
^ Махер, Джозеф (2010). «Случайные расколы Хегора». Ж. Тополь. 3 (4): 997–1025. arXiv:0809.4881. Дои:10.1112 / jtopol / jtq031.