Случайная группа - Википедия - Random group

В математика, случайные группы уверены группы полученный вероятностный строительство. Их представил Миша Громов чтобы ответить на такие вопросы, как «Как выглядит типичная группа?»

Бывает так, что после того, как дано точное определение, случайные группы удовлетворяют некоторым свойствам с очень высокой вероятностью, тогда как другие свойства терпят неудачу с очень высокой вероятностью. Например, очень вероятно, что случайные группы гиперболические группы. В этом смысле можно сказать, что «большинство групп гиперболические».

Определение

Определение случайных групп зависит от вероятностной модели на множестве возможных групп. Различные такие вероятностные модели дают разные (но связанные) представления о случайных группах.

Любая группа может быть определена групповая презентация с участием генераторов и отношений. Например, абелева группа ${ Displaystyle mathbb {Z} times mathbb {Z}}$ есть презентация с двумя генераторами ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$, а соотношение ${ displaystyle ab = ba}$, или эквивалентно ${ displaystyle aba ^ {- 1} b ^ {- 1} = 1}$. Основная идея случайных групп - начать с фиксированного числа групповых генераторов. ${ Displaystyle а_ {1}, , а_ {2}, , ldots, , а_ {м}}$, и налагая отношения вида ${ Displaystyle r_ {1} = 1, , r_ {2} = 1, , ldots, , r_ {k} = 1}$ где каждый ${ displaystyle r_ {j}}$ это случайное слово, состоящее из букв ${ displaystyle a_ {i}}$ и их формальные обратные ${ displaystyle a_ {i} ^ {- 1}}$. Указать модель случайных групп - значит указать точный способ, которым ${ displaystyle m}$, ${ displaystyle k}$ и случайные отношения ${ displaystyle r_ {j}}$ выбраны.

Однажды случайные отношения ${ displaystyle r_ {k}}$ были выбраны, в результате случайная группа ${ displaystyle G}$ определяется стандартным образом для групповых презентаций, а именно: ${ displaystyle G}$ является частным от свободная группа ${ displaystyle F_ {m}}$ с генераторами ${ Displaystyle а_ {1}, , а_ {2}, , ldots, , а_ {м}}$, нормальной подгруппой ${ Displaystyle R подмножество F_ {m}}$ порожденные отношениями ${ Displaystyle r_ {1} , r_ {2}, , ldots, , r_ {k}}$ рассматривается как элементы ${ displaystyle F_ {m}}$:

${ displaystyle G = F_ {m} / langle r_ {1}, , r_ {2}, , ldots, , r_ {k} rangle.}$

Модель случайных групп с несколькими соотношениями

Простейшей моделью случайных групп является модель нескольких отношений. В этой модели ряд генераторов ${ displaystyle m geq 2}$ и ряд отношений ${ Displaystyle к geq 1}$ фиксируются. Исправить дополнительный параметр ${ displaystyle ell}$ (длина отношений), которая обычно считается очень большой.

Тогда модель состоит в выборе соотношений ${ Displaystyle r_ {1} , r_ {2}, , ldots, , r_ {k}}$ случайным образом, равномерно и независимо среди всех возможных сокращенные слова длины не более ${ displaystyle ell}$ с участием букв ${ displaystyle a_ {i}}$ и их формальные инверсии ${ displaystyle a_ {i} ^ {- 1}}$.

Эта модель особенно интересна, когда длина отношения ${ displaystyle ell}$ стремится к бесконечности: с вероятностью, стремящейся к ${ displaystyle 1}$ в качестве ${ displaystyle ell to infty}$ случайная группа в этой модели гиперболический и удовлетворяет другим приятным свойствам.

Дальнейшие замечания

Определены более совершенные модели случайных групп.

Например, в модель плотности, количество отношений может расти с увеличением длины отношений. Затем возникает феномен резкого «фазового перехода»: если количество отношений больше некоторого порога, случайная группа «схлопывается» (поскольку отношения позволяют показать, что любое слово равно любому другому), а ниже порога результирующая случайная группа бесконечна и гиперболична.

Конструкции случайных групп также могут быть изменены определенным образом для создания группы с определенными свойствами. Например, Громов использовал эту технику для создания новых групп, которые являются контрпримерами для расширения Гипотеза Баума-Конна.

Рекомендации

• Михаил Громов. Гиперболические группы. Очерки теории групп, 75–263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Михаил Громов. «Случайное блуждание в случайных группах». Геом. Funct. Анальный., т. 13 (2003), 73–146.