Свойства конечности групп - Finiteness properties of groups

В математика, свойства конечности из группа представляют собой набор свойств, которые позволяют использовать различные алгебраический и топологический инструменты, например групповые когомологии, чтобы изучить группу. Он представляет наибольший интерес для изучения бесконечных групп.

Частные случаи групп со свойствами конечности: конечно порожденный и конечно представленный группы.

Свойства топологической конечности

Учитывая целое число п ≥ 1, группа ${ displaystyle Gamma}$ как говорят типа F_п если существует асферический CW-комплекс чей фундаментальная группа является изоморфный к ${ displaystyle Gamma}$ (а классификация пространства за ${ displaystyle Gamma}$) и чьи п-скелет конечно. Говорят, что группа имеет тип F_∞ если это типа F_п для каждого п. Это типа F если существует конечный асферический CW-комплекс, фундаментальной группой которого он является.

Для малых значений п эти условия имеют более классические интерпретации:

• группа типа F₁ если и только если это конечно порожденный (в Граф Кэли - конечный 1-остов классифицирующего пространства);

• группа типа F₂ если и только если это конечно представленный (с использованием Комплекс Кэли вместо графа Кэли).

Известно, что для каждого п ≥ 1 есть группы типа F_п которые не относятся к типу F_п+1. Конечные группы имеют тип F_∞ но не типа F. Группа Томпсона ${ displaystyle F}$ является примером группы без кручения типа F_∞ но не типа F.^[1]

Переформулировка F_п свойство состоит в том, что группа имеет его тогда и только тогда, когда действует собственно разрывно, свободно и кокомпактно на CW-комплексе, гомотопические группы ${ displaystyle pi _ {1}, ldots, pi _ {n}}$ исчезнуть. Другое свойство конечности можно сформулировать, заменив гомотопию на гомологию: группа называется группой типа FH_п если он действует, как указано выше, на CW-комплекс, у которого п первые группы гомологий исчезают.

Свойства алгебраической конечности

Позволять ${ displaystyle Gamma}$ быть группой и ${ Displaystyle mathbb {Z} Gamma}$ это групповое кольцо. Группа ${ displaystyle Gamma}$ называется типом FP_п если существует разрешающая способность тривиального ${ Displaystyle mathbb {Z} Gamma}$-модуль ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ так что п первые члены конечно порождены проективный ${ Displaystyle mathbb {Z} Gamma}$-модули.^[2] Типы FP_∞ и FP определены очевидным образом.

То же утверждение с заменой проективных модулей на бесплатные модули определяет классы FL_п за п ≥ 1, FL_∞ и FL.

Также можно определять классы FP_п(р) и FL_п(р) для любого коммутативное кольцо р, заменив групповое кольцо ${ Displaystyle mathbb {Z} Gamma}$ к ${ displaystyle R Gamma}$ в определениях выше.

Любое из условий F_п или же FH_п подразумевать FP_п и FL_п (над любым коммутативным кольцом). Группа типа FP₁ тогда и только тогда, когда он конечно порожден,^[2] но для любого п ≥ 2 существуют группы типа FP_п но нет F_п.^[3]

Групповые когомологии

Если группа имеет тип FP_п то его группы когомологий ${ Displaystyle Н ^ {я} ( Гамма)}$ конечно порождены для ${ Displaystyle 0 Leq я Leq п}$. Если это типа FP тогда он имеет конечную когомологическую размерность. Таким образом, свойства конечности играют важную роль в теории когомологий групп.

Примеры

Конечные группы

Конечная группа ${ displaystyle G}$ свободно действует на единичной сфере в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ { mathbb {N}}}$, сохраняя CW-комплексную структуру с конечным числом ячеек в каждом измерении.^[4] Поскольку эта единичная сфера стягиваема, каждая конечная группа имеет тип F_∞.

А нетривиальный конечная группа никогда не бывает типа F потому что он имеет бесконечную когомологическую размерность. Отсюда также следует, что группа с нетривиальным торсионная подгруппа никогда не относится к типу F.

Нильпотентные группы

Если ${ displaystyle Gamma}$ это без кручения, конечно порожденная нильпотентная группа то это тип F.^[5]

Геометрические условия свойств конечности

Отрицательно изогнутые группы (гиперболический или же КОШКА (0) группы) всегда имеют тип F_∞.^[6][7] Такая группа имеет тип F тогда и только тогда, когда он без кручения.

Например, cocompact S-арифметические группы в алгебраические группы над числовые поля относятся к типу F_∞. Компактификация Бореля – Серра показывает, что это верно и для некокомпактных арифметических групп.

Арифметические группы более функциональные поля имеют очень разные свойства конечности: если ${ displaystyle Gamma}$ является арифметической группой в простой алгебраической группе классифицировать ${ displaystyle r}$ над полем глобальной функции (например, ${ Displaystyle mathbb {F} _ {q} (т)}$), то он имеет тип F_р но не типа F_{г + 1}.^[8]

Примечания

Рекомендации