Группы Томпсона - Thompson groups

В математика, то Группы Томпсона (также называемый Группы Томпсона, бродячие группы или же группы хамелеонов) три группы, обычно обозначаемый ${ Displaystyle F substeq T substeq V}$ , которые были представлены Ричардом Томпсоном в некоторых неопубликованных рукописных заметках в 1965 году как возможный контрпример к гипотеза фон Неймана. Из трех, F является наиболее широко изученным, и иногда его называют группа Томпсона или же Группа Томпсона.

Группы Томпсона и F в частности, обладают набором необычных свойств, которые сделали их контрпримерами ко многим общим гипотезам теории групп. Все три группы Томпсона бесконечны, но конечно представленный. Группы Т и V являются (редкими) примерами бесконечных, но конечно представленных простые группы. Группа F не простая, но производная от нее подгруппа [F,F] есть и частное от F по производной подгруппе является свободной абелевой группой ранга 2. F является полностью заказанный, имеет экспоненциальный рост, и не содержит подгруппа изоморфен свободная группа 2-го ранга.

Предполагается, что F не является послушный и, следовательно, еще один контрпример к давнему, но недавно опровергнутомугипотеза фон Неймана для конечно-определенных групп: известно, что F не является элементарный поддающийся.

Хигман (1974) ввел бесконечное семейство конечно определенных простых групп, включая группу Томпсона V как частный случай.

Презентаций

Конечное представление F дается следующим выражением:

{ displaystyle langle A, B mid [AB ^ {- 1}, A ^ {- 1} BA] = [AB ^ {- 1}, A ^ {- 2} BA ^ {2}] = mathrm {id} rangle}

куда [Икс,у] - обычная теория групп коммутатор, xyx⁻¹у⁻¹.

Несмотря на то что F имеет конечное представление с двумя образующими и двумя отношениями, его проще и интуитивно описать бесконечным представлением:

{ Displaystyle langle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, dots mid x_ {k} ^ {- 1} x_ {n} x_ {k} = x_ {n + 1} mathrm {for} k

Эти две презентации связаны между собой Икс₀=А, Икс_п = А^1−пBA^п−1 за п>0.

Другие представления

Группа Томпсона F генерируется такими операциями над двоичными деревьями. Здесь L и Т узлы, но А B и р можно заменить более общими деревьями.

Группа F также имеет реализации в плане операций с упорядоченными корневыми бинарные деревья, и как подгруппа кусочно-линейных гомеоморфизмы из единичный интервал которые сохраняют ориентацию и чьи недифференцируемые точки являются диадическими рациональными числами, а наклоны всех степеней двойки.

Группа F также может рассматриваться как действующее на единичный круг, идентифицируя две конечные точки единичного интервала, и группу Т - тогда группа автоморфизмов единичной окружности, полученная добавлением гомеоморфизма Икс→Икс+1/2 mod 1 к F. В бинарных деревьях это соответствует замене двух деревьев ниже корня. Группа V получается из Т добавляя разрывную карту, которая фиксирует точки полуоткрытого интервала [0,1 / 2) и меняет местами [1 / 2,3 / 4) и [3 / 4,1) очевидным образом. В бинарных деревьях это соответствует обмену двумя деревьями ниже правого потомка корня (если он существует).

Группа Томпсона F - группа сохраняющих порядок автоморфизмов свободных Алгебра Йонссона – Тарского на одном генераторе.

Снисходительность

Гипотеза Томпсона о том, что F не является послушный был дополнительно популяризирован Р. Геогеганом - см. также статью Кэннона-Флойда-Парри, цитируемую в приведенных ниже ссылках. Его текущий статус - открытый: Э. Шавгулидзе^[1] опубликовал статью в 2009 году, в которой утверждал, что доказывает, что F можно исправить, но была обнаружена ошибка, как объясняется в обзоре MR.

Известно, что F не является элементарный поддающийся см. теорему 4.10 в книге Кэннона-Флойда-Парри. Если F является нет приемлемым, то это будет еще один контрпример к давнишнему, но недавно опровергнутому гипотеза фон Неймана для конечно представленных групп, из которых следует, что конечно представленная группа аменабельна тогда и только тогда, когда она не содержит копии свободной группы ранга 2.

Связи с топологией

Группа F был повторно открыт топологами по крайней мере дважды в течение 1970-х годов. В статье, которая была опубликована намного позже, но в то время находилась в обращении в виде препринта, П. Фрейд и А. Хеллер ^[2] показал, что карта сдвига на F индуцирует нерасщепляемый гомотопический идемпотент на пространстве Эйленберга-Маклейна К (F, 1) и что это универсально в интересном смысле. Это подробно объясняется в книге Геогхегана (см. Ссылки ниже). Независимо, J. Dydak и P. Minc ^[3] создали менее известную модель F в связи с проблемой теории формы.

В 1979 г. Р. Геогеган высказал четыре предположения о F: (1) F имеет тип FP_∞; (2) Все гомотопические группы F на бесконечности тривиальны; (3) F не имеет неабелевых свободных подгрупп; (4) F не поддается. (1) было доказано К. С. Брауном и Р. Геогхеганом в сильной форме: существует K (F, 1) с двумя ячейками в каждом положительном измерении.^[4] (2) также было доказано Брауном и Геогеганом. ^[5] в том смысле, что когомологии H * (F, ZF) оказались тривиальными; поскольку предыдущая теорема М. Михалика ^[6] подразумевает, что F односвязен на бесконечности, и из сформулированного результата следует, что все гомологии на бесконечности равны нулю, следует утверждение о гомотопических группах. (3) было доказано М. Брином и К. Сквайером.^[7] Статус (4) обсуждается выше.

Неизвестно, если F удовлетворяет Гипотеза Фаррелла – Джонса. Неизвестно даже, была ли группа Уайтхеда F (видеть Кручение белой головки ) или проективную группу классов F (видеть Препятствие конечности стены ) тривиально, хотя легко показать, что F удовлетворяет гипотезе сильного баса.

Д. Фарли ^[8] показал, что F действует как преобразования колоды на локально конечном кубическом комплексе CAT (0) (обязательно бесконечной размерности). Следствием этого является то, что F удовлетворяет Гипотеза Баума-Конна.

Смотрите также

Рекомендации

^ Шавгулидзе, Э. (2009), "Группа Томпсона F аменабельна", Бесконечномерный анализ, квантовая вероятность и связанные темы, 12 (2): 173–191, Дои:10.1142 / s0219025709003719, МИСТЕР 2541392
^ Фрейд, Питер; Хеллер, Алекс (1993), "Расщепление гомотопических идемпотентов", Журнал чистой и прикладной алгебры, 89 (1–2): 93–106, Дои:10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-б, МИСТЕР 1239554
^ Дыдак, Ежи; Минц, Петр (1977), "Простое доказательство того, что точечные FANR-пространства являются регулярными фундаментальными ретрактами ANR", Bulletin de l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques and Physiques, 25: 55–62, МИСТЕР 0442918
^ Brown, K.S .; Геогеган, Росс (1984), Бесконечномерная группа FP_infinity без кручения, 77, стр. 367–381, Bibcode:1984InMat..77..367B, Дои:10.1007 / bf01388451, МИСТЕР 0752825
^ Brown, K.S .; Геогеган, Росс (1985), "Когомологии со свободными коэффициентами фундаментальной группы графа групп", Комментарии Mathematici Helvetici, 60: 31–45, Дои:10.1007 / bf02567398, МИСТЕР 0787660
^ Михалик, М. (1985), "Концы групп с целыми числами как фактор", Журнал чистой и прикладной алгебры, 35: 305–320, Дои:10.1016/0022-4049(85)90048-9, МИСТЕР 0777262
^ Брин, Мэтью .; Сквайер, Крейг (1985), "Группы кусочно линейных гомеоморфизмов вещественной прямой", Inventiones Mathematicae, 79 (3): 485–498, Bibcode:1985InMat..79..485B, Дои:10.1007 / bf01388519, МИСТЕР 0782231
^ Фарли, Д. (2003), "Конечность и свойства CAT (0) групп диаграмм", Топология, 42 (5): 1065–1082, Дои:10.1016 / с0040-9383 (02) 00029-0, МИСТЕР 1978047

Кэннон, Дж. У.; Флойд, В. Дж.; Парри, У. Р. (1996), «Вступительные заметки о группах Ричарда Томпсона» (PDF), L'Enseignement Mathématique, IIe Série, 42 (3): 215–256, ISSN 0013-8584, МИСТЕР 1426438
Кэннон, J.W .; Флойд, У.Дж. (сентябрь 2011 г.). "ЧТО ТАКОЕ ... Группа Томпсона?" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 58 (8): 1112–1113. ISSN 0002-9920. Получено 27 декабря, 2011.
Геогеган, Росс (2008), Топологические методы в теории групп, Тексты для выпускников по математике, 243, Springer Verlag, arXiv:математика / 0601683, Дои:10.1142 / S0129167X07004072, ISBN 978-0-387-74611-1, МИСТЕР 2325352
Хигман, Грэм (1974), Конечно определенные бесконечные простые группы, Заметки по чистой математике, 8, Отделение чистой математики, Отделение математики, I.A.S. Австралийский национальный университет, Канберра, ISBN 978-0-7081-0300-5, МИСТЕР 0376874

[1] Шавгулидзе, Э. (2009), "Группа Томпсона F аменабельна", Бесконечномерный анализ, квантовая вероятность и связанные темы, 12 (2): 173–191, Дои:10.1142 / s0219025709003719, МИСТЕР 2541392

[2] Фрейд, Питер; Хеллер, Алекс (1993), "Расщепление гомотопических идемпотентов", Журнал чистой и прикладной алгебры, 89 (1–2): 93–106, Дои:10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-б, МИСТЕР 1239554

[3] Дыдак, Ежи; Минц, Петр (1977), "Простое доказательство того, что точечные FANR-пространства являются регулярными фундаментальными ретрактами ANR", Bulletin de l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques and Physiques, 25: 55–62, МИСТЕР 0442918

[4] Brown, K.S .; Геогеган, Росс (1984), Бесконечномерная группа FP_infinity без кручения, 77, стр. 367–381, Bibcode:1984InMat..77..367B, Дои:10.1007 / bf01388451, МИСТЕР 0752825

[5] Brown, K.S .; Геогеган, Росс (1985), "Когомологии со свободными коэффициентами фундаментальной группы графа групп", Комментарии Mathematici Helvetici, 60: 31–45, Дои:10.1007 / bf02567398, МИСТЕР 0787660

[6] Михалик, М. (1985), "Концы групп с целыми числами как фактор", Журнал чистой и прикладной алгебры, 35: 305–320, Дои:10.1016/0022-4049(85)90048-9, МИСТЕР 0777262

[7] Брин, Мэтью .; Сквайер, Крейг (1985), "Группы кусочно линейных гомеоморфизмов вещественной прямой", Inventiones Mathematicae, 79 (3): 485–498, Bibcode:1985InMat..79..485B, Дои:10.1007 / bf01388519, МИСТЕР 0782231

[8] Фарли, Д. (2003), "Конечность и свойства CAT (0) групп диаграмм", Топология, 42 (5): 1065–1082, Дои:10.1016 / с0040-9383 (02) 00029-0, МИСТЕР 1978047

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]