Гипотеза Фаррелла – Джонса - Википедия - Farrell–Jones conjecture

В математике Гипотеза Фаррелла – Джонса,^[1] названный в честь Ф. Томас Фаррелл и Лоуэлл Э. Джонс, заявляет, что некоторые карты сборки находятся изоморфизмы. Эти карты даны как определенные гомоморфизмы.

Мотивация - интерес к цели сборочных карт; это может быть, например, алгебраическая K-теория из групповое кольцо

${ displaystyle K_ {n} (RG)}$

или L-теория группового кольца

${ displaystyle L_ {n} (RG)}$,

куда грамм некоторые группа.

Источниками сборочных карт являются эквивариантная теория гомологий оценивается на классификация пространства из грамм по отношению к семье практически циклические подгруппы из грамм. Предполагая, что гипотеза Фаррелла – Джонса верна, можно ограничить вычисления практически циклическими подгруппами, чтобы получить информацию о сложных объектах, таких как ${ displaystyle K_ {n} (RG)}$ или же ${ displaystyle L_ {n} (RG)}$.

В Гипотеза Баума – Конна формулирует аналогичное утверждение для топологическая K-теория редуцированной группы ${ displaystyle C ^ {*}}$-алгебры ${ displaystyle K_ {n} ^ {top} (C _ {*} ^ {r} (G))}$.

Формулировка

На любое кольцо можно найти ${ displaystyle R}$ эквивариантные теории гомологии ${ displaystyle KR _ {*} ^ {?}, LR _ {*} ^ {?}}$ удовлетворение

${ Displaystyle KR_ {n} ^ {G} ( { cdot }) ​​ cong K_ {n} (R [G])}$ соответственно ${ displaystyle LR_ {n} ^ {G} ( { cdot }) ​​ cong L_ {n} (R [G]).}$

Здесь ${ Displaystyle R [G]}$ обозначает групповое кольцо.

K-теоретическая гипотеза Фаррелла – Джонса для группы грамм заявляет, что карта ${ Displaystyle p: E_ {VCYC} (G) rightarrow { cdot }}$ индуцирует изоморфизм на гомологиях

${ Displaystyle KR _ {*} ^ {G} (p): KR _ {*} ^ {G} (E_ {VCYC} (G)) rightarrow KR _ {*} ^ {G} ( { cdot }) cong K _ {*} (R [G]).}$

Здесь ${ displaystyle E_ {VCYC} (G)}$ обозначает классификация пространства группы грамм относительно семейства практически циклических подгрупп, т.е. грамм-CW-комплекс, чей группы изотропии виртуально циклические и для любой практически циклической подгруппы группы грамм то набор фиксированной точки является стягиваемый.

Теоретическая L-гипотеза Фаррелла – Джонса аналогична.

Вычислительные аспекты

Вычисление алгебраических K-групп и L-групп группового кольца ${ Displaystyle R [G]}$ мотивируется препятствиями, живущими в этих группах (см., например, Препятствие конечности стены, обструкция хирургии, Кручение белой головки ). Итак, предположим, что группа ${ displaystyle G}$ удовлетворяет гипотезе Фаррелла – Джонса для алгебраической K-теории. Предположим, что мы уже нашли модель ${ displaystyle X}$ для классифицирующего пространства для виртуально циклических подгрупп:

${ displaystyle emptyset = X ^ {- 1} subset X ^ {0} subset X ^ {1} subset ldots subset X}$

выбирать ${ displaystyle G}$-pushouts и примените к ним последовательность Майера-Виеториса:

${ displaystyle KR_ {n} ^ {G} ( coprod _ {j in I_ {i}} G / H_ {j} times S ^ {i-1}) rightarrow KR_ {n} ^ {G} ( coprod _ {j in I_ {i}} G / H_ {j} times D ^ {i}) oplus KR_ {n} ^ {G} (X ^ {i-1}) rightarrow KR_ { п} ^ {G} (X ^ {i})}$${ displaystyle rightarrow KR_ {n-1} ^ {G} ( coprod _ {j in I_ {i}} G / H_ {j} times S ^ {i-1}) rightarrow KR_ {n- 1} ^ {G} ( coprod _ {j in I_ {i}} G / H_ {j} times D ^ {i}) oplus KR_ {n-1} ^ {G} (X ^ {i -1})}$

Эта последовательность упрощается до:

${ displaystyle bigoplus _ {j in I_ {i}} K_ {n} (R [H_ {j}]) oplus bigoplus _ {j in I_ {i}} K_ {n-1} (RH_ {j}) rightarrow bigoplus _ {j in I_ {i}} K_ {n} (RH_ {j}) oplus KR_ {n} ^ {G} (X ^ {i-1}) rightarrow KR_ {п} ^ {G} (X ^ {i})}$${ displaystyle rightarrow bigoplus _ {j in I_ {i}} K_ {n-1} (RH_ {j}) oplus bigoplus _ {j in I_ {i}} K_ {n-2} ( RH_ {j}) rightarrow bigoplus _ {j in I_ {i}} K_ {n-1} (RH_ {j}) oplus KR_ {n-1} ^ {G} (X ^ {i-1 })}$

Это означает, что если какая-либо группа удовлетворяет определенной гипотезе об изоморфизме, можно вычислить ее алгебраическую K-теорию (L-теорию), только зная алгебраическую K-теорию (L-теорию) виртуально циклических групп и зная подходящую модель для ${ displaystyle E_ {VCYC} (G)}$.

Почему семейство практически циклических подгрупп?

Можно также попытаться учесть, например, семейство конечных подгрупп. С этой семьей намного проще обращаться. Рассмотрим бесконечную циклическую группу ${ Displaystyle mathbb {Z}}$. Модель для ${ Displaystyle E_ {FIN} ( mathbb {Z})}$ дается реальной линией ${ Displaystyle mathbb {R}}$, на котором ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ свободно действует переводом. Используя свойства эквивариантной K-теории, получаем

${ Displaystyle K_ {n} ^ { mathbb {Z}} ( mathbb {R}) = K_ {n} (S ^ {1}) = K_ {n} (pt) oplus K_ {n-1} (pt) = K_ {n} (R) oplus K_ {n-1} (R).}$

В Разложение Басса-Хеллера-Свона дает

${ displaystyle K_ {n} ^ { mathbb {Z}} (pt) = K_ {n} (R [ mathbb {Z}]) cong K_ {n} (R) oplus K_ {n-1} (R) oplus NK_ {n} (R) oplus NK_ {n} (R).}$

Действительно, проверяется, что карта сборки задана каноническим включением.

${ Displaystyle K_ {n} (R) oplus K_ {n-1} (R) hookrightarrow K_ {n} (R) oplus K_ {n-1} (R) oplus NK_ {n} (R) oplus NK_ {n} (R)}$

Значит, это изоморфизм тогда и только тогда, когда ${ displaystyle NK_ {n} (R) = 0}$, что имеет место, если ${ displaystyle R}$ это обычное кольцо. Так что в этом случае действительно можно использовать семейство конечных подгрупп. С другой стороны, это показывает, что гипотеза об изоморфизме для алгебраической K-теории и семейства конечных подгрупп неверна. Необходимо распространить эту гипотезу на более широкое семейство подгрупп, которое содержит все контрпримеры. В настоящее время контрпримеры к гипотезе Фаррелла – Джонса не известны. Если есть контрпример, нужно расширить семейство подгрупп до большего семейства, которое содержит этот контрпример.

Наследование гипотез об изоморфизме

Класс групп, удовлетворяющих расслоенной гипотезе Фаррелла – Джонса, включает следующие группы

• виртуально циклические группы (определение)
• гиперболические группы (см. ^[2])
• CAT (0) -группы (см. ^[3])
• разрешимые группы (см. ^[4])
• отображение групп классов (см. ^[5])

Кроме того, у класса есть следующие свойства наследования:

• Замкнутый относительно конечных произведений групп.
• Закрыт при взятии подгруппы.

Мета-гипотеза и гипотезы о расслоенном изоморфизме

Зафиксируем эквивариантную теорию гомологий ${ displaystyle H _ {*} ^ {?}}$. Можно сказать, что группа грамм удовлетворяет гипотезе об изоморфизме семейства подгрупп${ displaystyle F}$, тогда и только тогда, когда отображение, индуцированное проекцией ${ Displaystyle E_ {F} (G) rightarrow { cdot }}$ индуцирует изоморфизм на гомологиях:

${ Displaystyle H _ {*} ^ {G} (E_ {F} (G)) rightarrow H _ {*} ^ {G} ( { cdot })}$

Группа грамм удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме семейства подгрупп F тогда и только тогда, когда для любого гомоморфизма групп ${ displaystyle alpha: H rightarrow G}$ группа ЧАС удовлетворяет гипотезе об изоморфизме семейства

${ Displaystyle альфа ^ {*} F: = {H ' leq H | alpha (H) in F }}$.

Сразу видно, что в этой ситуации ${ displaystyle H}$ также удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме семейства ${ displaystyle alpha ^ {*} F}$.

Принцип транзитивности

Принцип транзитивности - это инструмент для изменения семейства рассматриваемых подгрупп. Учитывая две семьи ${ Displaystyle F подмножество F '}$ подгрупп ${ displaystyle G}$. Предположим, что каждая группа ${ displaystyle H in F '}$ удовлетворяет гипотезе о (расслоенном) изоморфизме относительно семейства ${ Displaystyle F | _ {H}: = {H ' in F | H' подмножество H }}$.Тогда группа ${ displaystyle G}$ удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме относительно семейства ${ displaystyle F}$ тогда и только тогда, когда он удовлетворяет гипотезе о (расслоенном) изоморфизме относительно семейства ${ displaystyle F '}$.

Гипотезы об изоморфизмах и гомоморфизмы групп

Для любого гомоморфизма групп ${ displaystyle alpha двоеточие H rightarrow G}$ и предположим, что G "'удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме семейства F подгрупп. Тогда также H "'удовлетворяет гипотезе о расслоенном изоморфизме семейства ${ displaystyle alpha ^ {*} F}$. Например, если ${ displaystyle alpha}$ имеет конечное ядро ​​семейство ${ displaystyle alpha ^ {*} VCYC}$ согласуется с семейством практически циклических подгрупп группы ЧАС.

Для подходящих ${ displaystyle alpha}$ можно использовать принцип транзитивности, чтобы снова сократить семью.

Связь с другими предположениями

Гипотеза новикова

Есть также связи между гипотезой Фаррелла – Джонса и Гипотеза новикова. Известно, что если одна из следующих карт

${ displaystyle H _ {*} ^ {G} (E_ {VCYC} (G), L_ {R} ^ { langle - infty rangle}) rightarrow H _ {*} ^ {G} ( { cdot }, L_ {R} ^ { langle - infty rangle}) = L _ {*} ^ { langle - infty rangle} (RG)}$

${ displaystyle H _ {*} ^ {G} (E_ {FIN} (G), K ^ {top}) rightarrow H _ {*} ^ {G} ( { cdot }, K ^ {top}) = K_ {n} (C_ {r} ^ {*} (G))}$

рационально инъективно, то гипотеза Новикова верна для ${ displaystyle G}$. См., Например,.^[6][7]

Гипотеза Боста

Гипотеза Боста утверждает, что карта сборки

${ displaystyle H _ {*} ^ {G} (E_ {FIN} (G), K_ {l ^ {1}} ^ {top}) rightarrow H _ {*} ^ {G} ( { cdot } , K_ {l ^ {1}} ^ {top}) = K _ {*} (l ^ {1} (G))}$

является изоморфизмом. Гомоморфизм колец ${ Displaystyle l ^ {1} (G) rightarrow C_ {r} (G)}$ индуцирует отображения в K-теории ${ Displaystyle К _ {*} (l ^ {1} (G)) rightarrow K _ {*} (C_ {r} (G))}$. Составив верхнюю карту сборки с этим гомоморфизмом, мы получим в точности карту сборки, встречающуюся в Гипотеза Баума-Конна.

${ displaystyle H _ {*} ^ {G} (E_ {FIN} (G), K_ {l ^ {1}} ^ {top}) = H _ {*} ^ {G} (E_ {FIN} (G) , K ^ {top}) rightarrow H _ {*} ^ {G} ( { cdot }, K ^ {top}) = K _ {*} (C_ {r} (G))}$

Гипотеза Капланского

В Гипотеза Капланского предсказывает, что для области целостности ${ displaystyle R}$ и группа без кручения ${ displaystyle G}$ единственные идемпотенты в ${ Displaystyle R [G]}$ находятся ${ displaystyle 0,1}$. Каждый такой идемпотент ${ displaystyle p}$ дает проективный ${ Displaystyle R [G]}$ модуль, взяв образ правого умножения на ${ displaystyle p}$. Следовательно, кажется, существует связь между гипотезой Капланского и исчезновением ${ displaystyle K_ {0} (R [G])}$. Существуют теоремы, связывающие гипотезу Капланского с гипотезой Фаррелла – Джонса (ср. ^[8]).

Рекомендации