Препятствие конечности стен - Википедия - Walls finiteness obstruction

В геометрическая топология, область в математике, препятствие на пути к конечно-доминируемому пространству Икс существование гомотопический эквивалент к конечному CW-комплекс это его Препятствие конечности стены w (X) который является элементом приведенного нулевого алгебраическая K-теория ${ displaystyle { widetilde {K}} _ {0} ( mathbb {Z} [ pi _ {1} (X)])}$ интегрального групповое кольцо ${ Displaystyle mathbb {Z} [ pi _ {1} (X)]}$. Назван в честь математика. К. Т. К. Уолл.

Работой Джон Милнор^[1] на конечно-доминируемых пространствах не теряется общность, позволяя Икс быть CW-комплексом. А конечное господство из Икс конечный CW-комплекс K вместе с картами ${ displaystyle r: K to X}$ и ${ Displaystyle я двоеточие от X до K}$ такой, что ${ displaystyle r circ я simeq 1_ {X}}$. За счет конструкции Милнора можно расширить р к гомотопической эквивалентности ${ displaystyle { bar {r}} двоеточие { bar {K}} to X}$ куда ${ displaystyle { bar {K}}}$ CW-комплекс, полученный из K прикрепляя клетки, чтобы убить относительные гомотопические группы ${ Displaystyle пи _ {п} (г)}$.

Космос ${ displaystyle { bar {K}}}$ будет конечный если все относительные гомотопические группы конечно порождены. Уолл показал, что это будет так, если и только если его препятствие конечности исчезнет. Точнее, используя теорию покрывающих пространств и Теорема Гуревича можно идентифицировать ${ Displaystyle пи _ {п} (г)}$ с ${ displaystyle H_ {n} ({ widetilde {X}}, { widetilde {K}})}$. Затем Уолл показал, что комплекс клеточной цепи ${ displaystyle C _ {*} ({ widetilde {X}})}$ цепно-гомотопически эквивалентен цепному комплексу ${ displaystyle A _ {*}}$ конечного типа проективный ${ Displaystyle mathbb {Z} [ pi _ {1} (X)]}$-модули, и что ${ displaystyle H_ {n} ({ widetilde {X}}, { widetilde {K}}) cong H_ {n} (A _ {*})}$ будут конечно порождены тогда и только тогда, когда эти модули стабильно свободный. Стабильно-свободные модули исчезают в приведенной K-теории. Это мотивирует определение

${ displaystyle w (X) = sum _ {i} (- 1) ^ {i} [A_ {i}] in { widetilde {K}} _ {0} ( mathbb {Z} [ pi _ {1} (X)])}$.

Смотрите также

• Алгебраическая K-теория
• Кручение белой головки

Рекомендации

• Варадараджан, Калатор (1989), Препятствие конечности К. Т. К. Уолла, Серия монографий и продвинутых текстов Канадского математического общества, Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., ISBN  978-0-471-62306-9, МИСТЕР  0989589.
• Ферри, Стив; Раники, Андрей (2001), "Обзор препятствия конечности Уолла", Обзоры по теории хирургии, Vol. 2, Анналы математических исследований, 149, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 63–79, arXiv:математика / 0008070, Bibcode:2000математика ...... 8070F, МИСТЕР  1818772.
• Розенберг, Джонатан (2005), "K-теория и геометрическая топология », в Фридлендер, Эрик М.; Грейсон, Дэниел Р. (ред.), Справочник по K-Теория (PDF), Берлин: Springer, стр. 577–610, Дои:10.1007/978-3-540-27855-9_12, ISBN  978-3-540-23019-9, МИСТЕР  2181830