Кручение белой головки - Whitehead torsion

В геометрическая топология, область в математике, препятствие для гомотопическая эквивалентность ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ конечных CW-комплексы будучи простая гомотопическая эквивалентность это его Кручение белой головки ${ Displaystyle тау (е)}$ который является элементом Группа Уайтхеда ${ displaystyle operatorname {Wh} ( pi _ {1} (Y))}$. Эти концепции названы в честь математика. Дж. Х. К. Уайтхед.

Кручение Уайтхеда важно при применении теория хирургии не-односвязный коллекторы размерности> 4: для односвязных многообразий группа Уайтхеда равна нулю, и, таким образом, гомотопические эквивалентности и простые гомотопические эквивалентности совпадают. Приложения - к дифференцируемым многообразиям, многообразиям PL и топологическим многообразиям. Доказательства были впервые получены в начале 1960-х гг. Стивен Смейл, для дифференцируемых многообразий. Развитие ручка теория допускала почти одинаковые доказательства в категориях дифференцируемых и PL. Доказательства намного сложнее в топологической категории, требующей теории Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн. Ограничение на многообразия размерности больше четырех связано с применением Уитни уловка для снятия двойных точек.

Обобщая час-кобордизм В теореме, которая является утверждением об односвязных многообразиях, для неодносвязных многообразий необходимо различать простые гомотопические эквивалентности и непростые гомотопические эквивалентности. Пока час-кобордизм W между односвязными замкнутыми связными коллекторами M и N измерения п > 4 изоморфен цилиндру (соответствующую гомотопическую эквивалентность можно принять за диффеоморфизм, PL-изоморфизм или гомеоморфизм соответственно), s-теорема -кобордизм утверждает, что если многообразия не односвязны, час-кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения ${ Displaystyle M hookrightarrow W}$ исчезает.

Группа Уайтхеда

В Группа Уайтхеда связного CW-комплекса или многообразия M равна группе Уайтхеда ${ displaystyle operatorname {Wh} ( pi _ {1} (M))}$ из фундаментальная группа ${ Displaystyle pi _ {1} (М)}$ из M.

Если г это группа, Группа Уайтхеда ${ displaystyle operatorname {Wh} (G)}$ определяется как коядро карты ${ Displaystyle G times { pm 1 } к K_ {1} ( mathbb {Z} [G])}$ который отправляет (г, ± 1) к обратимой (1,1) -матрице (±г). Вот ${ Displaystyle mathbb {Z} [G]}$ это групповое кольцо из г. Напомним, что K-группа K₁(А) кольца А определяется как фактор группы GL (A) по подгруппе, порожденной элементарные матрицы. Группа GL (А) это прямой предел конечномерных групп GL (п, А) → GL (п+1, А); конкретно, группа обратимых бесконечных матриц, которые отличаются от единичной матрицы только конечным числом коэффициентов. An элементарная матрица вот трансвекция: один такой, что все главная диагональ элементов равны 1, и есть не более одного ненулевого элемента не на диагонали. Подгруппа, порожденная элементарными матрицами, - это в точности производная подгруппа, другими словами, наименьшая нормальная подгруппа такая, что фактор по ней абелева.

Другими словами, группа Уайтхеда ${ displaystyle operatorname {Wh} (G)}$ группы г является частным от ${ Displaystyle OperatorName {GL} ( mathbb {Z} [G])}$ подгруппой, порожденной элементарными матрицами, элементы г и ${ displaystyle pm 1}$. Обратите внимание, что это то же самое, что фактор приведенной K-группы ${ Displaystyle { тильда {K}} _ {1} ( mathbb {Z} [G])}$ от г.

Примеры

• Группа Уайтхеда тривиальная группа тривиально. Поскольку групповое кольцо тривиальной группы является ${ displaystyle mathbb {Z},}$ мы должны показать, что любая матрица может быть записана как произведение элементарных матриц на диагональную матрицу; это легко следует из того факта, что ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ это Евклидова область.

• Группа Уайтхеда свободная абелева группа тривиально, результат 1964 года Хайман Басс, Алекс Хеллер и Ричард Свон. Это довольно сложно доказать, но важно, поскольку оно используется в доказательстве того, что s-кобордизм размерности не менее 6, концы которого тори это продукт. Это также ключевой алгебраический результат, используемый в теория хирургии классификация кусочно-линейный коллекторы размерности не менее 5, которые гомотопически эквивалентны тор; это важный компонент структурной теории Кирби – Зибенмана 1969 г. топологические многообразия размером не менее 5.

• Группа Уайтхеда группа кос (или любая подгруппа группы кос) тривиальна. Это было доказано Ф. Томас Фаррелл и Сайед К. Рушон.

• Группа Уайтхеда циклические группы порядков 2, 3, 4 и 6 тривиальны.

• Группа Уайтхеда циклической группы порядка 5 есть ${ Displaystyle mathbb {Z}}$. Это было доказано в 1940 г. Грэм Хигман. Пример нетривиальной единицы в групповом кольце возникает из тождества ${ Displaystyle (1-т-т ^ {4}) (1-т ^ {2} -т ^ {3}) = 1,}$ где т является генератором циклической группы порядка 5. Этот пример тесно связан с существованием единиц бесконечного порядка (в частности, Золотое сечение ) в кольце целых чисел кругового поля, порожденного корнями пятой степени из единицы.

• Группа Уайтхеда любой конечной группы г конечно порожден, ранг равен числу неприводимых реальные представления из г минус количество неприводимых рациональные представления. это было доказано в 1965 году Бассом.

• Если г конечная циклическая группа, то ${ Displaystyle К_ {1} ( mathbb {Z} [G])}$ изоморфна единицам группового кольца ${ Displaystyle mathbb {Z} [G]}$ под детерминантным отображением, поэтому Wh (г) - это просто группа единиц ${ Displaystyle mathbb {Z} [G]}$ по модулю группы «тривиальных единиц», порожденной элементами г и −1.

• Хорошо известна гипотеза о том, что группа Уайтхеда любой группы без кручения должна исчезнуть.

Торсион Уайтхеда

Сначала определим Кручение белой головки ${ Displaystyle тау (ч _ {*}) ин { тильда {K}} _ {1} (R)}$ для цепной гомотопической эквивалентности ${ displaystyle h _ {*}: D _ {*} to E _ {*}}$ конечных бесплатных р-цепные комплексы. Мы можем сопоставить гомотопической эквивалентности ее картографический конус C_* : = конус_*(час_*) который является стягиваемым конечным базируемым свободным р-цепной комплекс. Позволять ${ displaystyle gamma _ {*}: C _ {*} to C _ {* + 1}}$ - любое цепное сжатие конуса отображения, т. е. ${ displaystyle c_ {n + 1} circ gamma _ {n} + gamma _ {n-1} circ c_ {n} = operatorname {id} _ {C_ {n}}}$ для всех п. Получаем изоморфизм ${ displaystyle (c _ {*} + gamma _ {*}) _ { mathrm {odd}}: C _ { mathrm {odd}} to C _ { mathrm {even}}}$ с участием

${ displaystyle C _ { mathrm {odd}}: = bigoplus _ {n { text {odd}}} C_ {n}, qquad C _ { mathrm {even}}: = bigoplus _ {n { текст {even}}} C_ {n}.}$

Мы определяем ${ Displaystyle тау (ч _ {*}): = [A] in { tilde {K}} _ {1} (R)}$, где А матрица ${ displaystyle (c _ {*} + gamma _ {*}) _ { rm {odd}}}$ по данным базам.

Для гомотопической эквивалентности ${ displaystyle f: от X до Y}$ связных конечных CW-комплексов определим Кручение белой головки ${ Displaystyle тау (е) в OperatorName {Wh} ( pi _ {1} (Y))}$ следующим образом. Позволять ${ displaystyle { tilde {f}}: { tilde {X}} to { tilde {Y}}}$ быть лифтом ${ displaystyle f: от X до Y}$ к универсальному покрытию. Это побуждает ${ Displaystyle mathbb {Z} [ pi _ {1} (Y)]}$-цепные гомотопические эквивалентности ${ displaystyle C _ {*} ({ tilde {f}}): C _ {*} ({ tilde {X}}) to C _ {*} ({ tilde {Y}})}$. Теперь мы можем применить определение кручения Уайтхеда для цепной гомотопической эквивалентности и получить элемент в ${ Displaystyle { тильда {K}} _ {1} ( mathbb {Z} [ pi _ {1} (Y)])}$ которое мы отображаем в Wh (π₁(Y)). Это кручение Уайтхеда τ (ƒ) ∈ Wh (π₁(Y)).

Свойства

Гомотопическая инвариантность: Пусть ж, г: Икс → Y - гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Если ж и г гомотопны, то τ(ж) = τ(г).

Топологическая инвариантность: если ж: Икс → Y является гомеоморфизмом конечных связных CW-комплексов, то τ(ж) = 0.

Формула композиции: Пусть ж: Икс → Y, г: Y → Z - гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. потом ${ Displaystyle тау (г CIRC F) = г _ {*} тау (е) + тау (г)}$.

Геометрическая интерпретация

В теорема о s-кобордизме состояния замкнутого связного ориентированного многообразия M измерения п > 4, что h-кобордизм W между M и еще один коллектор N тривиально над M тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения ${ Displaystyle M hookrightarrow W}$ исчезает. Более того, для любого элемента в группе Уайтхеда существует h-кобордизм W над M у которого кручение Уайтхеда является рассматриваемым элементом. Доказательства используют обрабатывать разложения.

Существует теоретико-гомотопический аналог теоремы о s-кобордизме. Учитывая CW-комплекс А, рассмотрим множество всех пар CW-комплексов (Икс, А) такой, что включение А в Икс является гомотопической эквивалентностью. Две пары (Икс₁, А) и (Икс₂, А) называются эквивалентными, если существует простая гомотопическая эквивалентность между Икс₁ и Икс₂ относительно А. Множество таких классов эквивалентности образуют группу, в которой сложение задается объединением Икс₁ и Икс₂ с общим подпространством А. Эта группа естественным образом изоморфна группе Уайтхеда Wh (А) CW-комплекса А. Доказательство этого факта аналогично доказательству теорема о s-кобордизме.

Смотрите также

• Алгебраическая K-теория
• Кручение Рейдемейстера
• теорема s-кобордизма
• Препятствие конечности стены

использованная литература

• Бас, Хайман; Хеллер, Алекс; Свон, Ричард (1964), «Группа Уайтхеда полиномиального расширения», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 22: 61–79, Г-Н  0174605
• Коэн, М. Курс простой теории гомотопий Текст для выпускников по математике 10, Springer, 1973
• Хигман, Грэм (1940), «Узлы групп-колец», Труды Лондонского математического общества, 2, 46: 231–248, Дои:10.1112 / плмс / с2-46.1.231, Г-Н  0002137
• Кирби, Робион; Зибенманн, Лоран (1977), Основные очерки топологических многообразий, сглаживаний и триангуляций, Анналы математических исследований, 88, Princeton University Press Принстон, штат Нью-Джерси; Университет Токио Пресс, Токио
• Милнор, Джон (1966), "Кручение Уайтхеда", Бюллетень Американского математического общества, 72: 358–426, Дои:10.1090 / S0002-9904-1966-11484-2, Г-Н  0196736
• Смейл, Стивен (1962), «О строении многообразий», Американский журнал математики, 84: 387–399, Дои:10.2307/2372978, Г-Н  0153022
• Уайтхед, Дж. Х. С. (1950), «Простые гомотопические типы», Американский журнал математики, 72: 1–57, Дои:10.2307/2372133, Г-Н  0035437

внешние ссылки

• Описание кручения Уайтхеда находится во втором разделе..