−1 - −1

← −2−1 0 →
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Кардинал−1, минус один, отрицательный
Порядковый−1st (сначала отрицательное)
арабский١
Китайская цифра负 一 , 负 弌 , 负 壹
Бенгальский
Двоичный (байт )
S&M: 1000000012
2sC: 111111112
Hex (байт )
S&M: 0x10116
2sC: 0xFF16

В математика, −1 это Противоположное число из 1, то есть число, которое при добавлен к 1 дает аддитивный элемент идентичности 0. Это отрицательный целое число больше, чем два отрицательных (-2) и меньше, чем0.

Отрицательный имеет отношение к Тождество Эйлера поскольку еяπ = −1.

В разработка программного обеспечения, −1 является обычным начальным значением для целых чисел и также используется, чтобы показать, что переменная не содержит полезной информации.

Отрицательный имеет некоторые похожие, но немного отличающиеся свойства от положительного.[1]

Алгебраические свойства

Умножение числа на -1 равносильно изменению знака числа. Это можно доказать с помощью распределительный закон и аксиома, что 1 - мультипликативное тождество: для Икс настоящий, у нас есть

где мы использовали тот факт, что любой реальный Икс умноженное на 0 равно 0, подразумевается отмена из уравнения

0, 1, −1, я, и -я в сложный или же декартова плоскость

Другими словами,

так что (−1) ·Икс, или -Икс, является арифметическим обратным Икс.

Квадрат −1

В квадрат −1, то есть −1, умноженный на −1, равен 1. Как следствие, произведение двух отрицательных действительных чисел положительно.

Для алгебраического доказательства этого результата начнем с уравнения

Первое равенство следует из приведенного выше результата. Второе следует из определения −1 как аддитивного обратного к 1: это именно то число, которое при добавлении к 1 дает 0. Теперь, используя закон распределения, мы видим, что

Второе равенство следует из того, что 1 - мультипликативное тождество. Но теперь добавление 1 к обеим сторонам этого последнего уравнения означает

Приведенные выше аргументы верны в любом звенеть, концепция абстрактная алгебра обобщающие целые и действительные числа.

Квадратные корни из −1

Хотя нет настоящий квадратные корни из -1, комплексное число я удовлетворяет я2 = −1, и поэтому может рассматриваться как квадратный корень -1. Единственное другое комплексное число, квадрат которого равен −1, это -я потому что основная теорема алгебры, у любого ненулевого комплексного числа есть ровно два квадратных корня. В алгебре кватернионы (где основная теорема не применяется), которые содержат комплексную плоскость, уравнение Икс2 = −1 имеет бесконечно много решений.

Возведение в степень до отрицательных целых чисел

Возведение в степень ненулевого действительного числа можно продолжить до отрицательные целые числа. Мы даем определение, что Икс−1 = 1/Икс, что означает, что мы определяем возведение числа в степень −1, чтобы иметь тот же эффект, что и взаимный. Затем это определение распространяется на отрицательные целые числа, сохраняя экспоненциальный закон ИксаИксб = Икс(а + б) для реальных чисел а и б.

Возведение в степень до отрицательных целых чисел можно распространить на обратимые элементы кольца, определив Икс−1 как мультипликативный обратный Икс.

−1, которое появляется как верхний индекс функции, не означает взятие (поточечной) обратной величины этой функции, а скорее, обратная функция (или в более общем смысле обратное отношение ) функции. Например, ж−1(Икс) является обратным ж(Икс), или грех−1(Икс) является обозначением арксинус функция. Когда подмножество codomain указывается внутри функции, вместо этого он обозначает прообраз этого подмножества codomain под функцией.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Математический анализ и приложения Джаянт В. Дешпанде, ISBN  1-84265-189-7