Лемма о поднятии экспоненты - Википедия - Lifting-the-exponent lemma

В элементарном теория чисел, то лемма о поднятии экспоненты (LTE) предоставляет несколько формул для вычисления p-адическая оценка специальных форм целых чисел. Лемма названа так потому, что описывает шаги, необходимые для «поднятия» показателя степени в таких выражениях. Это связано с Лемма Гензеля.

Фон

Точное происхождение леммы LTE неясно; результат с его нынешним названием и формой стал известен только в течение последних 10–20 лет.[1] Однако несколько ключевых идей, использованных в его доказательстве, были известны Гаусс и упоминается в его Disquisitiones Arithmeticae.[2] Несмотря на то, что главным образом математические олимпиады, иногда его применяют к темам исследований, например эллиптические кривые.[3][4]

Заявления

Для любых целых чисел и положительные целые числа и , куда такое простое число, что и , выполняются следующие тождества:

  • Когда странно:
    • Если , .
    • Если это странно и , .
  • Когда :
    • Если , .
    • Если и даже, .
  • Для всех :
    • Если и , .
    • Если , и странный, .

Схема доказательства

Базовый вариант

Базовый случай когда доказано первым. Потому что ,

Дело в том, что завершает доказательство. Условие для нечетных похож.

Общий случай (нечетный п)

Через биномиальное разложение, замена можно использовать в (1), чтобы показать, что потому что (1) кратно но нет .[1] Так же, .

Тогда, если записывается как куда , базовый случай дает . Индукцией по ,

Аналогичный аргумент можно применить для .

Общий случай (п = 2)

Доказательство странного случай не может применяться напрямую, когда потому что биномиальный коэффициент является лишь целым кратным когда странно.

Однако можно показать, что когда написав куда и целые числа с странно и отмечая, что

потому что с тех пор , каждый множитель в разности шага квадратов имеет вид сравнимо с 2 по модулю 4.

Более сильное заявление когда доказывается аналогично.[1]

В соревнованиях

Пример проблемы

Лемму LTE можно использовать для решения 2020 AIME I # 12:

Позволять - наименьшее положительное целое число, для которого делится на Найдите количество положительных целых делителей числа .[5]

Решение. Обратите внимание, что . Используя лемму LTE, поскольку и но , . Таким образом, . По аналогии, но , так и .

С , множители 5 обращаются, замечая, что, поскольку остатки по модулю 5 следовать циклу и те из следовать циклу , остатки по модулю 5 цикл по последовательности . Таким образом, если только для некоторого положительного целого числа . Теперь можно снова применить лемму LTE: . С , . Следовательно .

Комбинируя эти три результата, мы обнаружили, что , у которого есть положительные делители.

Рекомендации

  1. ^ а б c Паварди, А. Х. (2011). Поднятие леммы об экспоненте (LTE). Получено 11 июля 2020 г., из http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.221.5543 (Примечание: старая ссылка на статью не работает; попробуйте https://s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/lifting-the-exponent.pdf вместо.)
  2. ^ Гаусс, К. (1801) Disquisitiones arithmeticae. Результаты показаны в статьях 86–87. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235993352?tify={%22pages%22%3A%5B70%5D}
  3. ^ Геречлегер, Р. (2020). Привлечение молодых студентов к математике через соревнования - Мировые перспективы и практика. World Scientific. https://books.google.com/books?id=FNPkDwAAQBAJ&lpg=PA3&ots=rkjtruFbsM&lr&pg=PP1
  4. ^ Хойбергер, К. и Маццоли, М. (2017). Эллиптические кривые с изоморфными группами точек над конечными расширениями поля. Журнал теории чисел, 181, 89–98. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.05.028
  5. ^ 2020 AIME I. Проблемы. (2020). Искусство решения проблем. Получено 11 июля 2020 г., из https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2020_AIME_I_Problems