Матрица Жордана - Jordan matrix

в математический дисциплина матричная теория, а Иорданский блок через кольцо ${displaystyle R}$ (чья идентичности являются нуль 0 и один 1) является матрица состоит из нулей везде, кроме диагонали, заполненной фиксированным элементом ${displaystyle lambda in R}$ , а для супердиагональ, который состоит из единиц. Концепция названа в честь Камилла Джордан.

{displaystyle {egin {pmatrix} лямбда & 1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & lambda & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & lambda end {pmatrix}}}

Таким образом, каждая жорданова клетка определяется своей размерностью п и это собственное значение ${displaystyle lambda}$ и обозначается как ${displaystyle J_ {lambda, n}}$ .Любой блочно-диагональная матрица блоки которого являются жордановыми блоками, называется Матрица Жордана; используя либо ${displaystyle oplus}$ или " ${displaystyle mathrm {diag}}$ ”Символ ${displaystyle (n_ {1} + ldots + n_ {r}) imes (n_ {1} + ldots + n_ {r})}$ блочная диагональная квадратная матрица, состоящая из ${displaystyle r}$ диагональные блоки, где первый ${displaystyle J_ {lambda _ {1}, n_ {1}}}$ , второй ${displaystyle J_ {lambda _ {2}, n_ {2}}}$ , ${displaystyle ldots}$ , то ${displaystyle r}$ -это ${displaystyle J_ {lambda _ {r}, n_ {r}}}$ , можно компактно обозначить как ${displaystyle J_ {lambda _ {1}, n_ {1}} oplus ldots oplus J_ {lambda _ {r}, n_ {r}}}$ или ${displaystyle mathrm {diag} left (J_ {lambda _ {1}, n_ {1}}, ldots, J_ {lambda _ {r}, n_ {r}} ight)}$ соответственно. Например, матрица

{Displaystyle J = левый ({Egin {массив} {ссс | сс | сс | ссс} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 HLine 0 & 0 & 0 & я & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & я & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 HLine 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & я & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & я & 0 & 0 & 0 HLine 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7end {массив}} РАВО)}

это ${displaystyle 10 imes 10}$ Жорданова матрица с ${displaystyle 3 imes 3}$ блок с собственное значение ${displaystyle 0}$ , два ${displaystyle 2 imes 2}$ блоки с собственным значением мнимая единица ${displaystyle i}$ , а ${displaystyle 3 imes 3}$ блок с собственным значением 7. Его жорданова блочная структура также может быть записана как ${displaystyle J_ {0,3} oplus J_ {i, 2} oplus J_ {i, 2} oplus J_ {7,3}}$ или ${displaystyle mathrm {diag} left (J_ {0,3}, J_ {i, 2}, J_ {i, 2}, J_ {7,3} ight)}$ .

Линейная алгебра

Любые ${displaystyle n imes n}$ квадратная матрица ${displaystyle A}$ чьи элементы находятся в алгебраически замкнутое поле ${displaystyle K}$ является аналогичный к жордановой матрице ${displaystyle J}$ , Также в ${displaystyle mathbb {M} _ {n} (K)}$ , который уникален с точностью до перестановки самих его диагональных блоков. ${displaystyle J}$ называется Нормальная форма Джордана из ${displaystyle A}$ и соответствует обобщению процедуры диагонализации.^[1]^[2]^[3] А диагонализуемая матрица фактически похожа на частный случай жордановой матрицы: матрица, все блоки которой состоят из ${displaystyle 1 imes 1}$ .^[4]^[5]^[6]

В более общем смысле, учитывая матрицу Жордана ${displaystyle J = J_ {lambda _ {1}, m_ {1}} oplus J_ {lambda _ {2}, m_ {2}} oplus ldots oplus J_ {lambda _ {N}, m_ {N}}}$ , т.е. чьи ${displaystyle k ^ {ext {th}}}$ диагональный блок, ${displaystyle 1leq kleq N}$ это жорданский блок ${displaystyle J_ {lambda _ {k}, m_ {k}}}$ и чьи диагональные элементы ${displaystyle lambda _ {k}}$ не все могут быть отличными, геометрическая кратность из ${displaystyle lambda in K}$ для матрицы ${displaystyle J}$ , обозначенный как ${displaystyle mathrm {gmul} _ {J} лямбда,}$ , соответствует количеству жордановых блоков, собственное значение которых ${displaystyle lambda}$ . В то время как показатель собственного значения ${displaystyle lambda}$ за ${displaystyle J}$ , обозначенный как ${displaystyle mathrm {idx} _ {J} лямбда,}$ , определяется как размерность наибольшего жорданова блока, связанного с этим собственным значением.

То же самое для всех матриц ${displaystyle A}$ похожий на ${displaystyle J}$ , так ${displaystyle mathrm {idx} _ {A} лямбда,}$ можно определить соответственно относительно Нормальная форма Джордана из ${displaystyle A}$ для любого из его собственных значений ${displaystyle lambda in mathrm {spec} A}$ . В этом случае можно проверить, что индекс ${displaystyle lambda}$ за ${displaystyle A}$ равна своей кратности как a корень из минимальный многочлен из ${displaystyle A}$ (тогда как, по определению, его алгебраическая кратность за ${displaystyle A}$ , ${displaystyle mathrm {mul} _ {A} лямбда,}$ , является его кратностью как корня характеристический многочлен из ${displaystyle A}$ , т.е. ${displaystyle det (A-xI) в K [x]}$ Эквивалентное необходимое и достаточное условие для ${displaystyle A}$ быть диагонализуемым в ${displaystyle K}$ в том, что все его собственные значения имеют индекс, равный ${displaystyle 1}$ , т.е. его минимальный многочлен имеет только простые корни.

Обратите внимание, что знание спектра матрицы со всеми ее алгебраическими / геометрическими кратностями и индексами не всегда позволяет вычислить ее Нормальная форма Джордана (это может быть достаточным условием только для спектрально простых, обычно низкоразмерных матриц): Разложение Жордана - это, в общем, сложная вычислительная задача. векторное пространство точка зрения, Разложение Жордана эквивалентно нахождению ортогонального разложения (т.е. через прямые суммы собственных подпространств, представленных жордановыми блоками) области, с которой связаны обобщенные собственные векторы сделать основу для.

Функции матриц

Позволять ${displaystyle Ain mathbb {M} _ {n} (mathbb {C})}$ (т.е. ${displaystyle n imes n}$ комплексная матрица) и ${displaystyle Cin mathrm {GL} _ {n} (mathbb {C})}$ быть изменение основы матрица к Нормальная форма Джордана из ${displaystyle A}$ , т.е. ${displaystyle A = C ^ {- 1} JC}$ .Теперь пусть ${displaystyle f (z)}$ быть голоморфная функция на открытой площадке ${displaystyle {mathit {Omega}}}$ такой, что ${displaystyle mathrm {spec} Asubset {mathit {Omega}} substeq mathbb {C}}$ , т.е. спектр матрицы содержится внутри область голоморфности из ${displaystyle f}$ . Позволять

{displaystyle f (z) = сумма _ {h = 0} ^ {infty} a_ {h} (z-z_ {0}) ^ {h}}

быть степенной ряд расширение ${displaystyle f}$ около ${displaystyle z_ {0} в {mathit {Omega}} setminus mathrm {spec} A}$ , который в дальнейшем предполагается 0 для простоты. Матрица ${displaystyle f (A)}$ тогда определяется с помощью следующего формальный степенной ряд

{displaystyle f (A) = sum _ {h = 0} ^ {infty} a_ {h} A ^ {h}}

и является абсолютно сходящийся с уважением к Евклидова норма из ${displaystyle mathbb {M} _ {n} (mathbb {C})}$ . Другими словами, ${displaystyle f (A),}$ сходится абсолютно для любой квадратной матрицы, у которой спектральный радиус меньше чем радиус схождения из ${displaystyle f}$ около ${displaystyle 0}$ и является равномерно сходящийся на любых компактных подмножествах ${displaystyle mathbb {M} _ {n} (mathbb {C})}$ удовлетворяющий этому свойству в матричная группа Ли топология.

В Нормальная форма Джордана позволяет вычислять функции матриц без явного вычисления бесконечная серия, что является одним из основных достижений жордановых матриц. Используя факты, ${displaystyle k ^ {mathrm {th}}}$ мощность ( ${displaystyle kin mathbb {N} _ {0}}$ ) диагонали блочная матрица - диагональная блочная матрица, блоки которой являются ${displaystyle k ^ {mathrm {th}}}$ мощности соответствующих блоков, т.е. ${displaystyle left (A_ {1} oplus A_ {2} oplus A_ {3} oplus ldots ight) ^ {k} = A_ {1} ^ {k} oplus A_ {2} ^ {k} oplus A_ {3} ^ {k} oplus ldots}$ , и это ${displaystyle A ^ {k} = C ^ {- 1} J ^ {k} C,}$ , приведенный выше матричный степенной ряд становится

{displaystyle f (A) = C ^ {- 1} f (J) C = C ^ {- 1} влево (igoplus _ {k = 1} ^ {N} влево (J_ {лямбда _ {k}, m_ { k}} ight) ight) C}

где последний ряд не нужно вычислять явно через степенной ряд каждой жордановой клетки. Фактически, если ${displaystyle lambda in {mathit {Omega}}}$ , Любые голоморфная функция блока Иордании ${displaystyle f (J_ {lambda, n}),}$ следующий верхний треугольная матрица:

{displaystyle f (J_ {lambda, n}) = left ({egin {matrix} f (lambda) & f ^ {prime} (lambda) & {frac {f ^ {prime prime} (lambda)} {2}} & cdots & {frac {f ^ {(n-2)} (lambda)} {(n-2)!}} & {frac {f ^ {(n-1)} (lambda)} {(n-1)! }} 0 & f (лямбда) & f ^ {prime} (лямбда) & cdots & {frac {f ^ {(n-3)} (lambda)} {(n-3)!}} & {Frac {f ^ {( n-2)} (lambda)} {(n-2)!}} 0 & 0 & f (lambda) & cdots & {frac {f ^ {(n-4)} (lambda)} {(n-4)!}} & {frac {f ^ {(n-3)} (лямбда)} {(n-3)!}} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & f (лямбда) & f ^ {prime} (лямбда) 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & f (лямбда) end {matrix}} ight) = left ({egin {matrix} a_ {0} & a_ {1} & a_ {2} & cdots & a_ {n-2} & a_ {n-1} 0 & a_ {0} & a_ {1} & cdots & a_ {n-3} & a_ {n-2} 0 & 0 & a_ {0} & cdots & a_ {n-4} & a_ {n-3} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & a_ {1} & a_ } 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & a_ {0} end {matrix}} ight).}

Как следствие этого, вычисление любых функций матрицы является простым, если известны ее жорданова нормальная форма и матрица замены базиса. ${displaystyle mathrm {spec} f (A) = f (mathrm {spec} A)}$ , т.е. каждое собственное значение ${displaystyle lambda in mathrm {spec} A}$ соответствует собственному значению ${displaystyle f (лямбда) в mathrm {spec} f (A)}$ , но в целом у него разные алгебраическая кратность, геометрическая кратность и индекс. Однако алгебраическая кратность может быть вычислена следующим образом:

{displaystyle {ext {mul}} _ {f (A)} f (lambda) = sum _ {mu in {ext {spec}} Acap f ^ {- 1} (f (lambda))} ~ {ext {mul }} _ {A} мю.,}

Функция ${displaystyle f (T)}$ из линейное преобразование ${displaystyle T}$ между векторными пространствами можно определить аналогичным образом в соответствии с голоморфное функциональное исчисление, где Банахово пространство и Риманова поверхность теории играют фундаментальную роль. В случае конечномерных пространств обе теории полностью совпадают.

Динамические системы

Теперь предположим (комплекс) динамическая система просто определяется уравнением

{displaystyle {точка {mathbf {z}}} (t) = A (mathbf {c}) mathbf {z} (t),}

{displaystyle mathbf {z} (0) = mathbf {z} _ {0} в mathbb {C} ^ {n},}

где ${displaystyle mathbf {z}: mathbb {R _ {+}} ightarrow {mathcal {R}}}$ это ( ${displaystyle n}$ -мерная) кривая параметризации орбиты на Риманова поверхность ${displaystyle {mathcal {R}}}$ динамической системы, тогда как ${displaystyle A (mathbf {c})}$ является ${displaystyle n imes n}$ комплексная матрица, элементы которой являются комплексными функциями ${displaystyle d}$ -размерный параметр ${displaystyle mathbf {c} в mathbb {C} ^ {d}}$ .Даже если ${displaystyle Ain mathbb {M} _ {n} left (mathrm {C} ^ {0} (mathbb {C} ^ {d}) ight)}$ (т.е. ${displaystyle A}$ непрерывно зависит от параметра ${displaystyle mathbf {c}}$ ) Нормальная форма Джордана матрицы непрерывно деформируется почти всюду на ${displaystyle mathbb {C} ^ {d}}$ а вообще, нет везде: есть какое-то критическое подмногообразие ${displaystyle mathbb {C} ^ {d}}$ на котором жорданова форма резко меняет свою структуру всякий раз, когда параметр пересекает или просто «путешествует» вокруг нее (монодромия ). Такие изменения означают, что несколько блоков Жордана (принадлежащих разным собственным значениям или нет) объединяются в уникальный блок Жордана или наоборот (т. Е. Один блок Жордана разделяется на два или более разных). теория бифуркации как для непрерывных, так и для дискретных динамических систем можно интерпретировать с помощью анализа функциональных жордановых матриц.

От касательное пространство динамики, это означает, что ортогональное разложение динамической системы фазовое пространство изменяется, и, например, разные орбиты приобретают периодичность или теряют ее, или переходят от одной периодичности к другой (например, удвоение периода, ср. логистическая карта ).

В предложении качественное поведение такой динамической системы может существенно измениться по мере того, как версальная деформация жордановой нормальной формы ${displaystyle A (mathbf {c})}$ .

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения

Простейший пример динамическая система представляет собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т. е. пусть ${displaystyle Ain mathbb {M} _ {n} (mathbb {C})}$ и ${displaystyle mathbf {z} _ {0} в mathbb {C} ^ {n}}$ :

{displaystyle {точка {mathbf {z}}} (t) = Amathbf {z} (t),}

{displaystyle mathbf {z} (0) = mathbf {z} _ {0},}

прямое решение которой в замкнутой форме включает вычисление матричная экспонента:

{displaystyle mathbf {z} (t) = e ^ {tA} mathbf {z} _ {0}.}

Другой способ, если решение ограничено локальным Пространство Лебега из ${displaystyle n}$ -мерные векторные поля ${displaystyle mathbf {z} в mathrm {L} _ {mathrm {loc}} ^ {1} (mathbb {R} _ {+}) ^ {n}}$ , заключается в использовании его Преобразование Лапласа ${displaystyle mathbf {Z} (s) = {mathcal {L}} [mathbf {z}] (s)}$ . В таком случае

{displaystyle mathbf {Z} (s) = left (sI-Aight) ^ {- 1} mathbf {z} _ {0}.}

Матричная функция ${displaystyle left (A-sIight) ^ {- 1}}$ называется резольвентная матрица из дифференциальный оператор ${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} - A}$ . это мероморфный по комплексному параметру ${displaystyle sin mathbb {C}}$ так как его матричные элементы являются рациональными функциями, знаменатель которых для всех равен ${displaystyle det (A-sI)}$ . Его полярные особенности являются собственными значениями ${displaystyle A}$ , чей порядок равен их индексу для него, т.е. ${displaystyle mathrm {ord} _ {(A-sI) ^ {- 1}} lambda = mathrm {idx} _ {A} lambda}$ .