Маленькая теорема Веддерберна - Википедия - Wedderburns little theorem

В математика, Маленькая теорема Веддерберна заявляет, что каждый конечный домен это поле. Другими словами, для конечные кольца, нет различия между доменами, тела и поля.

В Теорема Артина – Цорна обобщает теорему на альтернативные кольца: всякое конечное альтернативное тело является полем.^[1]

История

Первоначальное доказательство было дано Джозеф Уэддерберн в 1905 г.,^[2] который доказал это двумя другими способами. Другое доказательство было дано Леонард Юджин Диксон вскоре после первоначального доказательства Веддерберна, и Диксон признал приоритет Веддерберна. Однако, как отмечено в (Паршалл 1983 ), Первое доказательство Веддерберна было неверным - в нем был пробел - и его последующие доказательства появились только после того, как он прочитал правильное доказательство Диксона. На этом основании Паршалл утверждает, что Диксону следует приписать первое правильное доказательство.

Упрощенный вариант доказательства был позже дан Эрнст Витт.^[2] Схема доказательства Витта представлена ​​ниже. В качестве альтернативы теорема является следствием Теорема Сколема – Нётер по следующему аргументу.^[3] Позволять D быть конечным алгебра с делением с центр k. Позволять [D : k] = п² и q обозначим мощность k. Каждое максимальное подполе D имеет q^п элементы; поэтому они изоморфны и, следовательно, сопряжены по Сколему – Нётер. Но конечная группа (мультипликативная группа D в нашем случае) не может быть объединением конъюгатов собственной подгруппы; следовательно, п = 1.

Позже "теоретико-групповой "доказательство было предоставлено Теодор Качиньский.^[4] Это доказательство, первое опубликованное математическое сочинение Качиньского, представляло собой короткую двухстраничную заметку, в которой также признавались более ранние исторические доказательства.

Связь с группой Брауэра конечного поля

Теорема по существу эквивалентна утверждению, что Группа Брауэра конечного поля тривиально. Фактически, эта характеризация сразу дает следующее доказательство теоремы: пусть k - конечное поле. Поскольку Фактор Herbrand исчезает по конечности, ${ displaystyle operatorname {Br} (k) = H ^ {2} (k ^ { text {al}} / k)}$ совпадает с ${ Displaystyle Н ^ {1} (к ^ { текст {al}} / к)}$, который, в свою очередь, исчезает Гильберт 90.

Доказательство

Позволять А - конечная область. Для каждого ненулевого Икс в А, две карты

${ displaystyle a mapsto ax, a mapsto xa: от A до A}$

инъективны аннулирование собственности, и, таким образом, сюръективно по счету. Из элементарной теории групп следует^[5] что ненулевые элементы А образуют группу при умножении. Таким образом, А это тело.

Чтобы доказать, что каждое конечное тело является полем, мы используем сильную индукцию по размеру тела. Итак, пусть А - тело, и предположим, что все тела, которые являются собственными подмножествами А поля. Поскольку центр Z(А) из А это поле, А это векторное пространство над Z(А) с конечной размерностью п. Наша цель - показать п = 1. Если q это порядок Z(А), тогда А есть заказ q^п. Обратите внимание, потому что Z(А) содержит различные элементы 0 и 1, q> 1. Для каждого Икс в А что не в центре, централизатор Z_Икс из Икс очевидно, является телом и, следовательно, полем, по предположению индукции, и поскольку Z_Икс можно рассматривать как векторное пространство над Z(А) и А можно рассматривать как векторное пространство над Z_Иксу нас есть это Z_Икс есть заказ q^d куда d разделяет п и меньше чем п. Просмотр Z(А)*, А *, а Z *_Икс как группы при умножении, мы можем записать уравнение класса

${ Displaystyle д ^ {п} -1 = д-1 + сумма {д ^ {п} -1 над д ^ {д} -1}}$

где сумма берется по классам сопряженности, не входящим в Z(А) *, а d определены так, что для каждого класса сопряженности порядок Z *_Икс для любого Икс в классе q^d-1. q^п−1 и q^d−1 оба допускают полиномиальная факторизация с точки зрения круговые полиномы

${ displaystyle Phi _ {f} (q)}$.

В полиномиальных тождествах

${ displaystyle x ^ {n} -1 = prod _ {m | n} Phi _ {m} (x)}$ и ${ Displaystyle х ^ {d} -1 = prod _ {m | d} Phi _ {m} (x)}$,

мы установили Икс = q. Потому что каждый d является собственным делителем п,

${ displaystyle Phi _ {n} (q)}$ разделяет оба q^п−1 и каждый ${ displaystyle {q ^ {n} -1 over q ^ {d} -1}}$,

поэтому по приведенному выше уравнению класса ${ displaystyle Phi _ {n} (q)}$ должен разделить q−1, поэтому

${ displaystyle | Phi _ {n} (q) | leq q-1}$.

Чтобы увидеть, что это заставляет п чтобы быть 1, мы покажем

${ displaystyle | Phi _ {n} (q) |> q-1}$

за п > 1 с использованием факторизации комплексных чисел. В полиномиальном тождестве

${ Displaystyle Phi _ {п} (х) = prod (х- zeta)}$,

где ζ пробегает примитивную п-й корень из единства, множество Икс быть q а затем взять абсолютные значения

${ displaystyle | Phi _ {n} (q) | = prod | q- zeta |}$.

За п > 1, мы видим, что для каждого примитива п-корень степени из единицы ζ,

${ Displaystyle | д- дзета |> | д-1 |}$

из-за расположения q, 1 и ζ на комплексной плоскости. Таким образом

${ displaystyle | Phi _ {n} (q) |> q-1}$.

Примечания

Рекомендации

• Паршалл, К. Х. (1983). «В погоне за теоремой конечной алгебры с делением и за ее пределами: Джозеф Х. М. Веддерберн, Леонард Диксон и Освальд Веблен». Архив международной истории науки. 33: 274–99.
• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN  0-387-95183-0.

внешняя ссылка

• Доказательство теоремы Веддерберна в Planet Math
• Система Мицар доказательство: http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38