Теорема Гильберта 90 - Википедия - Hilberts Theorem 90

В абстрактная алгебра, Теорема Гильберта 90 (или же Satz 90) - важный результат на циклические расширения из поля (или к одному из его обобщений), что приводит к Теория Куммера. В своей основной форме он утверждает, что если L/K является циклическим расширением полей с Группа Галуа грамм = Гал (L/K) порожденный элементом ${ displaystyle sigma,}$ и если ${ displaystyle a}$ является элементом L из относительная норма 1, то существует ${ displaystyle b}$ в L такой, что

{ displaystyle a = sigma (b) / b.}

Теорема получила свое название от того факта, что это 90-я теорема в Дэвид Гильберт знаменитый Zahlbericht (Гильберт1897, 1998 ), хотя изначально это связано с Куммер (1855, стр.213, 1861 ). Часто более общая теорема из-за Эмми Нётер (1933 ) дается имя, утверждая, что если L/K конечный Расширение Галуа полей с группой Галуа грамм = Гал (L/K), то первый когомология группа тривиальна:

{ displaystyle H ^ {1} (G, L ^ { times}) = {1 }.}

Примеры

Позволять L/K быть квадратичное расширение ${ displaystyle mathbb {Q} (i) / mathbb {Q}.}$ Группа Галуа циклическая порядка 2, ее образующая ${ displaystyle s}$ действуя через спряжение:

{ displaystyle s: c + di mapsto c-di.}

Элемент ${ Displaystyle х = а + би}$ в L имеет норму ${ displaystyle x}$ , т.е. ${ displaystyle x ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$ . Элемент нормы один соответствует рациональному решению уравнения ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 1}$ или другими словами точка с рациональными координатами на единичный круг. Теорема Гильберта 90 утверждает, что каждый такой элемент у нормы можно параметризовать (с интеграломc, d) в качестве

{ displaystyle y = { frac {c + di} {c-di}} = { frac {c ^ {2} -d ^ {2}} {c ^ {2} + d ^ {2}}} + { frac {2cd} {c ^ {2} + d ^ {2}}} i}

которое можно рассматривать как рациональную параметризацию рациональных точек единичной окружности. Рациональные моменты ${ Displaystyle (х, у) = (а / с, Ь / с)}$ на единичном круге ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ соответствуют Пифагорейские тройки, т.е. троек ${ Displaystyle (а, б, в)}$ целых чисел, удовлетворяющих ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}.}$

Когомологии

Теорема может быть сформулирована в терминах групповые когомологии: если L^× это мультипликативная группа любого (не обязательно конечного) расширения Галуа L поля K с соответствующей группой Галуа грамм, тогда

{ displaystyle H ^ {1} (G, L ^ { times}) = {1 }.}

Дальнейшее обобщение с использованием когомологии неабелевых групп заявляет, что если ЧАС либо Общее или же специальная линейная группа над L, тогда

{ Displaystyle H ^ {1} (G, H) = {1 }.}

Это обобщение, поскольку ${ displaystyle L ^ { times} = operatorname {GL} _ {1} (L).}$ Другое обобщение:

{ displaystyle H _ {{ строго {e}} t} ^ {1} (X, mathbb {G} _ {m}) = H ^ {1} (X, { mathcal {O}} _ {X } ^ { times}) = operatorname {Pic} (X)}

за Икс схема, и еще одна Милнор К-теория играет роль в Воеводского доказательство Гипотеза Милнора.

Доказательство

Элементарный

Позволять ${ displaystyle L / K}$ быть циклическим по степени ${ displaystyle n,}$ и ${ displaystyle sigma}$ генерировать ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$ . Выберите любой ${ displaystyle a in L}$ нормы

{ Displaystyle N (a): = a sigma (a) sigma ^ {2} (a) cdots sigma ^ {n-1} (a) = 1.}

Очистив знаменатели, решив ${ Displaystyle а = х / сигма (х) в L}$ это то же самое, что показать, что ${ Displaystyle а сигма ( cdot): от L до L}$ имеет собственное значение ${ displaystyle 1}$ . Распространите это на карту ${ displaystyle L}$ -векторные пространства

{ displaystyle { begin {cases} 1_ {L} otimes a sigma ( cdot): L otimes _ {K} L to L otimes _ {K} L ell otimes ell ' mapsto ell otimes a sigma ( ell ') end {case}}}

Теорема о примитивном элементе дает ${ Displaystyle L = К ( альфа)}$ для некоторых ${ displaystyle alpha}$ . С ${ displaystyle alpha}$ имеет минимальный многочлен

{ Displaystyle е (т) = (т- альфа) (т- сигма ( альфа)) cdots влево (т- сигма ^ {п-1} ( альфа) вправо) в К [ t],}

мы идентифицируем

{ Displaystyle L otimes _ {K} L { stackrel { sim} { to}} L otimes _ {K} K [t] / f (t) { stackrel { sim} { to} } L [t] / f (t) { stackrel { sim} { to}} L ^ {n}}

через

{ Displaystyle ell otimes p ( alpha) mapsto ell left (p ( alpha), p ( sigma alpha), ldots, p ( sigma ^ {n-1} alpha) верно).}

Здесь мы записали второй фактор как ${ displaystyle K}$ -полином в ${ displaystyle alpha}$ .

Под этим обозначением наша карта

{ displaystyle { begin {case} a sigma ( cdot): L ^ {n} to L ^ {n} ell left (p ( alpha), ldots, p ( sigma ^ {n-1} alpha)) mapsto ell (ap ( sigma alpha), ldots, sigma ^ {n-1} ap ( sigma ^ {n} alpha) right) end { случаи}}}

То есть под этой картой

{ displaystyle ( ell _ {1}, ldots, ell _ {n}) mapsto (a ell _ {n}, sigma a ell _ {1}, ldots, sigma ^ {n -1} a ell _ {n-1}).}

${ Displaystyle (1, sigma a, sigma a sigma ^ {2} a, ldots, sigma a cdots sigma ^ {n-1} a)}$ является собственным вектором с собственным значением ${ displaystyle 1}$ если только ${ displaystyle a}$ имеет норму ${ displaystyle 1}$ .

Теорема Гильберта 90 - Википедия - Hilberts Theorem 90

Содержание

Примеры

Когомологии

Доказательство

Элементарный

Рекомендации

Внешняя ссылка