Теорема об универсальном коэффициенте - Universal coefficient theorem

В алгебраическая топология, теоремы об универсальных коэффициентах установить отношения между группами гомологий (или группами когомологий) с разными коэффициентами. Например, для каждого топологическое пространство Икс, это интегральные группы гомологий:

ЧАСя(Икс; Z)

полностью определить его группы гомологий с коэффициентами в А, для любого абелева группа А:

ЧАСя(Икс; А)

Здесь ЧАСя может быть симплициальные гомологии, или в более общем смысле особые гомологии: результат - чистый кусок гомологическая алгебра о цепные комплексы из свободные абелевы группы. Форма результата такова, что другие коэффициенты А могут быть использованы за счет использования Функтор Tor.

Например, принято брать А быть Z/2Z, так что коэффициенты равны по модулю 2. Это становится очевидным в отсутствие 2-кручение в гомологии. Как правило, результат указывает на взаимосвязь между Бетти числа бя из Икс и числа Бетти бя,F с коэффициентами в поле F. Они могут отличаться, но только если характеристика из F это простое число п для которых есть некоторые п-кручение в гомологиях.

Формулировка случая гомологии

Рассмотрим тензорное произведение модулей ЧАСя(Икс; Z) ⊗ А. Теорема утверждает, что существует короткая точная последовательность с участием Функтор Tor

Кроме того, эта последовательность раскол Хотя не естественно. Здесь μ отображение, индуцированное билинейным отображением ЧАСя(Икс; Z) × АЧАСя(Икс; А).

Если коэффициент кольцо А является Z/пZ, это частный случай Спектральная последовательность Бокштейна.

Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий

Позволять грамм - модуль над областью главных идеалов р (например., Z или поле.)

Также есть теорема об универсальном коэффициенте для когомология с участием Функтор Ext, который утверждает, что существует естественная короткая точная последовательность

Как и в случае гомологии, последовательность расщепляется, хотя и не естественным образом.

Фактически, предположим

и определите:

потом час выше каноническая карта:

Альтернативная точка зрения может быть основана на представлении когомологий через Пространство Эйленберга – Маклейна где карта час берет гомотопический класс отображений из Икс к K(грамм, я) соответствующему гомоморфизму, индуцированному в гомологиях. Таким образом, пространство Эйленберга – Маклейна является слабое право прилегающий к гомологии функтор.[1]

Пример: когомологии mod 2 реального проективного пространства

Позволять Икс = пп(р), то реальное проективное пространство. Вычисляем особые когомологии Икс с коэффициентами в р = Z/2Z.

Зная, что целочисленная гомология задается:

У нас есть Ext (р, р) = р, Ext (Z, р) = 0, так что приведенные выше точные последовательности дают

Фактически общая кольцо когомологий структура

Следствия

Частный случай теоремы - вычисление целочисленных когомологий. Для конечного комплекса CW Икс, ЧАСя(Икс; Z) конечно порождена, поэтому имеем разложение.

куда βя(Икс) являются Бетти числа из Икс и торсионная часть . Можно проверить, что

и

Это дает следующее утверждение для интегральных когомологий:

За Икс ан ориентируемый, закрыто, и связаны п-многообразие, это следствие вместе с Двойственность Пуанкаре дает это βя(Икс) = βпя(Икс).

Примечания

Рекомендации

  • Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. ISBN  0-521-79540-0. Современное геометрическое введение в алгебраическую топологию. Книга доступна бесплатно в форматах PDF и PostScript на сайте домашняя страница автора.
  • Кайнен, П.С. (1971). «Слабые сопряженные функторы». Mathematische Zeitschrift. 122: 1–9. Дои:10.1007 / bf01113560. S2CID  122894881.

внешняя ссылка