Теорема Крулля – Акизуки - Krull–Akizuki theorem

В алгебре Теорема Крулля – Акизуки утверждает следующее: пусть А быть не более чем одномерным уменьшенный нётерское кольцо,^[1] K это общее кольцо дробей. Если B подкольцо конечного расширения L из K содержащий Атогда B - одномерное нётерово кольцо. Кроме того, для любого ненулевого идеала я из B, ${ displaystyle B / I}$ конечно над А.^[2]

Отметим, что в теореме не говорится, что B конечно над А. Теорема не распространяется на более высокие измерения. Одним из важных следствий теоремы является то, что целостное закрытие из Дедекиндский домен А в конечном расширении поля частных А снова является дедекиндовым доменом. Это следствие действительно распространяется на более высокое измерение: Теорема Мори – Нагаты утверждает, что интегральное замыкание нётеровой области является Krull домен.

Доказательство

Здесь мы приводим доказательство, когда ${ Displaystyle L = K}$. Позволять ${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}}$ быть минимальными простыми идеалами А; их конечное количество. Позволять ${ displaystyle K_ {i}}$ быть полем долей ${ displaystyle A / {{ mathfrak {p}} _ {i}}}$ и ${ displaystyle I_ {i}}$ ядро естественной карты ${ displaystyle B to K to K_ {i}}$. Тогда у нас есть:

${ displaystyle A / {{ mathfrak {p}} _ {i}} subset B / {I_ {i}} subset K_ {i}}$.

Теперь, если теорема верна, когда А является областью, то отсюда следует, что B является одномерной нётеровой областью, поскольку каждая ${ displaystyle B / {I_ {i}}}$ есть и с тех пор ${ displaystyle B = prod B / {I_ {i}}}$. Таким образом, мы свели доказательство к случаю А это домен. Позволять ${ displaystyle 0 neq I subset B}$ быть идеалом и пусть а - ненулевой элемент ненулевого идеала ${ displaystyle I cap A}$. Набор ${ displaystyle I_ {n} = a ^ {n} B cap A + aA}$. С ${ displaystyle A / aA}$ - нётерово кольцо с нулевой плотностью; таким образом, артистический, существует л такой, что ${ displaystyle I_ {n} = I_ {l}}$ для всех ${ Displaystyle п geq l}$. Мы утверждаем

${ displaystyle a ^ {l} B subset a ^ {l + 1} B + A.}$

Поскольку достаточно установить включение локально, можно считать А является локальным кольцом с максимальным идеалом ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$. Позволять Икс быть ненулевым элементом в B. Тогда, поскольку А нётерский, есть п такой, что ${ displaystyle { mathfrak {m}} ^ {n + 1} subset x ^ {- 1} A}$ и так ${ displaystyle a ^ {n + 1} x in a ^ {n + 1} B cap A subset I_ {n + 2}}$. Таким образом,

${ displaystyle a ^ {n} x in a ^ {n + 1} B cap A + A.}$

Теперь предположим п - минимальное целое число такое, что ${ Displaystyle п geq l}$ и выполнено последнее включение. Если ${ displaystyle n> l}$, то легко убедиться, что ${ displaystyle a ^ {n} x in I_ {n + 1}}$. Но тогда указанное включение верно для ${ displaystyle n-1}$, противоречие. Следовательно, мы имеем ${ displaystyle n = l}$ и это обосновывает требование. Теперь следует:

${ Displaystyle B / {aB} simeq a ^ {l} B / a ^ {l + 1} B subset (a ^ {l + 1} B + A) / a ^ {l + 1} B simeq A / {a ^ {l + 1} B cap A}.}$

Следовательно, ${ displaystyle B / {aB}}$ имеет конечную длину как А-модуль. В частности, изображение я есть конечно порожденный и поэтому я конечно порожден. Наконец, вышеизложенное показывает, что ${ displaystyle B / {aB}}$ имеет нулевое измерение и поэтому B имеет измерение один. ${ displaystyle square}$

Рекомендации

• Николя Бурбаки, Коммутативная алгебра