Суммарное кольцо фракций - Total ring of fractions

В абстрактная алгебра, то кольцо полного частного,^[1] или же общее кольцо дробей,^[2] - конструкция, обобщающая понятие поле дробей из область целостности к коммутативные кольца р это может иметь делители нуля. Конструкция закладная р в большем кольце, что дает каждому ненулевому делителю р обратное в большем кольце. Если гомоморфизм из р к новому кольцу должно быть инъективным, никакие другие элементы не могут быть обратными.

Определение

Позволять ${displaystyle R}$ коммутативное кольцо и пусть ${displaystyle S}$ - множество элементов, не являющихся делителями нуля в ${displaystyle R}$ ; тогда ${displaystyle S}$ это мультипликативно замкнутое множество. Следовательно, мы можем локализовать кольцо ${displaystyle R}$ на съемочной площадке ${displaystyle S}$ чтобы получить полное кольцо частных ${displaystyle S ^ {- 1} R = Q (R)}$ .

Если ${displaystyle R}$ это домен, тогда ${displaystyle S = R- {0}}$ а полное кольцо частных совпадает с полем дробей. Это оправдывает обозначение ${displaystyle Q (R)}$ , который иногда используется и для поля дробей, поскольку в случае домена нет двусмысленности.

С ${displaystyle S}$ в конструкции нет делителей нуля, естественное отображение ${displaystyle R o Q (R)}$ инъективно, поэтому полное факторкольцо является расширением ${displaystyle R}$ .

Примеры

Полное кольцо частных ${displaystyle Q (A imes B)}$ кольца продукта - это произведение полных частных колец ${displaystyle Q (A) imes Q (B)}$ . В частности, если А и B являются областями целостности, это произведение полей частных.

Полное кольцо частных кольца голоморфные функции на открытой площадке D комплексных чисел - кольцо мероморфные функции на D, даже если D не связано.

В Артинианское кольцо, все элементы суть единицы или делители нуля. Следовательно, множество ненулевых делителей - это группа единиц кольца, ${displaystyle R ^ {imes}}$ , и так ${Displaystyle Q (R) = (R ^ {imes}) ^ {- 1} R}$ . Но поскольку у всех этих элементов уже есть обратные, ${displaystyle Q (R) = R}$ .

То же самое происходит в коммутативном регулярное кольцо фон Неймана р. Предполагать а в р не является делителем нуля. Тогда в регулярном кольце фон Неймана а = акса для некоторых Икс в р, что дает уравнение а(ха - 1) = 0. Поскольку а не является делителем нуля, ха = 1, показывая а это единица. Снова здесь, ${displaystyle Q (R) = R}$ .

В алгебраическая геометрия считается пучок полных колец частных на схема, и это может быть использовано, чтобы дать одно возможное определение Делитель Картье.

Полное кольцо дробей редуцированного кольца

Важный факт:

Предложение — Позволять А быть нётером уменьшенное кольцо с минимальными простыми идеалами ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {1}, dots, {mathfrak {p}} _ {r}}$ . потом

{displaystyle Q (A) simeq prod _ {1} ^ {r} Q (A / {mathfrak {p}} _ {i}).}

Геометрически, ${displaystyle operatorname {Spec} (Q (A))}$ это Артинианская схема состоящий (как конечное множество) из общих точек неприводимых компонент ${displaystyle operatorname {Spec} (A)}$ .

Доказательство: каждый элемент Q(А) является либо единицей, либо нулевым делителем. Таким образом, любой правильный идеал я из Q(А) должен состоять из нулевых делителей. Поскольку множество нулевых делителей Q(А) является объединением минимальных простых идеалов ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ в качестве Q(А) является уменьшенный, к главное избегание, я должен содержаться в некоторых ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ . Следовательно, идеалы ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ максимальные идеалы Q(А), пересечение которой равно нулю. Таким образом, Китайская теорема об остатках применительно к Q(А), у нас есть:

{displaystyle Q (A) simeq prod _ {i} Q (A) / {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}

.

Ну наконец то, ${displaystyle Q (A) / {mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ это поле вычетов из ${displaystyle {mathfrak {p}} _ {i}}$ . Действительно, написание S для мультипликативно замкнутого множества ненулевых делителей в силу точности локализации

{displaystyle Q (A) / {mathfrak {p}} _ {i} Q (A) = A [S ^ {- 1}] / {mathfrak {p}} _ {i} A [S ^ {- 1} ] = (A / {mathfrak {p}} _ {i}) [S ^ {- 1}]}

,

который уже является полем и поэтому должен быть ${displaystyle Q (A / {mathfrak {p}} _ {i})}$ . ${displaystyle square}$

Обобщение

Если ${displaystyle R}$ коммутативное кольцо и ${displaystyle S}$ есть ли мультипликативное подмножество в ${displaystyle R}$ , то локализация ${displaystyle S ^ {- 1} R}$ все еще можно построить, но гомоморфизм колец из ${displaystyle R}$ к ${displaystyle S ^ {- 1} R}$ может не быть инъективным. Например, если ${displaystyle 0in S}$ , тогда ${displaystyle S ^ {- 1} R}$ - тривиальное кольцо.

Примечания

^ Мацумура (1980), стр. 12
^ Мацумура (1989), стр. 21 год