Теорема Икина – Нагаты - Eakin–Nagata theorem

В абстрактной алгебре Теорема Икина – Нагаты состояния: данный коммутативные кольца ${ displaystyle A subset B}$ такой, что ${ displaystyle B}$ является конечно порожденный как модуль над ${ displaystyle A}$ , если ${ displaystyle B}$ это Кольцо Нётериана, тогда ${ displaystyle A}$ является нётеровым кольцом.^[1] (Обратите внимание, что и обратное верно, и это проще.)

Теорема аналогична Лемма Артина – Тейта., в котором говорится, что то же самое утверждение верно с заменой «нётерского» на «конечно порожденная алгебра "(при условии, что базовое кольцо - нетерово).

Теорема была впервые доказана в диссертации Пола М. Икина (Икин 1968 ), а затем независимо Масаёши Нагата (1968 ).^[2] Теорема также может быть получена из характеризация нётерова кольца в терминах инъективных модулей, как, например, Дэвид Эйзенбуд в (Эйзенбуд 1970 ); этот подход полезен для обобщения некоммутативные кольца.

Доказательство

Следующий более общий результат обусловлен Эдвард В. Форманек и доказывается аргументацией, основанной на оригинальных доказательствах Икина и Нагаты. В соответствии с (Мацумура 1989 ), эта формулировка, вероятно, является наиболее прозрачной.

Теорема — ^[3] Позволять ${ displaystyle A}$ коммутативное кольцо и ${ displaystyle M}$ а верный конечно порожденный модуль над ним. Если условие возрастающей цепи на подмодулях вида ${ displaystyle IM}$ для идеалов ${ displaystyle I subset A}$ , тогда ${ displaystyle A}$ является нётеровым кольцом.

Доказательство: Достаточно показать, что ${ displaystyle M}$ это Нётерский модуль поскольку, вообще говоря, кольцо, допускающее точный нётеров модуль над ним, является нётеровым кольцом.^[4] Предположим иначе. По предположению, множество всех ${ displaystyle IM}$ , куда ${ displaystyle I}$ это идеал ${ displaystyle A}$ такой, что ${ displaystyle M / IM}$ не является нётеровым, имеет максимальный элемент, ${ displaystyle I_ {0} M}$ . Замена ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle M / I_ {0} M}$ и ${ displaystyle A / operatorname {Ann} (M / I_ {0} M)}$ , можно предположить

для каждого ненулевого идеала ${ displaystyle I subset A}$ , модуль ${ displaystyle M / IM}$ Нётериан.

Далее рассмотрим набор ${ displaystyle S}$ подмодулей ${ Displaystyle N подмножество M}$ такой, что ${ Displaystyle M / N}$ верен. Выбрать набор генераторов ${ displaystyle {x_ {1}, dots, x_ {n} }}$ из ${ displaystyle M}$ а затем обратите внимание, что ${ Displaystyle M / N}$ верен тогда и только тогда, когда для каждого ${ displaystyle a in A}$ , включение ${ displaystyle {ax_ {1}, dots, ax_ {n} } subset N}$ подразумевает ${ displaystyle a = 0}$ . Таким образом, ясно, что Лемма Цорна относится к набору ${ displaystyle S}$ , а значит, в наборе есть максимальный элемент, ${ displaystyle N_ {0}}$ . Сейчас если ${ displaystyle M / N_ {0}}$ нётеров, то это точный нётеров модуль над А и следовательно, А является нётеровым кольцом; противоречие. Следовательно, ${ displaystyle M / N_ {0}}$ не нётерский и заменяет ${ displaystyle M}$ к ${ displaystyle M / N_ {0}}$ , мы также можем предположить

каждый ненулевой подмодуль ${ displaystyle N subset M}$ таково, что ${ Displaystyle M / N}$ не верен.

Пусть подмодуль ${ displaystyle 0 neq N subset M}$ быть данным. С ${ Displaystyle M / N}$ не является точным, есть ненулевой элемент ${ displaystyle a in A}$ такой, что ${ Displaystyle AM подмножество N}$ . По предположению, ${ Displaystyle M / AM}$ Нётер и так ${ Displaystyle N / AM}$ конечно порожден. С ${ Displaystyle AM}$ также конечно порождена, отсюда следует, что ${ displaystyle N}$ конечно порожден; т.е. ${ displaystyle M}$ нетерово; противоречие. ${ displaystyle square}$